圖解數學基礎入門（全新修訂版）

數的架構

數的觀念從計算開始

從歷史的觀點來看，不難想像數學最早的起源是來自計算東西。

當人們數著一個、二個、三個蘋果或橘子，一個人或二個人的時候，從這些不同種類的「物」、「人」中，產生數的觀念；這就是自然數的起源。

現代人可以隨心所欲加以運用的數，是經過漫長歷史才被人類掌握；因為實際計算和用數字表達的抽象觀念之間，有著極大的差距。

當然，這種抽象的觀念，會經過某些特定的努力而具體化；經過長久的歲月，藉著許多人的力量，我們才能一步步認識數學。

在我們計算蘋果或橘子的時候，自然地導入了加減法的演算。

除了無限大的數學外，比較小的「正整數」會自然地進入人類的生活中（所以正整數又稱作「自然數」）。

數的發展

自然數衍生了數的觀念之後，人類又發現「零」，接下來出現「負數」，成為完整的整數結構。

當然，從物體的分割，發展出有理數也是自然的現象；「有理數」指的是分母及分子都是整數（但分母不為零）的分數。

若有理數再加入「無理數」，就構成「實數」系統。

不過，就像畢達哥拉斯學派的門徒對此持保留意見一樣，無理數正如其名，總叫人覺得是不太自然的數。

最後實數加上「虛數」成為「複數」，數的觀念終於暫時劃下休止符；但這並不表示，這條數學大道從此平坦順遂。

由此可知，經過漫長歷史，辛苦累積的數的觀念，堪稱是人類智慧的結晶。

零的發現

代表什麼都沒有，卻具有重要的意義

零就是什麼都沒有。

「既然是什麼都沒有，那還有存在的意義嗎？」或許很多人都有這種疑問吧！

因為人們平常已經相當習慣「」的存在，反而忽略了它的價值與重要性。

據說「0」這個符號發源於印度。古印度人由地球眺望夜空的星星時，彷彿看到點點或小圈圈，就用「‧」或「0」來表示，視為「修涅」（無）。而印度的創造之神梵天（普拉夫瑪）相信這種「修涅」必帶有宗教上的意義，才產生「‧」或「0」代表「無」之「修涅」的觀念。

的存在意義

以下可以舉出「0」這個符號的兩種存在意義。

第一是用來表示「無」的狀態，即所謂的「一元復始」。第二是用來表示「位數」，例如二百三十的數字寫成。

一般都以十進位或二進位表示數字，這時當然是不可缺的。古人會以空一格的寫法表示的位置；但如此一來，有時不易分辨空下來的數目是多少。而且如果第一位是的話，就不知道要不要空一格了。

無所不在

在中國或日本，都以個、十、百、千、萬、億……等單位表示位數，即使沒有還是可以表示數字。而在西方則以百、千、百萬……等單位表示數字；但是，這種表現方法卻會受限。

十進位或二進位的位數概念，可以克服這個缺點，這時就更加不可缺少了！

環顧生活周遭的事物，可以發現「0」無所不在；例如「從算起」、「水於時結冰」、「打長途電話要加上0……」。

負數的功用

計算數量時少不了負數

用來計算東西數量的數，進一步演變為加法或減法的算式，帶給人們無窮的方便。

三個蘋果加五個蘋果等於八個蘋果──人們十分自然地運用加法。同樣地，減法也是這樣嗎？事實證明減法並沒有那麼單純；五個蘋果減掉三個剩下二個蘋果沒有問題，可是，三個卻無法減掉五個！正當人們煩惱時，「負數」出現了！

不過，怎麼計算，世界上還是沒有所謂的-2個蘋果吧！儘管如此，負數仍在數學界佔有一席之地，這是為什麼呢？

我們可以從結論反推出答案：「對於自然科學的現象或人類活動的狀況，有了負數才能良好因應和記錄」；換句話說，「對應負數的現象是自然存在的！」以下試舉一些例子加以說明。

例如，你有3萬元的收入，卻支出5萬元，出現2萬元的赤字；這時的「赤字＝負數」之對應是成立的。

笛卡兒表示法

又如以某個原點為準，向東為正；如果先向東走，再向西走，則「7 -10＝-3」，表示位在東方-3km，亦即西方3km的位置，這是笛卡兒表示法。

笛卡兒由此現象在直線上標示數字，後來更擴及到實數，即如上圖所示，畫在整數的直線上（實線數）。

其實，從歷史也能得知，以前的人解方程式時就曾出現負的答案，只可惜人們不認為那是解答。負數一直被認為是「沒有道理的數」、「假想的數」；直到笛卡兒幾何直線表示，才正視負數的存在。

這種幾何表示法，後來拯救了虛數存在的危機！

數的架構

數的觀念從計算開始

從歷史的觀點來看，不難想像數學最早的起源是來自計算東西。

當人們數著一個、二個、三個蘋果或橘子，一個人或二個人的時候，從這些不同種類的「物」、「人」中，產生數的觀念；這就是自然數的起源。

現代人可以隨心所欲加以運用的數，是經過漫長歷史才被人類掌握；因為實際計算和用數字表達的抽象觀念之間，有著極大的差距。

當然，這種抽象的觀念，會經過某些特定的努力而具體化；經過長久的歲月，藉著許多人的力量，我們才能一步步認識數學。

在我們計算蘋果或橘子的時候，自然地導入了加減法的演算...

運用數學的靈活思考力，發揮真正的價值

近年來，就業市場出現重大的變革；數學科出身的學生，成為各大企業徵才的新寵兒，究其原因不外乎拜電腦普及之賜。不管是要擬定一份新的企劃案、解決預估情勢外衍生的新問題，數理背景人才的思考靈活，比較能夠發揮真正的價值。

類似上述的問題，通常牽涉到許多層面；單憑個人有限的經驗，恐怕無法找出問題的癥結點。這時我們需要能夠分析、綜合問題以及理路清晰的能力；而這正是數學的思考法及敏銳度。

曾有一家知名企業老闆，針對未來的商界局勢說過一句名言：「具有數理能力的人才不會被淘汰！」他所指並非單純的計算能力或數學認知，而是一再被強調之企業所需，如前所述的數學思考法及數學敏銳度。再者，在會議等場合中的發言受到重視或漠視，能不能以清晰理路展開議論，都和數理有密不可分的關係。

從有趣真實的角度，探索數學的「架構」

有些人，一聽到「數學」二字，馬上豎起白旗投降；或雖覺得有興趣，卻怎麼也記不住數學符號、用語或公式，在入門時就飽受挫折的人也不少。這對身為數學老師的我來說，著實十分遺憾，促使我寫作此書。

我深切盼望原來討厭數學的人，能透過此書，從有趣且深入理解的角度探索數學的「架構」。

在商業書籍中，只強調興趣本位但論點含糊的作品不少；本書為了幫讀者養成用數學思考的好習慣，絕不含糊論點，而以真實的面貌呈現出數學的世界。

我希望盡量以深入淺出的方式，讓讀者了解數學的世界何其有趣，對人類有多大的幫助；並以周遭的題材為例，採用圖文並茂的視覺解說，讓每一個人都可以輕易了解。尤其是把說明重點放在「為何這麼做？」的動機上，確信一定能產生「原來如此！是這樣算啊！」的結果。

例如，一提到三角函數，只要大家了解「為何要認識三角函數」的動機，就會知道三角函數多麼簡單，且為何現在會被廣泛用於高科技領域的理由了。

此外，矩陣或向量正是探索經濟或社會脈動的強而有力武器；經由矩陣或向量的運用，複雜現象間的關係變得密切，好比變魔術一般能清楚看到物體之間的關聯。

就連許多學生頭痛不已的微積分，也能自然地被引導來理解物體變化的樣子；結果，在「這個時候，能這麼應用嗎？」的思考之下，微積分的思維方式或知識，廣泛地被運用。

只要稍微用心就會發現，生活周遭的一切事物，都是數學創意延伸的結果。

本書的利用方法

本書分成九大章，利用許多插圖或圖表解說有關數學的基本架構；為了幫讀者做進一步的了解，還提及數學公式或其證明。但原則上，希望讀者以穩健的步伐，探索數學的世界。此外，針對一般人常有的疑問，另闢專欄加以說明。而書中的各個章節大多可以單獨提出，所以，不論讀者從哪個章節著手均可。

愉快又自然地琢磨出數學的感受力，就是我最大的期待。

運用數學的靈活思考力，發揮真正的價值

近年來，就業市場出現重大的變革；數學科出身的學生，成為各大企業徵才的新寵兒，究其原因不外乎拜電腦普及之賜。不管是要擬定一份新的企劃案、解決預估情勢外衍生的新問題，數理背景人才的思考靈活，比較能夠發揮真正的價值。

類似上述的問題，通常牽涉到許多層面；單憑個人有限的經驗，恐怕無法找出問題的癥結點。這時我們需要能夠分析、綜合問題以及理路清晰的能力；而這正是數學的思考法及敏銳度。

曾有一家知名企業老闆，針對未來的商界局勢說過一句名言：「具有數理能力的人才不會被淘汰！...

第1章　「數」的探索
「數」的故事
●數的架構
數的觀念從計算開始
●零的發現
代表什麼都沒有，卻具有重要的意義
●負數的功用
計算數目時少不了負數
●有理數的延伸
從加減乘除演算之數的觀念，延伸到有理數
●無理數的存在
有理數已得證，無理數的春天在哪裡？
●不可思議的虛數i
複數果真存在嗎？
●單純又神秘的質數
「質數」為數的原子
●專欄　每個數字都有不同的意義
第2章　釐清「數」的關係
「函數」的故事
●何謂函數？
飲料或車票自動販賣機也是一種函數的運用
●一目了然的座標圖
一次函數為直線、二次函數為拋物線、反比為雙曲數
●方程式的解題絕招
先建立方程式為解題的要訣
●採用聯立方程式的鶴龜算法
複雜的計算在於寫出方程式
●二次方程式的解題公式
以二次方程式的判別式判斷解答的性質
●三次方程式及解題秘密
數學史上最引人矚目的解法插曲
◎專欄　真的有方程式解法嗎？
第3章　幾何學之美與謎
「形狀」的故事
●幾何學大復活！
三角形的五心──重心、內心、外心、旁心、垂心
●形狀的確定
直線構成的圖形面積請用三角形求解
●形狀的排列
任何的正多角形磁磚的舖設問題
●圓周率的計算歷史
圓周率π的故事
●黃金矩形之美
二次方程式與黃金比例
●利用尺及圓規解題
希臘三大難題：倍立方體體積、角的三等份、圓的面積
●正多面積只有五個
「正多面積為無限」是錯誤觀念
●歐基里得幾何學
知名度僅次於聖經的《原理》是近代科學方法論的基礎
●非歐基里得幾何學
與歐基里得幾何學體系不同的幾何學
◎專欄　代數幾何學的研究
第4章　矩陣的運用
矩陣與向量的故事
●矩陣或向量的用途為何？
只有數字陳列的矩陣或向量具有深遠的意義
●向量的加法與減法
矩陣或向量按照計算規則發揮力量
●矩陣的乘法
矩陣或向量在乘法中更能發揮作用
●矩陣為一變換的機器
通過某個矩陣後向量變身為新風貌
●用矩陣解聯立方程式
只要利用反矩陣即可解開聯立方程式
●向量翱翔天空
透過許多力的向量合成可以飛行無礙
●經濟上中運用的矩陣！
馬可夫鏈可預測汽車的市場佔有率
●賽局理論運用於網球比賽
經濟或運動等競爭全都可藉為賽局理論求勝
◎專欄　未來的預測
第5章　數學之王微積分
微分與積分的故事
●重點是計算面積
積分的起源來自古埃及尼羅河的氾濫
●越切越小的圖形
阿基米德的構思開啟微積分學的大門
●積分的構思
利用極限思考算出曲線圖形的面積
●追求瞬間速度
千變萬化的速度唯有微分可以掌握
●微分再微分
追蹤函數曲線的最大線索是導函數
●微分不離積分
魔棒一揮，微分與積分緊緊相依
●函數f(x)和f’(x)
了解微積分基本定理，積分變簡單
●應用微積分
生活周遭都是微積分的應用實例
◎專欄　阿基里斯的比賽
第6章　偶然的科學
機率的故事
●與命運女神邂逅的方法
將「偶然」科學化的機率論起源自賭博
●擲6次必定會出現1次嗎？
機率的基本為大數法則──小心不要用錯
●排列與組合的觀念
在機率中計算場合的數量成為基數
●亂槍打鳥也會中？
「至少……」等機率問題，可運用餘事件解釋
●不太可靠的直覺
在40人的班級中生日相同者的機率為89%
●先抽先贏？
畫成機率的樹形圖，一清二楚
●紅球與白球的機率
製作圖表，一清二楚
●贏錢或輸錢的平均
運用期望值評估賭博，結果發現都是賠
●亂數具有的深刻意義
亂數無所不在
●統計的比較
平均與標準差
◎專欄　不了解機率的話連命都沒了
第7章　這麼想就對啦
指數‧對數和數列的故事
●天文學的數字計算
從微小世界到極大世界，都是指數函數的概括範圍
●天才數學家高斯的計算
等差數列之和的快速算法
●超乎想像空間的等比數列
多倍數的計算易如反掌
●生活周遭中的等比數列
銀行存款、貸款利息、音階世界等，都是等比數列
●對數世界十分有趣
對數和指數正好相反
●讓計算變簡單
煩人的複利計算，用對數就對了
●知覺其實是對數感覺
星星亮度等級、聲音強弱的分貝、地震的震度級數……
●自然界中的對數和指數
自然界中的指數或對數
◎專欄　不可思議的e=(ex)’=ex
第8章　和三角函數作朋友
三角函數的故事
●給畏懼三角函數的人
sin、cos、tan是好朋友三人組
●用棍子測量高度
泰利斯測量金字塔高度的方法
●跨越障礙的餘弦定理
碰上山或建築物無法直接測量時的距離算法
●正弦定理的測量妙方
神通廣大的三角測量
●電氣也是正弦的世界
若沒有三角函數就日夜不分了
●用途無限的三角函數
重現美妙音色的，正弦曲線的組合
●傅利葉轉換
DNA的雙重螺旋構造也可用傅利葉轉換解釋
◎專欄　神秘的Euler公式
第9章　數學展開新世界
新數學的故事
●形狀在空間中的變化
可以發現局部性和全面性差異的拓樸學
●誰在說謊？
動搖數學基礎的羅素詭論
●何謂不確定性理論？
一個人無法決定自己的價值
●模糊理論
地下鐵或NASA的太空梭都有關係
●天氣預報為何不準確？
模糊不清或無秩序的混沌現象經常可見
●何謂碎形圖形？
介於一維度與二維度之間的維度空間圖形
●破局的分析
破局理論將急遽變化加以規範
●電腦運用的數學
兩個數字組合即可表現邏輯
●集合與邏輯
集合理論與邏輯推論
●對稱之美
一切都源於哥羅亞的方程式解法
●「維度」另一章
三度、四度、五度……自由思考多維度空間
◎專欄　費瑪大定理的證明

第1章　「數」的探索
「數」的故事
●數的架構
數的觀念從計算開始
●零的發現
代表什麼都沒有，卻具有重要的意義
●負數的功用
計算數目時少不了負數
●有理數的延伸
從加減乘除演算之數的觀念，延伸到有理數
●無理數的存在
有理數已得證，無理數的春天在哪裡？
●不可思議的虛數i
複數果真存在嗎？
●單純又神秘的質數
「質數」為數的原子
●專欄　每個數字都有不同的意義
第2章　釐清「數」的關係
「函數」的故事
●何謂函數？
飲料或車票自動販賣機也是一種函數的運用
●一目了然的座標圖
一次函數為直線、二次...