基礎數學

函數是一個非常基本而且重要的觀念，不但在純數學上是重要的，在許多科學領域上更是重要而有用。

其實，所謂的函數用比較通俗的話來說，就是一種關係或關聯，比如在一天中，每個鐘頭各有它的氣溫，這樣在「時間」和「溫度」間就有關係存在，這種關係便是函數。比較一般的來說，在兩組「集合」間的關聯就是函數，通常我們最常用的函數是兩組「數量」間的關聯。

這種關聯還有一些限制才能真正叫函數，這兒我們把函數的正式定義寫下來：

有A和B的集合，假如對於A集合的每一個元素，都可以在B集合中找到一個，而且只有一個元素和它相關聯，那麼，這個關聯就叫做A到B的函數。A集合就稱為這函數的定義域。B集合則稱為這函數的值域。

注意到對應A集合中的一個元素，只能有一個B集合的元素，不能有兩個以上，但非有一個不可。反過來說，B集合中的一個元素可能和A集合中兩個以上元素相關聯，所以我們不能把函數的定義域和值域換過來。換句話說，光只兩集合間的關聯本身不能就一定符合函數的定義，還需要規定那個是定義域，那個是值域，而且這個關聯也必須符合那個單一值的規定才行。

比如說sin x是個三角函數，它的定義域是所有實數，它的值域是1到+1間的所有實數，你給任何實數x，就有在1到+1間的某一定值和x對應，所以sin這個關聯確實是個函數，但是如果你問當sin x是某個實數時，x是多少，則答案就不只一個，所以當你把原來值域當作定義域，把原來定義域當作值域時，sin雖然也是這兩組間的關聯，但不符合單一值的規定，所以不符合函數的定義。（大家可以注意到定義反三角函數時，對值域有特別的規定，否則就不能算函數。）

現在我們知道要定義一個函數，必須要有兩個集合A和B，其中一個（A）叫定義域，另一個（B）叫值域，然後有個一定的關聯在，通常為了容易表示起見，在定義域A中的一個元素，我們用字母x表示，這個x就稱為自變數，對於這個自變數x，根據這函數的關聯一定可以在B集合找到一個元素y，y就稱為是因變數。其實自變數和因變數的命名是很自然而且合理，因為x可以先在A集合中「自」由選取，然後通過函數關係，y就「因」x而在B集合中被選中了。

在氣溫和時間的關聯函數中，時間是定義域，氣溫是值域，假如把h當一天的某一時刻，T表示氣溫，那麼h就是自變數，T就是因變數。

現在讓我們來看怎麼表示一個函數，換句話說你怎麼告訴別人一個函數，最直接的辦法是，把兩個集合的每一個元素通通對應的列出來。這雖是直接了當，但常常元素太多了，列起來很麻煩，所以另一種常有的表示法，就是告訴你一個從自變數找因變數的法則，如果你能明確的表示這法則就行了，在我們所處理的函數，通常兩個集合都是實數，也就是定義域是實數，值域也是實數，而函數則是表示兩堆實數間的關係，在這種情形下，這由自變數找因變數的法則可以用方程式來表示，比如自變數x和因變數y間有

y2x4x（1-1）

的關聯存在，則這關聯就是一個函數。

函數是一個非常基本而且重要的觀念，不但在純數學上是重要的，在許多科學領域上更是重要而有用。

其實，所謂的函數用比較通俗的話來說，就是一種關係或關聯，比如在一天中，每個鐘頭各有它的氣溫，這樣在「時間」和「溫度」間就有關係存在，這種關係便是函數。比較一般的來說，在兩組「集合」間的關聯就是函數，通常我們最常用的函數是兩組「數量」間的關聯。

這種關聯還有一些限制才能真正叫函數，這兒我們把函數的正式定義寫下來：

有A和B的集合，假如對於A集合的每一個元素，都可以在B集合中找到一個，而且只有一個元素和它相關聯，...

數學本身不但是一種學問，同時也是科學上的工具，如果沒有數學，我們實在很難想像出目前的科學會是怎樣的一種樣子。因此研讀自然科學的同學莫不需有良好的數學基礎，就是社會科學來說也愈來愈需要數學了，在各大專院校「微積分」大概除了文學院以外都列入了必修課程。

就理工學院的同學來說，有一些基本課程如普通物理、普通化學，一開始就在使用微積分的觀念和技巧，而正規的微積分課程可能還在起步，使得在學習上發生很大的困難，有些學校還特別開一門「基礎數學」的課，先給同學一些基本的概念與方法，即使沒有開課老師也會輔導同學自己看一點這方面的書籍。

由於大一的同學對原文書使用尚不習慣，語文的的困難阻礙了內容的吸收，筆者特地編著本書提供給大一的同學作為先修課程，本書前三章為函數及微積分基本觀念及技巧，中間三章是有關向量的運算，後面是曲線座標及簡易微分方程，對非數學系的同學來說只要能真正的了解本書以及熟練這些技巧，大概已有足夠的數學基礎來研讀各專業科目了。當然在一些比較高深的課程中可能還會遇到一些比較特別的數學，但是那些數學常常可以在那時候再學習的。

數學本身不但是一種學問，同時也是科學上的工具，如果沒有數學，我們實在很難想像出目前的科學會是怎樣的一種樣子。因此研讀自然科學的同學莫不需有良好的數學基礎，就是社會科學來說也愈來愈需要數學了，在各大專院校「微積分」大概除了文學院以外都列入了必修課程。

就理工學院的同學來說，有一些基本課程如普通物理、普通化學，一開始就在使用微積分的觀念和技巧，而正規的微積分課程可能還在起步，使得在學習上發生很大的困難，有些學校還特別開一門「基礎數學」的課，先給同學一些基本的概念與方法，即使沒有開課老師也會輔導同學自...

第一章　函數觀念和函數的一些複習1
1-1　函數的定義2
1-2　函數的圖形表示4
1-3　三角、反三角函數、自然對數和指數函數8
第二章　微　分13
2-1　極限14
2-2　連續20
2-3　瞬時速度的觀念22
2-4　導數27
2-5　一般函數的導數31
2-6　導數運算法則33
2-7　三角函數、對數函數和指數函數的導數40
2-8　高階導數48
2-9　微分49
2-10　方程式的微分55
2-11　極大和極小56
2-12　偏導數和全微分62
第三章　積　分73
3-1　曲線下的面積74
3-2　反導數──不定積分78
3-3　變換變數的積分法83
3-4　部分積分87
3-5　部分分式積分90
3-6　定積分和不定積分94
3-7　重積分98
3-8　積分的應用106
第四章　向量代數117
4-1　純量和向量118
4-2　向量的加法──幾何法119
4-3　向量乘法120
4-4　幾何學上的應用128
4-5　直角坐標系的向量132
4-6　三個向量乘積137
4-7　向量的應用141
第五章　向量微分149
5-1　向量微分150
5-2　空間曲線159
5-3　梯度（Gradient）171
5-4　散度（Divergence）178
5-5　旋度（curl）184
5-6　一些有用的向量恆等式189
第六章　向量積分197
6-1　線積分198
6-2　保守向量場204
6-3　面積分209
6-4　體積分214
6-5　高斯發散定理215
6-6　史托克斯定理222
第七章　正交曲線坐標231
7-1　曲線坐標232
7-2　曲線坐標的線段、體積單元235
7-3　曲線坐標的梯度、散度、旋度及散梯度239
7-4　圓球坐標245
7-5　圓柱坐標248
第八章　簡易微分方程式253
8-1　定義254
8-2　一階一次常微分方程式257
8-3　高階線性微分方程式272
8-4　二階線性常係數微分方程式277
8-5　二階線性變數係數微分方程式287
8-6　二階線性微分方程式的應用291
8-7　線性偏微分方程式297

第一章　函數觀念和函數的一些複習1
1-1　函數的定義2
1-2　函數的圖形表示4
1-3　三角、反三角函數、自然對數和指數函數8
第二章　微　分13
2-1　極限14
2-2　連續20
2-3　瞬時速度的觀念22
2-4　導數27
2-5　一般函數的導數31
2-6　導數運算法則33
2-7　三角函數、對數函數和指數函數的導數40
2-8　高階導數48
2-9　微分49
2-10　方程式的微分55
2-11　極大和極小56
2-12　偏導數和全微分62
第三章　積　分73
3-1　曲線下的面積74
3-2　反導數──不定積分78
3-3　變換變數的積分法83
3-4　部分積分87
3-5　部分分...