什麼是數學？

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認識數系

在求學的過程中，可看到數字的變化，也就是從真實生活中看的見且簡單實用的數字（如：整數、分數），慢慢走向真實生活看不到且複雜抽象的情況（如：虛數），見圖1-1。

為什麼會愈變愈複雜？都是應用上的需要而創造新的數字規則。初期的真實世界因為計算數量上的需求，而產生了整數（正整數）、分數（有理數）；在討論面積的需求上衍生出無理數的概念，上述都還稱得上看的到、摸的到的內容。後期為了方便性、生活需求、數學家希望數學的合理性、一致性，進行一定程度將數字抽象化。如：為了討論負債的問題，產生了負數與0的內容；為了讓數字的十進位可以更完美，產生了小數的內容；為了讓方程式的解（根）更合理，進而創造出虛數、複數的概念。

從古至今基礎數系的內容就僅僅於此，本章將介紹各數系的內容，而介紹的順序並不會完全以歷史軌跡走，而是以學習順暢度，見圖1-2。並參考圖1-3了解各數系的關係。

1-1正整數及基礎運算

1-1-1自然數（N、正整數、Natural number）

如果沒有數字時，要計算物品的數量會相當不便，比如說：一個原始人要表達他有7隻羊，但他沒有數字的概念，只能數羊、羊、羊、羊、……，一邊指一邊念，讓別人認知他念幾次就是幾隻羊；進步一點，可以伸出7根手指頭，再對別人說他有多少隻羊，用比的給別人看他有多少，而當手指不夠用時，自然就是說他有很多羊。最後為了計數的需求創造了數字、及各種進位法。

人們需要整數來面對的自然界的數量問題，故又被稱為是自然數，也難怪數學家克朗內克說「自然數是上帝創造的數字，而其他的數字則是人為。」

※ 備註：克朗內克（Leopold Kronecker）德國數學家，1823-1891。

★常見問題：一個蘋果加上一個水梨的數量為何？

作者的教學經驗，小學的學生會把一個蘋果與一個水梨的數量可以總合感到疑惑。因為認為兩種水果數量是不可混合的，加起來仍是一個蘋果與一個水梨。因為學生沒有把蘋果視為1個水果、水梨視為1個水果，加總起來是1個水果 + 1個水果= 2個水果。抽象性要跨出第一步是不容易的，要反覆以正確的語言來加以認識，而這樣的問題在國中的未知數符號化也是同樣的道理。使用數字的時候，當我們可以把一個蘋果與一個水梨的數量都理解為都是1的時候，也就代表對數字抽象性邁進了第一步。

※ 備註：整數一開始沒有正負數之分，西元9世紀後在印度才開始有使用負數。

1-1-2各種數字符號與阿拉伯數字

世界各地的文明各自發展出自己的數字符號與進位制，在此介紹幾個文明的數字符號與進位制作為參考，埃及見圖1-4、1-5，巴比倫見圖1-6，馬雅見圖1-7，中國見圖1-8，羅馬1到10分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ。但到近代我們最後整合為常用且方便的進位制與數字符號，如：阿拉伯數字、十進位、六十進位。

．世界通用的阿拉伯數字

現在使用的阿拉伯數字，並非阿拉伯人發明，而是印度人流傳推廣。而印度人又是學習腓尼基商人的計算方法，這套數字符號具有方便的符號與計算方式。隨後阿拉伯人經由經商將這套方便的數字，流傳到歐洲再傳到世界各地。阿拉伯數字的原始意義是有幾個角表示數字幾，看完原始寫法就能明白，見圖1-9。

1-1-3數學運算符號的由來

認識整數的加減乘除前，先認識現在的數學運算符號。歷史上出現過各種的數學運算符號，但最終整合成我們所熟悉的加（+）、減（–）、乘（×）、除（÷）。有趣的是符號創造依序分別是：減（–）、加（+）、乘（×）、除（÷）。

．減號「–」、加號「+」的記號

15世紀德國數學家魏德曼創立加號「+」、減號「–」。可想作十字是直線加橫線，表示加起來的意思；十字拿走直線部分，剩下橫線部分，表示減少的意思。

另一種說法：原是船員使用桶中的水時，為表示當天取用的分量而以橫線做標記，代表減少的水量。後來，減法便以「–」作為減的符號。船員重新加水到水桶，會先在原來的「–」記號上加上一條直線，再繼續刻下「–」號直到木桶不能用，所以加法便以「+」作為加的符號，減法便以「–」作為減的符號，見圖1-10。

．乘號「×」、「•」、「不寫」

17世紀英國數學家歐德萊，因乘法與加法有關係，故將3 + 3 + 3 + 3定為3 × 4，連續加法加幾次就是乘幾，幫助書寫，定義加號斜放表示相乘。後來德國數學家萊布尼茲（Leibniz）認為「×」容易與字母「X」混淆，主張用「•」。但「•」又有可能與小數點搞混，故也開始「不寫」，如：x × y = x•y = xy。故現在乘號有三種方式「×」、「•」、「不寫」。

乘號之所以會有這麼多的符號是因，「×」主要用在數字相乘、少用「•」怕會跟小數點搞混；而「•」主要用在符號相乘、少用「×」，怕會跟字母X搞混，同時我們可以發現在電腦鍵數字盤上的乘號是「*」或「*」，這邊是避免與X搞混。

★常見問題：xy與yx被認為不一樣

初學者在學習代數及省略乘號時，會認為xy與yx不一樣，原因可能為下述，第一個是還沒有理解到未知數相乘時乘號可以不寫，第二個是將未知數當作是位數數值，也就是xy與yx視為49與94的關係，第三個是將xy與yx視為不同的內容，如：on（在什麼之上）與no（不），而這個問題需要多強調符號相乘概念，xy與yx的確看起來不同，但等號是表示運算後數值一樣。

．除號「÷」、「/」

17世紀瑞士數學家雷恩創立，其中一種說法認為分數形式是「」，該記號必須代表有分數的感覺，所以除號「÷」，上方和下方的「•」分別代表分子和分母。

另一種說法則認為 ，除法以分數表示時，橫線上下的「•」是用來與「–」區分的記號。萊布尼茲主張用「：」作除號，與當時流行的比號一致。現在有些國家的除號和比號都用「：」表示。而「/」對於印刷版面有著方便的應用，不用多做版塊，直接用日期的斜線版塊，也普遍被接受這是除號。同時也有人說，除法是連續減法的應用，所以除法也類似乘法一般，斜放變除。

※ 備註：現在已經不用「：」作除號，但常見於比例尺的使用。

★常見問題：比例的運算中，什麼是內×內=外×外

在台灣的小學，有關比例的運算，會用到一個口訣：內×內=外×外，這是什麼原理呢？例如，3：5 =□：25，而5 × □= 3 × 25，所以5 × □= 75，故□= 15。基本上只要把比（：）的符號，寫成除號（÷），就能知道原理，3：5 =□：25改寫為3 ÷ 5 =□÷ 25，利用移項法則故3 ÷ 5 =□÷ 25可得到3 × 25 = 5 ×□，而75 =□× 5，所以75 ÷ 5 =□，故□= 15。因此就不用多死背一個口訣（或稱公式），在此要強調數學不該無端創造公式，無助學習。

．等號「=」

西元1540年的英國學者列考爾德使用「=」，用兩條平行等長的直線，來代表兩數相等，其意義為上面與下面的直線距離相同，故左邊與右邊的開口大小一樣。

．大於「>」、小於「<」

西元1631年英國代數學家赫銳奧特開始使用大於「>」、小於「<」，原理如同等號，兩條交叉的線，愈靠近交叉點，兩條線間的距離愈來愈小。所以「>」是左邊開口大，而數學的閱讀是由左向右，故稱為大於，如5 > 3，念作5大於3；反過來說「<」就是小於。

．中括弧「[ ]」和大括弧「{ }」

16世紀英國數學家魏治德開始使用中括弧與大括弧，為了區別小括弧的重複使用而混亂的情形。

數學運算符號的產生，一開始各國有各國的習慣符號，但最後為了方便交流，變成全世界通用的符號，也就意味著數學語言是全世界的共通語言。萊布尼茲知道數學語言是全世界語言，想創造一個全世界通用的溝通語言，不過還是失敗了。但他還是開創了現在全世界邏輯學常用的符號及觀念。

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認識數系

在求學的過程中，可看到數字的變化，也就是從真實生活中看的見且簡單實用的數字（如：整數、分數），慢慢走向真實生活看不到且複雜抽象的情況（如：虛數），見圖1-1。

為什麼會愈變愈複雜？都是應用上的需要而創造新的數字規則。初期的真實世界因為計算數量上的需求，而產生了整數（正整數）、分數（有理數）；在討論面積的需求上衍生出無理數的概念，上述都還稱得上看的到、摸的到的內容。後期為了方便性、生活需求、數學家希望數學的合理性、一致性，進行一定程度將數字抽象化。如：為了討論負債的問題，產生了負數與0的內...

作者序二

1941年，德裔美國數學家Richard Courant（1888-1972）與當年26歲的美國數學家，統計學家Herbert Robbins（1915 -2001）共同撰寫了《What is Mathematics？》這本迄今仍很熱門的數學書。

1978年，作者是哥大（Columbia University）數理統計系的博士生，當時教我統計及數學素養的正是Herbert Robbins教授，在他特有的「諷刺且幽默」的風格下，我終於領會到數學之美，而不再僅限於「數學很有用」這種膚淺的看法。1979年台灣發生美麗島事件，作者當時是哥大台灣同學會會長，與紐約台灣同鄉會一起帶同學上街示威遊行。Robbins教授知悉後對我說「反正你目前無心寫論文，不如專心去搞你的台灣學生運動，一年後再回來專心作論文」。這就是Robbins教授的風格。

《What is Mathematics？》這本書雖然很熱門，但畢竟是寫給喜愛數學或工程的學生或教師看的。有鑑於此，作者想從不同的角度，讓國、高中學生能快速體會數學之美，進而去除對數學的恐懼或焦慮，同時也提供國、高中數學老師一些有用的補充教材，能在課堂上向學生展現數學之美，使學生明白數學絕對不是學校或補習班所呈現的一連串無聊的例題和測驗卷。基於上述的信念，作者將從幾個不同面向來敘述國、高中數學：

1. 數學教育不該著重解題技巧及多作各種題型以利考試拿高分，數學教育的目的應是建立學生徹底了解及獨立思考的能力，而非以「考試拿高分」為目的。本書特別強調「徹底的了解」在數學上的重要性，因為我親身經歷太多了解數學近90%，而未達100%（徹底了解）的台灣高材生（數學成績一流的教授和工程師），當遇到不曾見過的實際數學問題時，卻無法獨立思考的窘境。因此，本書將重點放在數學概念的徹底了解及隨時能獨立思考的例題。

2. 多數人將數學認知為「研究數字的學問」，因而導致許多家長讓小孩從小學珠算或心算，期盼他們未來數學會學得好。這是普遍對數學的誤解，數學不僅是「研究數字的學問」，它更基本的內容是「研究數字，形態（pattern）及邏輯結構的學問」。本書的重點在於說明數字、及圖形形態變化及相關的邏輯關係。因此將純粹計算的內容減至最少，將所謂公式（就是由公理推導出的定理）也減至最少，徹底破除學好數學要背很多公式的錯誤教法及想法。

3. 社會謬誤常將數學好不好和聰不聰明劃上等號，但是，近代心理學家已不再相信20世紀初期開始，延用至今僅測試抽象概念能力的IQ測驗和聰明程度有極度相關。當然，天生數學較好的學生顯示他對抽象概念掌握能力佳，僅此而已。至於數學不好的學生頂多只顯示他的抽象概念掌握能力有待加強，與聰明程度不相關！難道，我們會認定一個五音不全（音感不佳）的人就是不聰明嗎？

作者深信，數學的學習內容顯然不該僅限於數學本身，應該將數學與人類文明發展歷程的關連清楚地呈現出來，而非僅限於計算與推理。事實上，很多家長與教師都誤以為數學僅是必要的科學工具，重點就是計算與推理，這種錯誤的看法與教法，直接導致大部分學生覺得數學既繁雜又難懂，只能死背大量「公式」以應付考試，不如乾脆放棄學習。為了糾正這種錯誤的大眾認知，本書的數學內容將盡可能與當時的歷史、藝術、及文明進展相連結。例如：三角相似形與希臘天文學的實際運用，幾何知識對近代繪畫及當代電腦動畫的貢獻，圓錐曲線如何促成克卜勒行星運動定律及牛頓力學，三角函數與近代通訊及音樂的深刻關連，近代數論成為密碼學的基礎，統計方法普遍應用於經濟學、社會學、心理學及醫學、且促成量子力學，以及非歐幾何學協助愛因斯坦完成相對論等。

4. 數學的理解和音樂有相似之處，兩者皆是較抽象的學問。然而卻有截然不同的學習過程，就音樂而言，先聽到（欣賞），再學看樂譜（抽象符號正確表達音高，旋律，和聲等）。換句話說，先聽到音樂，再學看譜與樂理，才容易學生學習。至於現代的數學教育，卻使用截然不同的過程：先學抽象符號（x, y, z）的計算規則及練習，之後再學習一些與實際應用未必相關的練習題，並稱之為「應用題」。這種情況不只充斥於國、高中數學課本，連大學的微積分課本也是如此。也就是說，現在的數學教育是：先學看譜和樂理，有沒有聽到音樂？以後自然會發生。

數學的理解和藝術有相似之處，如果學習繪畫是從三原色認識開始，再來介紹各個繪圖理論，最後進行作畫，豈不是會嚇跑學生，所以繪畫學習都是從隨意作畫開始，喜歡繪畫後，再進一步學習。同時要知道多數數學家都是由圖形來學習數學，而少部分才是由抽象的符號來學習數學，也就是數論。所以推論一般學生的數學抽象性應該相對更少，故更應該用更具體的教學來學習數學，如：先繪製數學圖案，有一定的感覺後，再學習數學，而非直接進入抽象的符號，這樣才能有助於學習數學。

為何學習音樂、藝術和數學有如此大的差異呢？作者認為有幾個原因：自18世紀以來，數學進展又多又快，迫使現今數學教育者必須在國、高中學生時代塞入比以前更多的數學知識，以面對全球科技競爭。在這種急功近利的情況下，數學被大多數人（含教師）狹義地理解成僅是科技進步的必備工具，因此老師經常對學生說：數學很重要，要認真學習，否則無法了解科學相關知識。這種壓迫性的說法反而造成很多學生的反彈：既然無趣又難懂，混過去即可，反正以後不當科學家或工程師就無所謂了。這種「數學恐懼或厭惡」的現象，舉世皆然。

近年來，由於芬蘭參與聯合國OECD的PISA（Programme for International Student Assessment）平均成績優異，造成很多國家思考如何重新修改數學教育。事實上，台灣學生的成績也很優異。但最大的差別是：芬蘭學生成績分布是所有參與國最集中（標準差最小），而台灣學生的成績分布卻是最分散的（標準差最大）。換句話說，芬蘭學生成績都差不多好，台灣學生卻是好的很好，差的很差。為何如此？

作者的解讀是芬蘭特別重視中小學的數學教育，因此教數學的老師都必須是數學學士或碩士。雖然芬蘭的方法未必適用於每個國家，然而確有可借鏡之處：將數學的應用融入當今環境。譬如說，世界的問題，由各國國旗上面不同色塊的大小學習分數的意義，由世界有名的高樓（如紐約帝國大廈，台北101大樓等）的圖像學習長度的「比例」概念。

本書採取不同的方式：先聽到音樂，再學看譜與樂理。也就是：先領會數學之美感，再學習數學的邏輯推理。數學常被認為是自然科學的一支，然而，數學固然是科學的語言，但其本質較相似於藝術創作。

本書將隨內容的進展配合人類文明的脈絡說明數學的本質：它像藝術一樣，是人類文化深具想像力及美感的一部分，不但是培養邏輯唯一的道路，更是蘊育民主思想的園地。數學發展的歷史就是人類發展史：數學發展到哪裡，世界就進步到哪裡。

本書將從上述各面向，以別於傳統的方法來敘述數學，使一般未必喜好數學的國、高中學生能領會數學之美，引發學習動機，進而去除對數學的恐懼或焦慮。依作者的教學經驗，本書的非傳統方法確定有效。衷心建議國、高中生及相關教師勇於嘗試本書所揭示的新教材及新方法。

「錯誤數學教學的影響，就是讓一流人才變二三流。」

「好的數學教育可以培養人的邏輯性，進而帶動社會的邏輯進步。」

「不好的數學教育及過度的考試，會讓學生學習數學的感覺愈來愈倒胃口。」

作者序二

1941年，德裔美國數學家Richard Courant（1888-1972）與當年26歲的美國數學家，統計學家Herbert Robbins（1915 -2001）共同撰寫了《What is Mathematics？》這本迄今仍很熱門的數學書。

1978年，作者是哥大（Columbia University）數理統計系的博士生，當時教我統計及數學素養的正是Herbert Robbins教授，在他特有的「諷刺且幽默」的風格下，我終於領會到數學之美，而不再僅限於「數學很有用」這種膚淺的看法。1979年台灣發生美麗島事件，作者當時是哥大台灣同學會會長，與紐約台灣同鄉會一起帶同學上街示威遊行。Robbins教授知...

錄 目
作者序一／吳秉翰
作者序二／吳作樂
前言
導讀
CH 1 認識數系
1-1正整數及基礎運算
1-2有理數（分數）及基礎運算
1-3小數、負數與0及基礎運算
1-4無理數及基礎運算
1-5實數、虛數與複數
1-6實數的性質
CH 2 進階運算規則
2-1絕對值
2-2指數
2-3對數
2-4第三個特別的無理數：歐拉數e
CH 3 代　數
3-1未知數與等量公理、及移項法則
3-2平面座標系、聯立方程式與直線方程式
3-3一元二次方程式、參數式、拋物線、與配方法
3-4數列與級數、一般式與遞迴式
CH 4 幾　何
傳統幾何
4-1基礎幾何概念
4-2幾何證明
4-3圓周率的祕密、第二個神奇的無理數π
傳統幾何到解析幾何
4-4三角函數與圓
4-5圓錐曲線與二次方程式
CH 5 複　數
5-1複數的運算與複數平面
5-2隸美弗定理與複數的極式
5-3歐拉的寶石：歐拉方程式
5-4淺談泰勒級數與傅立葉級數
CH 6 函數
6-1函數在生活上應用
6-2函數是什麼
CH 7 數學與藝術
7-1第一個神奇的無理數：黃金比例Φ
7-2大自然的黃金比例螺線
7-3碎形藝術與大自然及碎型典故
7-4極座標作圖
7-5代數曲線的藝術
7-6投影幾何
CH 8 結論—數學不好，不是你的錯
8-1數學恐懼症
8-2數學教育該怎麼做？先學唱歌再看譜
8-3結論

錄 目
作者序一／吳秉翰
作者序二／吳作樂
前言
導讀
CH 1 認識數系
1-1正整數及基礎運算
1-2有理數（分數）及基礎運算
1-3小數、負數與0及基礎運算
1-4無理數及基礎運算
1-5實數、虛數與複數
1-6實數的性質
CH 2 進階運算規則
2-1絕對值
2-2指數
2-3對數
2-4第三個特別的無理數：歐拉數e
CH 3 代　數
3-1未知數與等量公理、及移項法則
3-2平面座標系、聯立方程式與直線方程式
3-3一元二次方程式、參數式、拋物線、與配方法
3-4數列與級數、一般式與遞迴式
CH 4 幾　何
傳統幾何
4-1基礎幾何概念
4-2幾何證明
4...