管理數學與Python：數據分析的必修課

名人推薦：☆好課力推☆

陳育仁 國立高雄科技大學會計資訊系、資訊財務碩士學位學程教授／財金大數據中心 主持人

主題3. 最佳化演算（Optimization） 求極值

前面的主題是解滿足一階導函數的根，因此，我們必須先微分求出導函數。但是，最簡單的方法是直接對目標函數求解：同時解出目標極值和臨界值。

Python完成這件事有sympy和scipy，筆者覺得sympy需要宣告的參數太多，尤其是在帶限制式時。所以我們使用模組scipy內的函數optimize()和minimize()，Python程式碼的步驟解說如下。

5.3-1 單變數

我們先看本章範例1的簡單方程式，如下：

第1步：定義函數

from scipy import optimize

def f(x, sign=-1):

return sign*(2*x**3+3*x**2-12*x-7)

兩行就OK，相當簡易。待會我們再解釋sign的意義。接下來執行求極值：

第2步：求解與結果

Result1 = optimize. minimize_scalar(f)

Result1.x

Result1.fun

f(Result1.x)

optimize. minimize_scalar()是求解函數。Result1內有許多物件，主要有三個：

(1) Result1.x: 解出的x值。

(2) Result1.fun: 解出的極小值，可以和f(Result1.x)對照是否一樣。

(3) Result1.success: 回傳求解是否成功（True/False）。

我們看看列印在螢幕的結果，如下：

Result1.x

Out[2]: 1.0

Result1.fun

Out[3]: -14.0

f(Result1.x)

Out[4]: -14.0

我們回去看範例1的圖形，可能的臨界值有兩個，從圖形看的出來，我們解出的只是極小值（1, -14）。那另一極大值的解呢？根據scipy說明文件，須把函數取負值 ，這也是我們為什麼寫函數時，要增加一個參數 sign，因為這樣比較方便，判斷極大值時，可以如下這樣處理：

第1步：定義函數

def f(x, sign = -1):

return sign*(2*x**3+3*x**2-12*x-7)

第2步：求解與結果

Result2 = optimize.minimize_scalar(f)

螢幕的結果如下（需注意極值須加負號）

Result2.x

Out[5]: -1.999999999777818

-Result2.fun

Out[6]: 13.0

-f(Result2.x)

Out[7]: 13.0

範例5 函數f(x)=x4-x3相對極小值

第1步：定義函數

def f(x,sign=1):

return sign*(x**4-x**3)

第2步：求解與結果

Result3 = optimize.minimize_scalar(f)

螢幕的結果如下

Result3.x

Out[9]: 0.7500000000447832

Result3.fun

Out[10]: -0.10546875

f(Result3.x)

Out[11]: -0.10546875

5.3-2 多變數

再來就是不帶限制條件的多變數函數，本範圍範例的函數 相對極小值，則：

第1步：定義函數

import numpy as np

from scipy.optimize import minimize

def f(x, sign=1):

x1 = x[0]

x2 = x[1]

return sign*(x1**3-4*x1*x2 +2*x2**2)

第2步：求解與結果

x0=[1,1]

Result4 = minimize(f, x0)

雙變數以上的數值求解演算比較複雜，我們使用的函數是minimize()，如果用上面的optimize.minimize_scalar()執行會失敗。x0=[1,1]是起始值（initial values）。

螢幕的結果如下：

Result4.x

Out[13]: array（[1.33333404, 1.3333353 ]）

Result4.fun

Out[14]: -1.185185185181036

f(Result4.x)

Out[15]: -1.185185185181036

因為是數值結果，書上手解的臨界值是4/3，電腦則算出1.3333。相對極小值則是 -1.185。

此題還有一解，（0,0）是鞍點，如果設定x0=[0,0]，就會帶出0的極值。因為鞍點判斷的程式做法需要賦予更多的條件，不是本書涵蓋，也不是商學院微積分主題，我們大致知道目前學習的狀況即可。如果想挑戰Python 程式，把目前所學過的方法串起來，可以循以下步驟：

步驟 1. 使用diff()函數解一階偏微分，求取可能的臨界值

步驟 2. 求二階偏微分

步驟 3. 參考主題一的二元一次方程式求解判斷的準則（Delta），定義第三章的來判斷誰是鞍點，誰無解。

最後. 把可能的臨界值設為起始值，求解。

這樣的四步驟其實是一個程式訓練的典型基礎，有程式興趣的同學可以用在本範圍範例當作練習，為了避免微積分學習花太多時間講這個，我們就到此為止。

練習

1. 任選本範圍範例題，以書本解出的臨界值附近任取數字當作起始值，寫程式求解極值，並和書本比對。

5.3-3 多變數帶限制式

最後就是帶限制條件的極值，我們以第15堂課範例1來說明

Min.

s.t.

第1步：定義目標函數

import numpy as np

from scipy.optimize import minimize

def f(x, sign=1):

x1 = x[0]

x2 = x[1]

return sign*(x1+ 2*x2)

第2步：定義限制條件

def constraint1(x, sign=1):

return sign*(x[0]*x[1]- 5000)

第3步：設定求解參數

x0=[10,10] # 起始值，

b1 = (0, np.inf) # 參數條件xɬ，上界給予正無限大，np.inf就是

b2 = (0, np.inf) # 參數條件yɬ，上界給予正無限大，np.inf就是

bnds= (b1,b2) # 邊界條件向量

con1 = {'type': 'ineq', 'fun': constraint1} #把限制集定義成字典

cons = [con1] #把con1做成串列 （萬一有多個條件時，可以包在一起）

第4步：求解與結果

Result5 = minimize(f, x0,bounds=bnds,constraints=cons)

螢幕的結果如下

Result5.x

Out[17]: array([100.00691556, 49.99654246])

Result5.fun

Out[18]: 200.0000004780455

f(Result5.x)

Out[19]: 200.0000004780455

可對照數值的結果和第15堂課代數的結果。

接下來我們看「三變數，兩條限制式」，如第15堂課範例3。這個範例足以做很多的推廣

Min.

　s.t.

第1步：定義目標函數

import numpy as np

from scipy.optimize import minimize

def f(x, sign=1):

x1 = x[0]

x2 = x[1]

x3 = x[2]

return sign*(x1**2+ x2**2+x3**2)

第2步：定義限制條件

def constraint1(x, sign=1):

return sign*(x[0]+x[1]-3)

def constraint2(x, sign=1):

return sign*(x[0]+x[2]- 5)

第3步：設定求解參數（參數沒有bounds，故不需定義如前提的b1,b2）

x0=[1,1,1]

con1 = {'type': 'ineq', 'fun': constraint1}

con2 = {'type': 'ineq', 'fun': constraint2}

cons = [con1, con2]

第4步：求解與結果

Result6 = minimize(f,x0,constraints=cons)

螢幕的結果如下

Result6 = minimize(f,x0,constraints=cons)

Result6.x

Out[21]: array([2.6666667, 0.3333333, 2.3333333])

Result6.fun

Out[22]: 12.666666666666735

f(Result6.x)

Out[23]: 12.666666666666735

可以確認數值結果和第15堂課的分式，是一樣的。這樣本範圍所有的問題，我們都可以處理了。

練習

1. 修改上面程式，求解本範圍範例和習題，和答案確認結果。

主題3. 最佳化演算（Optimization） 求極值

前面的主題是解滿足一階導函數的根，因此，我們必須先微分求出導函數。但是，最簡單的方法是直接對目標函數求解：同時解出目標極值和臨界值。

Python完成這件事有sympy和scipy，筆者覺得sympy需要宣告的參數太多，尤其是在帶限制式時。所以我們使用模組scipy內的函數optimize()和minimize()，Python程式碼的步驟解說如下。

5.3-1 單變數

我們先看本章範例1的簡單方程式，如下：

第1步：定義函數

from scipy import optimize

def f(x, sign=-1):

return sign*(2*x**3+3*x**2-12*x-7...

推薦序

管理數學已為商管領域中數量方法的重要基礎，本書主要內容包括「微積分」與「矩陣代數」，並搭配實務面應用，如「數學規劃」及「管理決策」等。

與數學一樣講求邏輯思維的程式設計，近年來由於大數據與人工智慧的興起，帶動了一股軟體應用程式設計的學習熱潮，而過去幾年Python 語言在 codeeval.com的最夯程式語言中名列第一，毫無疑問Python已成為當今最熱門的程式語言。Python程式碼簡單好理解、有超豐富的函式庫可以運用，是非常適合商管領域初學者學習的程式語言。

將當今最熱門及最適合商管領域初學者學習的程式語言Python與管理數學內容結合起來是本書的最大特色；讀者可將數學的運算邏輯透過程式語言來實現演算，過程中除了可以學習到數量方法與程式語法之外，對於商管領域未來實務應用與發展能力上奠定了深厚的基礎，例如：現今金融業蓬勃發展的金融科技（FinTech）。

末學與何宗武教授是相識多年的好友，同時也是在大數據、人工智慧於金融科技發展上的同好伙伴，深知何教授在財經與金融大數據等研究領域表現卓越，並且也出版多本與商管相關的程式語言書籍，對於商管程式教育不遺餘力。而「管理數學與Python」一書著重以企業管理為主的理論學習架構，搭配Python程式語言實現運算邏輯，內容淺顯易懂，非常適合商管相關科系的學生來學習，在此鄭重推薦給大家研讀，相信收穫一定滿滿。

陳育仁

國立高雄科技大學

會計資訊系、資訊財務碩士學位學程 教授

財金大數據中心 主持人

2019/05/24

推薦序

管理數學已為商管領域中數量方法的重要基礎，本書主要內容包括「微積分」與「矩陣代數」，並搭配實務面應用，如「數學規劃」及「管理決策」等。

與數學一樣講求邏輯思維的程式設計，近年來由於大數據與人工智慧的興起，帶動了一股軟體應用程式設計的學習熱潮，而過去幾年Python 語言在 codeeval.com的最夯程式語言中名列第一，毫無疑問Python已成為當今最熱門的程式語言。Python程式碼簡單好理解、有超豐富的函式庫可以運用，是非常適合商管領域初學者學習的程式語言。

將當今最熱門及最適合商管領域初學者學習的程式...

序

過去20年，如果要處理資料都需要去圖書館拿年鑑或月報，然後用人工輸入。近來因為科技發展，讓數據的蒐集和使用愈來愈便捷，很多領域都開始面對大量數據躺在那邊。數字多的學科，須要瞭解資料探勘和數據分析的用途；用文字多的學門，則面臨文字分析和自然語言處理的學習。自己用不用沒關係，但是要能看的懂他人產生的報告。

坊間不缺管理數學的書，但是就內容編寫而言，會反應作者心中的核心學科。例如，有的側重微積分，有的側重作業研究（Operation Research）或數學規劃，有的甚至沒有足夠的矩陣代數篇幅。因此，以管理數學為經，本書設想的是以企業管理為主的學習架構，分四部分：微分和積分與矩陣代數和數學規劃。對於上學期可以講授3學分微積分，下學期可以講授矩陣代數和數學規劃。這是本書內容的第一個特色。

另外，目前商管學院和人文社會相關科系，幾乎都須要有一點程式概念，各校均增添程式教育課程。非資訊相關學門，程式學習入門最好能融入特定課程，而不要一開始就開一門獨立的程式語言課程。在這樣的背景之下，每一個部分結尾，納入循序漸進的Python章節，先把Python當成計算機，可以手算習題，然後用五六行的Python碼驗算。這樣一年課程下來，就會熟悉Python的運行邏輯。將Python融入課程，這是本書第二個特色。

然而，在四部分之後，本書依然續編了5-8部分的Python介紹，以供有興趣的同學在整門課結束後可以利用暑假繼續學習。每部分的Python學習手冊，可以使用Python於習題練習，確認答案，繪圖，以及符號運算。

本書完成，一要感謝臺灣師範大學提供優良的研究與教學環境，讓本人能專心工作；二要感謝五南出版社別具慧眼，在教科書市場競爭之下，願意出版這樣一本教科書。本書有任何疏漏與未竟之處，皆是本人的責任。

何宗武

於臺師大管理學院 2019/5/17

序

過去20年，如果要處理資料都需要去圖書館拿年鑑或月報，然後用人工輸入。近來因為科技發展，讓數據的蒐集和使用愈來愈便捷，很多領域都開始面對大量數據躺在那邊。數字多的學科，須要瞭解資料探勘和數據分析的用途；用文字多的學門，則面臨文字分析和自然語言處理的學習。自己用不用沒關係，但是要能看的懂他人產生的報告。

坊間不缺管理數學的書，但是就內容編寫而言，會反應作者心中的核心學科。例如，有的側重微積分，有的側重作業研究（Operation Research）或數學規劃，有的甚至沒有足夠的矩陣代數篇幅。因此，以管理數學為經，...

管理數學
目錄
推薦序
序
第1部份 管理數學原理
第1章 函數原理
第2章 函數與導函數
Python Part 1
第2部份 微分
第3章 微分方法— 單變數函數
第4章 微分方法— 多變數函數偏微分
第5章 微分商管應用
Python Part 2
第3部份 積分
第6章 積分原理— 反導函數與微積分基本定理
第7章 積分方法— 單變數函數
第8章 積分方法— 多變數函數重積分
第9章 積分的商管應用
Python Part 3
第4部份 矩陣代數
第10章 矩陣代數基礎
第11章 矩陣的基本運算與應用
第12章 矩陣的進一步性質
Python Part 4
第5部份 數學規劃與管理決策
第13章 數學規劃-- 單變數函數的極值
第14章 數學規劃--多變數函數的極值
第15章 數學規劃—具限制條件下函數的極值問題
第16章 選擇性主題
Python Part 5
Python Part 6
Python Part 7
Python Part 8

管理數學
目錄
推薦序
序
第1部份 管理數學原理
第1章 函數原理
第2章 函數與導函數
Python Part 1
第2部份 微分
第3章 微分方法— 單變數函數
第4章 微分方法— 多變數函數偏微分
第5章 微分商管應用
Python Part 2
第3部份 積分
第6章 積分原理— 反導函數與微積分基本定理
第7章 積分方法— 單變數函數
第8章 積分方法— 多變數函數重積分
第9章 積分的商管應用
Python Part 3
第4部份 矩陣代數
第10章 矩陣代數基礎
第11章 矩陣的基本運算與應用
第12章 矩陣的進一步性質
Python Part 4
第5部份 數學規劃與...