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博客來第一章 柯尼斯堡七橋問題
幾何學中，處理距離的領域一直都很受人矚目。
然而除此之外，還有個領域幾乎從來沒人提到。
首先談及這個領域的萊布尼茲，
將其稱作「位置的幾何學」。
——李昂哈德‧歐拉(Leonhard Euler)
1.1 由梨
「最近哥哥給人的感覺好像不太一樣耶。」由梨說著。
今天是星期六的下午，這裡是我的房間。
就讀國中三年級的表妹，由梨來找我玩。
小時候就常和我一起玩的她，總是叫我《哥哥》。
綁著栗色馬尾，穿著牛仔褲的她，從我的書架上抽起了幾本書，慵懶地翻著閱讀。
「給人的感覺不一樣？」我反問她。
「嗯——總覺得有點過度冷靜，感覺很無聊喵。」
由梨一邊翻著書頁，一邊用著她獨特的貓語這麼說。
「是嗎？畢竟我也是高三生，也得有些考生的樣子啊。」
「不對喔。」她馬上否定了我的辯解。「哥哥以前不是都會和我玩很多不同的遊戲嗎？但是最近——應該說暑假結束後，就都沒怎麼理我了，明明都已經秋天了耶！」
說完後，由梨把手上的書啪一聲闔起。那是一本給高中生讀的數學書籍。雖然裡面有寫到一些比較難的內容，但由梨的話應該也讀得懂吧。
「明明都已經秋天了……不不不，就是因為已經是秋天了，身為考生，得開始認真讀書啊。再說，由梨也是考生不是嗎？」
「你是想說，國中三年級也該有點考生的樣子嗎喵？」
像這樣刁蠻的由梨，明年也要考高中了。她的成績並不差，所以應該能考進她想讀的學校——也就是我的高中吧。
「可是學校好無聊喔。」由梨邊嘆氣邊說。
啊……因為《那傢伙》已經轉學了是嗎？
1.2 一筆劃問題
「對了，由梨知道柯尼斯堡七橋問題嗎？」
「柯尼……什麼啊？」由梨回道。
「柯尼斯堡。這是一個城市的名字。這個城市內有七座橋。」
「這什麼啊，聽起來好像奇幻小說喔。『這個城市有七座神聖的橋，勇者們需通過這些橋，才能打敗龍——』」
「不是啦，不是那種故事。柯尼斯堡七橋問題是歷史上很有名的數學問題喔。」
「是這樣嗎？」
「也就是所謂的一筆劃問題喔！」
「是只能用一筆劃通過所有邊的那個嗎？」
「是啊。說得更仔細一點，就像這樣。柯尼斯堡這個城市內有河流通過，市內有七座橋，如圖所示。」
1 柯尼斯堡七橋問題
「橋不是只有六座而已嗎？a、b、c、d、e、f。」
「右下方還有第七座橋g不是嗎？陸地可分為A、B、C、D四塊，橋則有a、b、c、d、e、f、g七座。」
「嗯嗯，然後要用一筆劃走過所有的橋嗎？」
「沒錯。不管從A、B、C、D哪一塊陸地開始都行。在不重複經過同一條橋的條件下，能不能走過每一條橋呢？」
問題1-1（柯尼斯堡七橋問題）
在不重複經過同一條橋的條件下，能不能走過柯尼斯堡的七座橋呢？
「嗯——要走過所有的橋，但不能重複經過同一條橋。也就是說，每一條橋都要剛好走過一次對吧。」
「沒錯，條件就只有這些。」
「不對唷。」由梨裝模作樣地說著。「還得加上『不可以游過河』之類的條件不是嗎？『勇者啊，絕對不可以用游的過河喔！』」
「這當然囉。既然是和橋有關的問題，就不能作弊用游的過河嘛。」
「而且還要加上『只有一個人過橋』的條件才行啊！要是沒有這個條件的話，只要七個人分工，就可以馬上走完七座橋了！」
「好啦好啦。過橋的只有一個人，而且不能用直升機、火箭、挖地道之類的方法過河，當然也不能瞬間移動。」我邊搖頭邊說著，由梨總是追究這些詳細的條件。
「還有啊，一定要回到一開始出發的陸地嗎？」
「不，最後不一定要回到一開始出發的陸地喔。當然，回到一開始出發的陸地也沒關係。柯尼斯堡的七橋問題中，只要沒重複走過同一條橋，且每條橋都有走過就行了。」
「有辦法一筆劃走完這些橋嗎喵……嗯喵，我覺得應該可以耶。」
「那就試試看吧。」
由梨拿著自動鉛筆，花了好一段時間嘗試一筆劃走完這些橋。
「……」
「怎麼樣？完成了嗎？」
「不行！一定辦不到啦！你看，假設我們從A開始走，沿著a→e→f→b→c→d的順序過橋，最後就沒有路可以走了啊！這樣走不到g啦！」
1 沿著a→e→f→b→c→d的順序過橋（走不到g橋）
「是啊。走過橋d來到陸地B時，會發現連接陸地B的五座橋都已經走過了，沒辦法再從B走到其它陸地。然而，卻還沒走過橋g。」
「沒錯沒錯。」
「可是說不定還有其它走法啊。要不要試著從其它陸地開始走走看呢？」
「我試很多種走法了啦，就是不行！」
「即使你說試了很多種走法，卻不代表你試過所有的走法不是嗎？」
「是這樣沒錯啦……」由梨說著。「但一定不行啦！」
「那這就是由梨的猜想囉？」
「咦？」
「由梨為了解開柯尼斯堡七橋問題，用嘗試錯誤法試了許多次，認為不可能一筆劃走完所有的橋。但因為由梨沒有辦法以數學方法證明這真的不可能，故這只是《由梨的猜想》。」
「以數學方法證明……這有可能做到嗎？這是一筆劃問題喔？哥哥再怎麼擅於算式推導也派不上用場吧？」
「我們可以用圖來證明能不能用一筆劃走完所有橋喔，這還不需要用到算式。」
「圖？」
「沒錯。這裡說的圖並不是折線圖或圓餅圖那種統計用的圖表，而是《由邊連接起許多頂點的圖》。討論那些可以一筆劃走完的圖擁有哪些性質，也是一種數學喔。」
「由邊連接起許多頂點的圖……那是什麼啊，聽不懂耶。」
「拿柯尼斯堡的七橋問題當例子，陸地就相當於頂點，橋就相當於邊，故可得到下面這個圖。圖裡面，頂點之間《連接的方式》非常重要。你看，這張圖與橋的地圖是用同樣的方式連接起來的不是嗎？」
1 柯尼斯堡七橋問題的圖
「這完全不一樣吧。」
「沒這回事喔。仔細看，地圖上的A、B、C、D陸地分別對應到以圓表示的頂點。也就是將大片土地縮小變形，以一個頂點來表示。而a、b、c、d、e、f、g等橋則可以邊來表示。」
1 將地圖縮小變形成『圖』的樣子
「縮小變形……原來是這樣啊——」
「一筆劃問題中，不需要考慮《陸地面積多大》或《橋有多長》之類的問題。《各個陸地分別有哪些橋》才是重點。」
「原來如此啊。」由梨點了點頭。「那那那，邊可以彎曲嗎？」
「『圖』的邊可以彎曲喔。只要連接方式相同，邊有多長、有沒有彎曲都可以。地圖上的橋g雖然離得很遠，但只要注意不要改變與陸地的連接方式，就可以把g橋往中間拉。將『圖』的形狀整理好後，證明起來也比較容易喔。」
「我知道『圖』是什麼了。但是——該怎麼證明呢？」
「那，我們就一起來想想看這個一筆劃問題吧！」
「嗯！」
1.3 從簡單的圖開始
「從簡單的圖開始思考吧。假設圖1是由兩個頂點和一個邊組成的圖，這很明顯可以用一筆劃完成對吧。」
1 圖1
「當然囉。從Ａ畫到B就畫完啦。」
「讓我們用一個箭頭來表示一筆劃的路徑吧。這條路徑是由A畫到B，A是開始的點，也稱作起點；B是結束的點，也稱作終點。」
2 圖1可一筆劃完成
「嗯嗯。」
「接著來考慮一個稍微複雜的圖吧。就是這個三角形的圖2。」
「這一點都不複雜啊！只要繞一圈就可以一筆劃畫完了嘛！」
1 圖2可一筆劃完成
「是啊。這樣畫的話，起點和終點都是A。」
「嗯，就是繞一圈嘛。」
「那，這個圖3可以一筆劃完成嗎？」
2 圖3可一筆劃完成嗎？
「不行！」
「為什麼呢？」
「因為，不管從哪個點開始，都不可能走過所有邊嘛！」
「沒錯。舉例來說，如果起點是A，接著會走到頂點B，再來可以走到頂點C。這樣就剩B和D間的這條邊還沒走過了，然而我們卻沒辦法走到這條邊上，這是為什麼呢？」
1 圖3沒辦法一筆劃完成（起點為A）
「因為到頂點C以後就沒辦法再移動了嘛。」
「是啊，沒辦法再移動了。因為頂點C只有一個邊，當我們從別的頂點走到頂點C時，就把這條邊用掉了，所以之後便沒辦法再度移動。A→B→D和A→B→C的情況相同，而且不管起點是頂點C還是頂點D都一樣。」
「嗯。」
「另外，將頂點B當作起點也沒辦法完成一筆劃。譬如說B→A，之後就沒辦法再移動了。」
2 圖4沒辦法一筆劃完成（起點為A）
「原來如此，如果頂點只有一個邊就不行！因為，如果從這個邊連到這個頂點，就沒辦法再走出來了嘛！」
「不不，這話說得太早囉。圖3確實如此，但某些情況下只有一個邊也是能一筆劃完成的喔。一開始我們提到的圖1，就是由頂點A與頂點B以一個邊連起來的不是嗎？這個圖可以用一筆劃完成。」
1 圖1僅由一個邊連起頂點A與頂點B，卻可以用一筆劃完成
「咦——那是因為這兩個點就是起點和終點嘛！只要用一個邊就可以連起來了啊！」
「沒錯！由梨發現了一個很大的重點囉！」
「發現？」
1.4 圖與次數
「剛才由梨說的話，就是一筆劃問題中很重要的發現喔！」
●考慮所有頂點的《連接邊數》
●將《起點與終點》及《中途點》分開考慮
「嗯……？」
「假設有一個可以一筆劃完成的圖。那麼，起點附近看起來應該會像這個樣子。假設我們只看與起點連接的邊，省略其它頂點的話，看起來就像這樣。」
2 可一筆劃完成的圖的起點
「這是……什麼意思啊？」
「注意看圖中與起點相連的邊。假設有七個邊與這個點相連，由於這個點是起點，故有一個邊會被當作《一筆劃的第一個邊》，其它邊則一定會以《進入邊》與《離開邊》的形式兩兩成對出現。這個頂點有三對這樣的邊。當然，圖不一樣的話，成對的連接邊數亦會不同，也有可能出現零個成對邊的情形。」
「這樣啊……」
「可一筆劃完成的圖中，起點有一條《一筆劃的第一個邊》，以及數條兩兩成對出現的邊。這表示與起點相連的邊有奇數個，也就是1、3、5、7……等。」
「哥哥啊，你好聰明喔！」
●可一筆劃完成的圖中，起點與終點相同時：
○起點：連接邊數為偶數
○終點：連接邊數為偶數
○中途點：連接邊數為偶數
●可一筆劃完成的圖中，起點與終點不同時：
○起點：連接邊數為奇數
○終點：連接邊數為奇數
○中途點：連接邊數為偶數
「原來如此……」由梨說。
「由此可發現一個很重要的問題。」
如果一個圖可以用一筆劃完成，
那麼圖中連接邊數為奇數的頂點會有幾個？
「有幾個……連接邊數為奇數的頂點，不就是零個或兩個嗎？如果起點和終點相同的話就是零個，不同的話就是兩個——啊！」
「想到了吧？」
「柯尼斯堡的七橋問題！奇數邊的頂點有四個！」
「沒錯，A有三個邊、B有五個邊、C有三個邊、D有三個邊，所以連接邊數為奇數的頂點有四個。」
1 連接邊數為3 2 連接邊數為5 3 連接邊數為3 4 連接邊數為3
5 連接邊數為奇數的頂點有四個
「有四個就不行了啊！」
「沒錯。如果一個圖可以用一筆劃完成的話，連接邊數為奇數的頂點只可能是零個或兩個。可是柯尼斯堡的七橋圖中有四個奇數點，所以——」
「沒辦法一筆劃完成！」
「是啊。我們絕對沒辦法用一筆劃走完由柯尼斯堡七橋簡化而成的圖。或者也可以說，柯尼斯堡的七橋問題無解。這樣就證明結束了！」
解答1-1（柯尼斯堡七橋問題）
如果可以用一筆劃走完由柯尼斯堡七橋簡化而成的圖，那麼這個圖中，連接邊數為奇數的頂點必須是零個或兩個。然而柯尼斯堡七橋的圖中，連接邊數為奇數的點卻有四個。因此，柯尼斯堡七橋問題無解。
「原來如此——！就算沒有每種情況都試過也可以證明耶！」由梨的眼睛閃閃發光。
「某個頂點的《連接邊數》又稱為該頂點的次數。所以，如果改用《次數》來描述我們對於一筆劃問題的已知性質的話，就像這樣。」
一筆劃問題的已知性質
如果一個圖可以用一筆劃完成，
那麼次數為奇數的頂點就是零個或兩個。
「孩子們！茶泡好囉！」媽媽的聲音傳進我的房間。
這也是數學嗎？
「小由梨啊，你又長高囉！」媽媽說。
「是這樣嗎？」由梨邊回答邊把手放在頭上。
「正處於成長期呢。」我附和著。
這裡是客廳。我和由梨正在享用媽媽端出來的藥草茶，至少由梨確實有在喝。
「怎麼樣？好喝嗎？」媽媽問。
「這是德國洋甘菊吧，覺得心情平靜多了——」由梨回答。
「由梨懂得真多耶。」
「你呢？覺得好喝嗎？」媽媽轉頭問我。
「等我喝了再說感想吧。對了由梨，剛才說的柯尼斯堡的七橋問題都懂了嗎？」
「嗯，都懂囉。」由梨回答。
「唉呀呀，又要開始講數學了嗎？」媽媽走回了廚房。
「第一個證明了柯尼斯堡七橋問題的是數學家歐拉。不過歐拉剛證明出這個問題時，似乎認為這個問題和數學沒什麼關係。」
「嗯嗯，歐拉的意見和由梨一樣呢。」
「在得意什麼啊……不過，後來歐拉在這個問題中發現了新的數學喔，還寫了一篇論文說明七橋問題的解法。」
「發現新的數學——是什麼意思啊？」
「柯尼斯堡七橋問題不只是單純的益智遊戲，還有著深入研究的價值。這個問題與幾何學很像，是處理圖形的數學。」
「像是正方形或圓形嗎？」
「沒錯，不過和一般的幾何學不太一樣。這是一種只要不改變連接方式，就算任意改變邊的長度也沒關係的幾何學。」
「啊，說的也是。畢竟剛才也把地圖整個縮小變形了。」
「沒錯沒錯。只要連接方式相同——或者說只要保留連接方式，就算將廣大陸地縮小成一個點也沒關係；把橋視為邊的話，也可以任意伸長或縮短。柯尼斯堡的七橋問題，就是這個《新幾何學的領域之一》的誕生契機喔。」
「新幾何學……」
「不過，歐拉的論文中，並沒有像剛才一樣用圖來表示。歐拉在十八世紀時寫下這篇論文，不過剛才的圖卻是十九世紀才出現喔。」
「就算不計算也能證明出答案的方法……」
「並不是完全沒有計算喔。我們不是有一一檢查次數是奇數還是偶數嗎？歐拉有在論文中引用了萊布尼茲的《位置幾何學》概念。歐拉是開創了這個數學領域的學者，不過確立這門學問在數學領域中地位的人，則是一位叫做龐加萊的數學家。龐加萊在論文中用《位置解析》的方法來探討這個領域的問題，最後將這個領域稱作位相幾何學，也可以稱作拓樸學。」
「拓樸學的話我有聽過。」
「拓樸學關注的就是《連接的方式》。」我說。
拓樸學關注的就是《連接的方式》。
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數學女孩 龐加萊猜想的圖書 |
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數學女孩－龐加萊猜想 出版日期：2019-05-03 |
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圖書介紹 - 資料來源：TAAZE 讀冊生活 評分：
圖書名稱：數學女孩 龐加萊猜想
日本数学会出版賞得主結城浩的科普輕小說
數學迷們引頸盼望的本傳續集
獎金100萬美元，百年以來無人能解的世紀難題終得證明！
不管是外型、氣質，還是態度，都十分優秀，
在世間來來去去，卻不會顯露出任何瑕疵。
——清少納言《枕草子》
柯尼斯堡七橋問題、克萊因瓶、非歐幾里得幾何學…
形狀、形狀、形狀。所見即所得，這就是形狀。
——真是如此嗎？
這份感情，又是什麼形狀？
改變位置，形狀也會跟著改變。
改變角度，形狀也會跟著改變。
真可說是所見即所得嗎？
聲音的形狀、香味的形狀、溫度的形狀。
看不到的東西，就沒有形狀了嗎？
小小的鑰匙。
小小的事物可以一手掌握。
廣大的宇宙。
廣大的空間是我的容身之處。
然而過小的事物難以掌握其形狀。
過大的空間亦難以掌握其形狀。
回過頭來，自己的形狀又是什麼樣子呢？
不如用手中小之又小的鑰匙，打開眼前的門，
跳入廣大的宇宙內吧。
那是為了有一天，找到自己的形狀。
那是為了有一天——找到你的形狀。
這是「我」和三位女孩
一起探索積分的秘密與力量，
教人怦然心動的數學對話。
作者簡介：
結城浩
1963年生。2014年獲得日本数学会出版賞。執筆寫作有關程式語言、設計模式、密碼、數學等等領域的入門書。最新著作是「數學女孩系列」。是一個最喜歡巴哈「賦格的藝術」作品的新教基督徒。作品包括：2011《數學女孩／費馬最後定理》，2012《數學女孩／哥德爾不完備定理》，2013《數學女孩／隨機演算法》、2014《數學女孩／伽羅瓦理論》（世茂出版）、2016—2017《數學女孩祕密筆記》系列。
http://www.hyuki.com/
審訂者簡介
洪萬生
美國紐約城市大學（CUNY）科學史博士，國立台灣師範大學數學系學士、碩士。國立台灣師範大學數學系教授兼主任（2007/8/1-2009/7/31）、台灣數學教育學會理事長（2007-2009）、國際科學史學院通訊會員、Historia Mathematica（國際數學史雜誌）編輯委員、《HPM通訊》發行人、台灣數學（虛擬）博物館創始人之一。
譯者簡介：
陳朕疆
自由譯者。清大生科學士、政大財管碩士、京都大學農學部交換一年、台大經濟系研究助理。碰到新的領域就想一探究竟，成為譯者是偶然，卻也越做越喜歡，歡迎批評指教。個人網頁 http://chenzjkyoto.xyz/index.html
章節試閱
第一章 柯尼斯堡七橋問題
幾何學中，處理距離的領域一直都很受人矚目。
然而除此之外，還有個領域幾乎從來沒人提到。
首先談及這個領域的萊布尼茲，
將其稱作「位置的幾何學」。
——李昂哈德‧歐拉(Leonhard Euler)
1.1 由梨
「最近哥哥給人的感覺好像不太一樣耶。」由梨說著。
今天是星期六的下午，這裡是我的房間。
就讀國中三年級的表妹，由梨來找我玩。
小時候就常和我一起玩的她，總是叫我《哥哥》。
綁著栗色馬尾，穿著牛仔褲的她，從我的書架上抽起了幾本書，慵懶地翻著閱讀。
「給人的感覺不一樣？」我反問她。
「嗯——總覺得有...
幾何學中，處理距離的領域一直都很受人矚目。
然而除此之外，還有個領域幾乎從來沒人提到。
首先談及這個領域的萊布尼茲，
將其稱作「位置的幾何學」。
——李昂哈德‧歐拉(Leonhard Euler)
1.1 由梨
「最近哥哥給人的感覺好像不太一樣耶。」由梨說著。
今天是星期六的下午，這裡是我的房間。
就讀國中三年級的表妹，由梨來找我玩。
小時候就常和我一起玩的她，總是叫我《哥哥》。
綁著栗色馬尾，穿著牛仔褲的她，從我的書架上抽起了幾本書，慵懶地翻著閱讀。
「給人的感覺不一樣？」我反問她。
「嗯——總覺得有...
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作者序
給讀者
本書中出現了各式各樣的數學問題，包括簡單到連小學生都懂的問題，以至於連大學生都感到困難的問題。
除了使用語言、圖形，以及程式之外，也會使用算式來表現登場人物的思考脈絡。
如果不明白算式的意義，可將算式放一邊，先去追隨故事情節發展。蒂蒂與由梨會陪伴著你一起走下去。
而對數學很拿手的讀者，除了故事之外，請務必跟隨算式的腳步拾級而上。如此一來，可將故事的全貌看得更清楚。
本書中出現了各式各樣的數學問題，包括簡單到連小學生都懂的問題，以至於連大學生都感到困難的問題。
除了使用語言、圖形，以及程式之外，也會使用算式來表現登場人物的思考脈絡。
如果不明白算式的意義，可將算式放一邊，先去追隨故事情節發展。蒂蒂與由梨會陪伴著你一起走下去。
而對數學很拿手的讀者，除了故事之外，請務必跟隨算式的腳步拾級而上。如此一來，可將故事的全貌看得更清楚。
目錄
序章
第一章 柯尼斯七橋問題
1.1 由梨
1.2 一筆劃問題
1.3 從簡單的圖開始
1.4 圖與次數
1.5 這也是數學嗎？
1.6 《逆定理》的證明
第二章 莫比烏斯帶、克萊因瓶
2.1 頂樓
2.1.1 蒂蒂
2.1.2 莫比烏斯帶
2.2 教室
2.2.1 自習時間
2.3 圖書室
2.3.1 米爾迦
2.3.2 分類
2.3.3 閉曲面的分類
2.3.4 可定向曲面
2.3.5 不可定向曲面
2.3.6 展開圖
2.3.7 連通和
2.4 歸途
2.4.1 像質數般
第三章 蒂蒂的周圍
3.1 家人的周圍
3.1.1 由梨
3.2 0的周圍
3.2.1 問題練習
3.2.2 全等與相似
3.2.3 對應關係
3.3 實數a的周圍
3.3.1 全等、相似、同胚
3.3.2 ...
第一章 柯尼斯七橋問題
1.1 由梨
1.2 一筆劃問題
1.3 從簡單的圖開始
1.4 圖與次數
1.5 這也是數學嗎？
1.6 《逆定理》的證明
第二章 莫比烏斯帶、克萊因瓶
2.1 頂樓
2.1.1 蒂蒂
2.1.2 莫比烏斯帶
2.2 教室
2.2.1 自習時間
2.3 圖書室
2.3.1 米爾迦
2.3.2 分類
2.3.3 閉曲面的分類
2.3.4 可定向曲面
2.3.5 不可定向曲面
2.3.6 展開圖
2.3.7 連通和
2.4 歸途
2.4.1 像質數般
第三章 蒂蒂的周圍
3.1 家人的周圍
3.1.1 由梨
3.2 0的周圍
3.2.1 問題練習
3.2.2 全等與相似
3.2.3 對應關係
3.3 實數a的周圍
3.3.1 全等、相似、同胚
3.3.2 ...
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