摺紙幾何學：60種特殊摺紙

名人推薦：臺灣師範大學電機系助理教授 數感實驗室共同創辦人 賴以威

科學文創有限公司創辦人余筱嵐

1-0 關於摺紙展開圖

本章中不會把摺紙過程一步步畫出來，只會有各作品的展開圖，並附上簡單的說明。我們希望您能試著解開這些由幾何圖形構成的摺紙謎題，並從中得到樂趣，故整理了一些適合「看著展開圖摺」的作品放在這裡。本章所收錄的展開圖中，有些沒那麼容易摺出來，但並沒有特別難的作品。請參考以下的說明以及難易度的標示，充分享受摺紙的樂趣。

第1章的作品製作

1 圖的取得

將展開圖的頁面複印下來，或是到以下的網址下載展開圖檔案，再將其列印下來。

日本評論社《折る幾何学》網站http://www.nippyo.co.jp/folding_geometry/

2 將圖剪下（以及摺出摺線）

用剪刀沿著圖形輪廓剪下來，有以下兩種方法。

●直接將1印出來的紙沿著圖形輪廓剪下來。

●把1印出來的紙與欲用來摺出成品的紙重疊，以釘書機固定，再沿著圖形輪廓將兩張紙一起剪下來。剪之前，可以用斷水的原子筆之類的工具，在摺線（山線、谷線等）上劃過，摺起來會比較順。這種方法的好處在於成品不會留下印刷的摺線。

另外，如果展開圖的輪廓本身就是正方形或長方形，亦可另外拿一張正方形或長方形的紙張，照著展開圖摺出摺線。

3 摺出摺線與組裝完成

依展開圖的摺線摺出摺線，並參考說明圖，組裝出成品。圖中的虛線代表要摺出谷線（凹進去的摺線），而點線相間的鎖線則代表要摺出山線（凸出來的摺線）。

摺摺線的時候，先不要管摺線是山線還是谷線，只要有摺出摺線就好。要在山線與谷線之間變換並不困難，可以晚點再說。

另外，照著摺線摺出成品時，從中間開始摺或從周圍開始摺並不會有太大差別。

3個參考作品

下圖與次頁圖中列出的是相對簡單的摺紙作品，在此作為「看著展開圖摺」的範例。

這些作品與「1-18 截角二十面體與平面」是姊妹作品。

這些展開圖的中央有一個洞，別忘了把洞剪出來。另外，這些作品較適合用有點厚度的紙來摺。

1-0a 立方體與平面

山線

谷線

1-0b 正八面體與平面

1-0c 正十二面體與平面

1-1 中央開洞的包裝紙

形形色色的摺紙

這個作品叫做「中央開洞的包裝紙」。與前頁說明如何「看著展開圖摺」所用的範例類似，這裡的展開圖也長得奇形怪狀，或許會讓不少人想「這也稱得上摺紙嗎？」。提到摺紙，一般人想到的通常是「用一張正方形紙張摺出作品」。雖然不符合這個條件的作品並不少見，像是由複數紙張摺疊、組裝出來的「組合式摺紙」（單元摺紙）等，然而在摺紙同好之間，仍會將「用一張正方形紙張摺出作品」，稱作「不切正方一枚摺」這種看起來像是劍豪小說中才會出現的絕招名字，並把這種摺法當作摺紙的王道。

我自己就是一位摺紙創作者，也曾創造出許多這樣的作品。「不切正方一枚摺」相當適合作為解謎的限制，而這也成為了設計各種摺紙技巧時需考慮的條件。「正因為有某些限制，才讓藝術作品有豐富的變化」這樣的概念在創作領域很常見。英國的作家、評論家，卻斯特頓（G. K. Chesterton）曾這麼說過：

「藝術是有了限制後才出現的結果，藝術拿掉限制之後就什麼都沒了。（中略）所有畫作最漂亮的地方就是它的

畫框。」（「玩具劇場」，別宫貞德譯，《巨大與極小》((春秋社))出版）

相當諷刺的一句話對吧。既然如此，像本頁這種用特殊形狀的紙才能摺出來的作品，是否就屬於邪魔外道了呢？我倒認為不一定是這樣。

對我而言，摺紙有趣的地方來自於能親眼看著一張紙的外觀逐漸改變，特別是發生那些令人料想不到的變化的時候。而且，這些改變的背後都有幾何學的理論支撐。在本頁的例子中，「中間有洞的包裝紙可以摺成一個閉合的盒子」就是一個令人料想不到的變化。讓這個變化得以實現的關鍵，就在於這個作品的特殊結構。

兩面同等摺法

那麼，這個作品的結構又有什麼特殊的呢？那就是由開啟摺紙數學界先河的川崎敏和所倡導的「兩面同等摺法」。「兩面同等」正如其名，在這種摺法下，紙的正反兩面會被視為等價。換個方式說，如果用正反兩面不同色的包裝紙來摺這個作品，會發現包裝完後，成品表面兩色各佔一半。一般用包裝紙包裝時，包裝紙的內側不會出現在成品的表面，但這個作品卻顛覆了這樣的概念。

若想嚴謹地說明這個作品的特徵，則如下所述。

「展開圖符合以下對稱性：展開圖中任一點，以及將這個點沿著轉軸旋轉90°後所得到的新點，在摺紙過程中會

接受方向相反的操作。」（若以「點群」的用語表示，這叫做擁有「4次旋轉反對稱性」）

擁有這種對稱性的摺紙作品，展開圖的中心便是成品的立體中心。事實上，在這個作品中，即使不把展開圖中央的洞挖掉，仍能得到同樣的正八面體成品。再說，展開圖整體與正方形大致類似，因此只要稍作調整，便能達成「不切正方一枚摺」的條件（與此相關的作品還包括「3-13 兩面同等的正八面體骨架」，可互相對照兩個作品的介紹）。不過，由於展開圖的中央即為成品的立體中心，若保留中央的正方形，這個正方形便會留在正八面體成品的中心。換句話說，為了讓成品「成為可以包裝東西的外殼」，展開圖中央的正方形需事先挖掉，有種由結果反推原因的感覺。不過，挖掉中央正方形的洞，除了可以保持成品的中空、展現成品的特色之外，其實還有其他理由，將於下一段詳述。

剛體摺紙

三角形的三邊長度確定後，便能決定這個三角形的樣子，但是四邊形就不是這麼回事了。即使四邊形四個邊的長度與相交關係都確定，仍無法固定成一個平面形狀。四邊形的這個特性也與這個展開圖中央的洞有關。若嘗試在沒有挖掉中央洞的情況下摺本作品的話會發現，即使我們在摺的過程中盡可能保持紙張的平整，且八面體成品的八個面都很完美，中間那個正方形卻無論如何還是會歪歪斜斜的。因此本作品需預先將展開圖中央的正方形挖掉，才能得到任一面皆平整的成品。像這種每個面皆無扭曲變形，且相鄰兩面可以像門板的合頁般開合的摺紙作品，在摺紙的數學研究中稱作「剛體摺紙」，是一項很重要的研究主題。

（另外，「中央開洞的包裝紙」的立方體版，可參考「1-7 立方體內的雙曲拋物面」。）

1 洞

2 若仔細摺好摺線，便能像左圖般使各瓣邊緣的小側翼「一上一下」彼此咬合，使其形狀固定，最終可成為一個正八面體。如果使用有點厚度的紙張，並摺得俐落些，也可以用來包裝禮物，相當實用。

1-2 立方半八面體

紙張形狀與剪裁

這個作品與「1-1 中央開洞的包裝紙」同屬於「兩面同等摺法」，所用的紙張形狀亦與一般的摺紙不同。從「點群」的角度來看，則屬於「3次旋轉反對稱」。事實上，若我們看看前人的摺紙作品，會發現使用正方形以外的紙張摺紙並不是什麼稀奇的事。舉例來說，江戶後期的文獻，《斯哉等草》（非出版物，為足立一之的個人筆記、抄錄等）中，有提到一個螃蟹作品，所用的紙張便是四邊上各剪了一刀的正方形紙。換句話說，需使用一張有12個90°的內角、4個360°的內角的十六邊形紙張，才能順利摺出螃蟹的八隻腳及兩隻螯。同一文獻內的「蜘蛛」，則是使用如野慈菇花瓣般的十二邊形紙張才摺的出來。

圖1-2-1 節錄自《斯哉等草》（成書於1845年左右）

堅持不使用特殊紙張，只用正方形紙張摺出這類動物的多隻腳，是一道很有挑戰性的題目。但如果能拋開這些限制，自由選擇各種形狀的紙張來摺紙，想必能在建構作品時發揮更多創意。

再者，雖然摺紙領域中，有些人把「不剪裁」奉為圭臬不敢違抗，但所謂的正方形，不也是從無限的平面中剪下來的一個形狀嗎？看來所謂的「不剪裁」，很難找到一個完美的定義。

擬正多面體與均勻多面體

由這個「奇形怪狀的紙張」所摺出來的成品，是一個有6面正方形，並有8個正四面體狀凹陷（由正三角形的面組成）的立體形狀。要是沒有這8個正四面體狀的凹陷，就是所謂的「截半立方體」（cuboctahedron）。截半立方體是將立方體的8個頂點截掉，或者將正八面體的6個頂點截掉後所得到的立體形狀，為「擬正多面體（quasi-regular polyhedron）」的一員。而所謂的「擬正多面體」，指的是表面有兩種以上的正多邊形（因此正多面體不屬於擬正多面體），且無法區分各頂點差異與各邊差異（嚴謹的說法是，具「點可遞移性」與「邊可遞移性」）的多面體。無法區分各頂點，但各邊有所差異的則稱為半正多面體（semi-regular polyhedron）。

這個摺紙成品有與截半立方體的外型相似，但並不能稱作截半立方體。它叫做「立方半八面體（cubohemioctahedron）」，是「均勻多面體（uniform polyhedron）」的一種。

就算是對正多面體、擬正多面體、半正多面體等用語很熟悉的人，大概也不太容易聽到「均勻多面體」這個名字。均勻多面體指的是每個面皆為正多邊形，且無法區分各頂點差異的多面體，是半正多面體推廣後的概念。乍聽之下，均勻多面體與半正多面體的定義似乎一樣，但均勻多面體裡的「正多邊形」可容許兩邊如星形般相交，亦容許兩面相交，而半正多面體則不容許，這是兩者不一樣的地方。均勻多面體包含正多面體、半正多面體等，若除去有無限多種的正角柱與正反角柱，則有75種（考克斯特等人於1954）。而證明這75種多面體便是所有均勻多面體，則是20世紀後半的事了（Skilling. 1975）。

如果從容許兩面相交的角度來看這個作品，會發現這個作品除了可以看成由正方形與正三角形組成外，也可看成6個正方形與4個正六邊形的組合。在組裝這個作品的過程中，應可實際感受到四個六邊形的面互相交叉的感覺。而且這個作品不只各個頂點等價，各邊也彼此等價，故屬於廣義上的擬正多面體。

若將這些六邊形的投影到這個立體形狀的外接球上，可得到球的大圓。將邊投影至外接球後可得到大圓的凸型均勻多面體，僅有正八面體、截半立方體，以及由20個正三角形與12個正五邊型所組成的截半十二面體（icosidodecahedron）而已（順帶一提，若只算凸型擬正多面體的話，則只有截半立方體與截半十二面體而已）。而這些多面體上可投影成大圓的多邊形，則分別是正方形、正六邊形、正十邊形，各有3、4、6個這些形狀。從這些資料看來，將可以投影成大圓的5個正八邊形組合起來，好像也可以得到凸型均勻多面體才對，然而卻不存在這種多面體。

此外，由3個正方形與6個正十邊形交叉組合出的多面體，也像這裡的多面體一樣，可以用一張紙以類似方法摺出來。6面正十邊形交叉組合之多面體的展開圖在下兩頁。

1-0 關於摺紙展開圖

本章中不會把摺紙過程一步步畫出來，只會有各作品的展開圖，並附上簡單的說明。我們希望您能試著解開這些由幾何圖形構成的摺紙謎題，並從中得到樂趣，故整理了一些適合「看著展開圖摺」的作品放在這裡。本章所收錄的展開圖中，有些沒那麼容易摺出來，但並沒有特別難的作品。請參考以下的說明以及難易度的標示，充分享受摺紙的樂趣。

第1章的作品製作

1 圖的取得

將展開圖的頁面複印下來，或是到以下的網址下載展開圖檔案，再將其列印下來。

日本評論社《折る幾何学》網站http://www.nippyo.co.jp/folding_geometry...

目次
前言
範例（符號說明）

第1章 看著展開圖摺
1-1 中央開洞的包裝紙
1-2 立方半八面體
1-3 小十二面半十二面體
1-4 正六邊形斷面立方體
1-5 陽馬
1-6 一半的立方體
1-7 立方體內的雙曲拋物面
1-8 扭棱立方體
1-9 大十二面體外殼
1-10 地球儀
1-11 星形多面體
1-12 波浪
1-13 爬蟲類
1-14 連體紙鶴 新版三合一紙鶴
1-15 沙漏角柱
1-16 正八面體盒
1-17 方圓疊紙
1-18 截角二十面體與平面
1-19 正四面體內接正八面體
1-20 雙層螺旋立方體
1-21 笛卡兒座標
1-22 神明鳥居
1-23 杜勒多面體
1-24 樹
1-25 立方體與內接正四面體
1-26 消波塊

第2章 組合式摺紙
2-1 魚之立方體
2-2 鳥之立方體
2-3 亞伯斯盒
2-4 雙子座
2-5 正六邊形截面盒
2-6 領結立方體、八分之四的立方體
2-7 領結單元
2-8 立匣體
2-9 博羅梅安環方盒
2-10 鷺草方盒
2-11 色鉛筆市松立方體
2-12 鳥舟風立方體
2-13 四張一組的正四角柱
2-14 凹十二面體
2-15 正十二面體
2-16 有骨架的正八面體
2-17 星形八面體
2-18 鋸齒分割立方體
2-19 刺棘立方體

第3章 小品集
3-1 CD包裝
3-2 伐里農的信封
3-3 正八面體的四分之三
3-4 立方體的最大截面
3-5 雙重螺旋
3-6 大衛之星
3-7 人形
3-8 伏見方盒
3-9 黃金盒、黃金垃圾桶
3-10 方形蛋
3-11 凹箱
3-12 錯覺立方體
3-13 兩面同等的正八面體骨架
3-14 魚之枡
3-15 六角結文
後記
索引

目次
前言
範例（符號說明）

第1章 看著展開圖摺
1-1 中央開洞的包裝紙
1-2 立方半八面體
1-3 小十二面半十二面體
1-4 正六邊形斷面立方體
1-5 陽馬
1-6 一半的立方體
1-7 立方體內的雙曲拋物面
1-8 扭棱立方體
1-9 大十二面體外殼
1-10 地球儀
1-11 星形多面體
1-12 波浪
1-13 爬蟲類
1-14 連體紙鶴 新版三合一紙鶴
1-15 沙漏角柱
1-16 正八面體盒
1-17 方圓疊紙
1-18 截角二十面體與平面
1-19 正四面體內接正八面體
1-20 雙層螺旋立方體
1-21 笛卡兒座標
1-22 神明鳥居
1-23 杜勒多面體
1-24 樹
1-25...