微積分勝典：微積分究竟在說什麼？（進階版）

名人推薦：王鎮城∕機電博士 李粵堅∕物理博士 林定鼎∕光電博士
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賴茂富∕電機博士 齊紹栩∕電機博士 龔明覺∕電機博士

☆ 1.1 超越的思維
「數學是科學之母」這是一句人人皆曉得的話。但是真能深入理解與體認的 不多，最多是有點像小和尚唸經，有口無心似的。為什麼這麼說呢？在一般的日常生活中，絕大多數的人感覺不到數學的存在，最多能用到一些「四則運算」就不錯了，哪裡用得到那些高深的數學呢？這樣的說法，對於一般的人或許可以說是的，但是，若身為大學以上程度的，就未必是如此了。許多受過高等教育的人士，相信在他們的心中，總有些時候想知道一些大自然的真理或是探討一些宇宙的真相與現象。事實上，宇宙的真相與現象是無法使用「語言」口述或用「語言」描述的。唯一可以使用的方式就是數學。所以說：

「數學是用來表達宇宙的真理。」

宇宙的真理是無法使用一般的口語或是形容詞描述的。各位想一想，有誰可以使用一般的語言或是形容詞，來闡述在地球上所有的物質所受到「地心引力」作用的一切狀況與現象呢？這其實是地球上最普及的一種現象。每一個人都有重量，甚至是每一個物體在地球上都有它的重量。但是，幾千年下來沒有人可以說得清楚、講得明白。直到十八世紀發明《微積分》牛頓爵士 (Sir Isaac Newton，1643~1727) 在他所發表的《自然哲學的數學原理 ( Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)》一書中，發表了「牛頓萬有引力定律 (Newton's law of universal gravitation)」。這個萬 有引力定律的「數學式子」，它不但說明了地球上的萬物的重力現象，更延伸到了太空與無盡深遠的宇宙星體與銀河系，這才是數學的偉大。

數學並不是僅僅用來計算之用的，「算盤 (Abacus)」不是數學，它只是古人的一種簡單計算工具。真正的數學是一種理念，也是一種思維，更是宇宙大自然所呈 現的各種現象與狀態。正如我們需要跨過河川，遠渡重洋，缺少了輪船與飛機，讓我們到不了對岸，也不知對岸究竟是什麼？或是有什麼？數學的道理也正如上述用來跨越洲川與遠洋的船舶，沒有數學也就無法跨越這一切。這也就是人類數千年來，對於宇宙的萬種現象一直無法突破、無法深入、無法駕馭的道理。我想再次的 強調，數學是一種理念，是一種思維，是表達宇宙大自然所呈現的一切現象與狀態，而不是純粹用來計算數值之用的。所以說，如果將數學僅僅是用在講求計算的法門上，或是為了考試與升學而強行的用背誦與記憶的方式，那數學可能是真正天下最可怕，也最讓人作噩夢的一門學問。所以，希望各位在一開始入門的時候，觀念就 要正確。

近代人類可以用來計算的機器到處都是，我們身為人類，為什麼要去跟機器比賽計算能力呢？如果有人說要憑一個人體力，徒步跟汽車比速度，跟輪船比渡海，跟火車比運輸，相信沒有任何人會認同他這種想法的，甚至認為這是荒謬的。但是，奇怪的是，直到現在的今天，還有太多太多的人想要使用人類的體力，去跟機器拼 計算能力，而且一拼就是十年、二十年，這真是不可思議。但是，這卻是我們現在社會上與教育上最為普遍的現象，各位，你能想像嗎？

「數學是人類所有的知識中最講理的一門學問。」

歷史是後人的記述，藝術憑的是感情與感覺，甚至是哲學都各有各自的說法而未必相容。但是，數學不然。數學不但是全世界共同的語言，也是大自然的語言，更是唯一講理的一門學問。能夠懂數學的道理的人是幸運的，能夠理解大自然的人是智慧的。但是，如今卻有太多的人在使用不講理的方式在教導數學或是學習數學。也因此，許多在這種不講理的方式與教導之下，就會有太多痛苦的記憶與回憶。也因此，希望能藉著本書，能夠喚回人們對「數學」的真正認知，它是超越一般所認知的，更不是強迫式的記憶與計算，它是超越的，是屬於至高無上的宇宙中之「真理」。

「理念」就是理想與觀念的意思。數學是人類對於大自然的現象與真理，經過 研究而得到一種具有觀念性與理想性的成果。所以，許多人認同「數學」其實就是一種理想。也因此，我們在學數學的時候，著重的是觀念而不是計算。先要有觀念才能進一步的往下走，當我們寫出f(x)=x的時候，大家都可以知道它是45度的一條直線。而當函數成為f(x)=2x的時候就知道它的仰角變大，而高度是原先的2倍，當有了相當穩固的基礎觀念之後，若再有良師益友就必然能夠更上一層樓，而看得整個的海闊天空。所以，對於數學具有正確的思維，才是整個問題的真正關鍵所在，而不是計算，更不是記憶。

我想使用生活上真實的現象做為一個案例，說明給大家聽，各位不妨仔細的 想一想，然後再思考看看事實是否真是如此？看看我說的是不是有道理？而這裡面又隱含著什麼樣不可思議的神奇現象與奇蹟？

各位都在學校裡上過課，而一個班級裡面總會有數十個同學在。也許是二、三十位，也許是四、五十位，但那不是重點。不論班上有多少同學在，但是，有一點是不會錯的，那就是沒有人會去「背誦」班上每一位同學的座位或位置，當然，那是相當無聊而且沒有意義的事。但是，這裡面卻有一件非常有趣的現象，那就是經過一學期後，每一位同學他們所在的座位或位置，在我們的心中卻是清清楚楚而且是明明白白的呈現着，一點都不會有差錯。我們要去找誰轉身立刻就可以毫不費力的找到。那麼，我要問：

「有那麼多不規則性的姓名與位置，為什麼我們可以記憶得那麼清楚？甚至數十年後都不會忘記？」

其實，這種神奇的現象卻讓我們在沒有特意的記憶下，仍然可以記得清清楚楚而長年不忘。如果能將這種事情運用在讀書與研究上，那豈不是太好了？是的，的確是可以達到這種境界的，也是我可以確切而肯定的認為每一個人都可以達到這種境界。而本書的編著，也正就是在朝這個方向做為思想理念與目標。相信，各位在往後閱讀本書的各個章節的時候，一定可以感受得到它的神奇與超越的效果。

☆ 1.1 超越的思維
「數學是科學之母」這是一句人人皆曉得的話。但是真能深入理解與體認的 不多，最多是有點像小和尚唸經，有口無心似的。為什麼這麼說呢？在一般的日常生活中，絕大多數的人感覺不到數學的存在，最多能用到一些「四則運算」就不錯了，哪裡用得到那些高深的數學呢？這樣的說法，對於一般的人或許可以說是的，但是，若身為大學以上程度的，就未必是如此了。許多受過高等教育的人士，相信在他們的心中，總有些時候想知道一些大自然的真理或是探討一些宇宙的真相與現象。事實上，宇宙的真相與現象是無法使用「語言」口述或用...

《微積分》究竟是在說什麼？它究竟又能做什麼？這是絕大多數學理工商經管等科系的人應該要「問」而又「沒有問」的問題。事實上，

《微積分》是一門處理與研究「瞬息萬變」的大學問。

所有凡是跟瞬息變化有關的現象，都與《微積分》有關，你說這是不是一門偉大的學問？否則就不會有那麼多的科系都將它列為必修科目。本書的宗旨與寫作的方式不同於一般形式的教科書，更不以「教條式」方式來教導所有想要學習《微積分》的人們。因為，「教條式」的教學，所導致的必然結果就是教條式的背誦與教 條式的演繹，而如果以「背誦」與「記憶」的方式在教導數學或是學習數學，尤其是對《微積分》而言，那將是一種大苦難，也是一種大災難。也因此使得所有的學 習者不知《微積分》之所云，當然也就不知所學的是什麼。它的結果也就是使得所有的人對《微積分》失去了興趣，也失去了知覺，最終則是選擇遠離了它。

所以，本書在寫法上也完全不同於一般教科書的寫法，教科書是刻板的，尤其 是《微積分》的教科書總是刻板而生硬得讓人們食之無味、啃嚼困難而確切的是不知所云，故而也就不知所措。這也正就是絕大多數的學生在學完《微積分》之後，不知道它在講什麼？更不知道它能做什麼？這樣的教學方式其實是失敗的。我們實在是不應該浪費太多的時間去記憶與背誦公式。而身為人師者，更不應該為了考試 而要學生去背誦生硬的數學，而是要講道理，要讓所有的要學《微積分》的人，人人都能懂得《微積分》的真正道理，只有在真正的明白道理之後，它才能為我們所用，也才是屬於我們的。否則，教科書式的刻板教學終將是徒勞而無功的。花費了許多心血而一無所得、一無所獲，那真是對生命的一種浪費。生命是短暫的，我們不但要清清楚楚的明白所學的道理，更重要的是因而帶來的認知，如此，才能使我們的生命真正的受惠與提升。

在前面說過，我不反對在數學中使用記憶。「記憶」現象是人類，或者可以說 是地球上所有的動物都與生俱來的本能。說得更深入一些，我們甚至可以說，凡是地球上所有的生命系統都具有「記憶」的本能。細菌不是動物，也不屬於植物，但是它是生物。細菌當然有記憶能力，能夠複製自己就是最佳的記憶證明。不但如此，對於會傷害它的藥物，它也會記得住那些是對它有害的東西，並進而對那些藥物或抗生素產生了抗藥性。多次之後，它的記憶也越來越強。終於對這些藥物產生了足夠的記憶，並進而自身產生了抗體，下次再使用這些藥物來對付它就不靈光了，而這也正就是「記憶」的奇蹟。然而，記憶卻不是「無限大」，任何的生命系統它所 存在己身的記憶細胞必然是極為有限的。我們不能全然的依賴「記憶」來處理數學或《微積分》的問題。數學是活的，而記憶卻是硬梆梆的。我不反對「記憶」，但是，卻堅決的反對以「記憶」的方式來教導或學習數學，尤其是《微積分》。面對一門講道理的學問，若是捨真理而不講不用，只求能記得住文字內容，那是才是真正捨本逐末的行為，當然是失敗的，故而也就不會有所得或有所獲了。事實上，能夠徹底的明瞭數學中的道理與相關的意義，我們不必痛苦的強行記憶，自然而然的它就能強化我們內在的記憶，這才是能夠獲得「一舉數得」的便利與智能。

至於說到要「考試」的這個問題上，有許多人說會用「背」的最快。

事實上，就人類而言，也就是對人類這種族群的生物而言，天生的就有兩大能力不足的地方，也可以說是人類的一種通盤性的「勢弱」，也可以說是一種缺失。那就是「記憶」與「計算」這兩大問題。也就是說記性不好或是算不出來那才是天性。我曾說過，如果有誰敢說自己的記憶好，只要把今天的報紙讓他背，看他要到哪天才能通通記得一字不漏？人類的記性不太好，是天生的，也是一種無比的福祉與恩典。人類第二種通盤性的「勢弱」，那就是「計算」能力的不足。算不出來是天經地義的事，更不必難過。如果有人使用複雜的算式去考別人，這的確是不好的行為，也正因為人類計算能力的薄弱，才會有電腦 (computer) 的發明。事實上，人類的這兩項缺失，卻正就是「電腦」的最強項。至於對付文史法學的科目，也許的 確要多下一點人類弱項的「記憶」功夫。古人講求的是要下有「倒背如流」的苦功夫。我不曉得這種到背如流的苦功夫究竟有什麼用？一部「貝多芬」的第五交響樂就不能倒過來聽。任何一國家的國歌，也不能倒過來唱。

「微分」實際上是在計算事情微量的「因」與「果」的變化與關係！這是非常重要的一個觀念，也是一件非常重要的事情。當事情有着極微量的變化的時候，我們就要知道它對於結果會產生如何的影響？總不要等到事情鬧大了才知曉，那就來不及了。我承受過「背誦」《微積分》得痛苦。所以，我一直有一個心願，希望大家都能理解《微積分》，進一步的能因理解而喜歡它。故而，本書的宗旨，是希望以最容易讓人看得懂的方式，平易近人的，由淺而深，並能徹底的把問題說清楚、 講明白。讓讀本書的人可以在一開始就能真正的懂得微積分究竟是在說什麼？我們 遇上的是什麼問題？我們該如何去解決問題？而它所代表的意義又是什麼？該如何進一步的研究與分析？也正因為如此，本書完全以圖解的方式來解說我們究竟是在做什麼？也因此可以讓學習微積分的人，能夠懂得微積分究竟是在說什麼？

絕大部分的人會有一種不正確的認知，那就是認為所謂《微積分》就是在教人們如何進行微分？或是如何想辦法去求得積分的結果。事實上，正如我常說的：

數學是在描述宇宙的真理。

我們該如何描述地心引力對地面上每一個物體所產生的重力現象與作用呢？我想，除了數學之外，沒有任何的語言可以說得清楚。數學的本身並不在於如何計算數值。正如 1+2=3 這種純數值的計算並不是數學本身的目地。數學是為了應用的需求而產生的，不是單純的在計算而已。同樣的，《微積分》它真正的目地也並不是在教人們如何計算求值，而它同樣的是用來表達與敘述宇宙的真理，並構思每一個問題所代表的意義與思維。

本書除了以平易直述的方式直接的敘述各相關的方法與學理之外，最主要也是 最大的特色，就是獨創也是獨特的使用【典範範例】的方式，使用的是所有具有典 範性質的範例來做說明，並配合實際的方法及理論，讓問題直接的凸顯在諸君各位 的面前。

《微積分》的本身並不難，難的是有太多的人有着太多錯誤的認知，而這些錯 誤的認知往往又是承襲上一代的沿襲，如此，不斷地構成惡性的循環，終於使得大 多數的人們對於《微積分》懷著敬而遠之的態度。更可惜的是，在學習上面花費了多年而長期的時間，竟然是枉費的。而這也是本書的目的，希望凡是仔細的閱讀本書的人，都能夠有所豐收，也都能夠脫離對《微積分》的恐懼感，並以此為基石，增長知識，奠定日後所需要的更大的智能與超越自我。

☆本書深自的感謝十二位各相關領域的博士先進們之推薦。
特別是內人子卿，她才是我一生中最大成就，特此致謝。

獻給
那些對於微積分
從沒有被真正的「好老師」教過
而只會被不講理的要求
記憶與背誦的人們

如今
我願意以最誠摯的心
對那些迷惑在數學中的人們
讓他們
懂得真道理、真知識、真覺醒 並獲得更高的人生智慧
重要的
則是
在懂得這些知識的背後
所表達的宇宙與大自然的真理之後
的那份喜悅與自我超越
才是
真正的無價之寶

《微積分》究竟是在說什麼？它究竟又能做什麼？這是絕大多數學理工商經管等科系的人應該要「問」而又「沒有問」的問題。事實上，

《微積分》是一門處理與研究「瞬息萬變」的大學問。

所有凡是跟瞬息變化有關的現象，都與《微積分》有關，你說這是不是一門偉大的學問？否則就不會有那麼多的科系都將它列為必修科目。本書的宗旨與寫作的方式不同於一般形式的教科書，更不以「教條式」方式來教導所有想要學習《微積分》的人們。因為，「教條式」的教學，所導致的必然結果就是教條式的背誦與教 條式的演繹，而如果以「背誦」與「記憶」...

第 1 章 緒 論 20
☆ 1.1 超越的思維 ....................................... 22
☆ 1.2 不要用計算來困住自己 ................................. 24
☆ 1.3 數學小神童是真的嗎？ ................................. 26
☆ 1.4 近代文明的基石 ....................................... 29
☆ 1.5 偉大的芝諾詭論 (Paradoxes of Zeno ) ................... 30
☆ 1.6 金字塔的神奇 ....................................... 32
☆ 1.7 工具的發明使人類進入超越的時代 ....................... 33
☆ 1.8 把數學口語化 ....................................... 34

第 2 章 數學是宇宙的真理 36
☆ 2.1 你還在土法煉鋼嗎？ ................................... 38
☆ 2.2 數學是一種偉大的思維 ................................. 40
☆ 2.3 在「答案」背後的意義.................................. 42
☆ 2.4 數學是美也是真理 ..................................... 43
☆ 2.5 數值在歷史上的迷思 ................................... 45
☆ 2.6 病毒數學有驚人智慧 ................................... 46
☆ 2.7 數學是代表宇宙的真理 ................................. 48
☆ 2.8 數學之唯美 ....................................... 52
☆ 2.9 複數使宇宙變得偉大 ................................... 54
☆ 2.10 世界上最美的方程式 ................................... 56
☆ 2.11 如何解讀世界上最美的方程式 ........................... 57
☆ 2.12 思維的特質使人成為天才 ............................... 61

第 3 章 大自然的曼妙哲學與原理 64
☆ 3.1 脫離傳統的制度 ....................................... 66
☆ 3.2 只要懂得她就不會忘記她 ............................... 68
☆ 3.3 偉大的生命曲線 ....................................... 72
☆ 3.4 函數是一種因與果的對應關係 ........................... 75
☆ 3.5 明晰透徹的解悟 ....................................... 78
☆ 3.6 【典範範例】集錦...................................... 80
【★★★典範範例 3-01】 ................................. 80
【★★★典範範例 3-02】 ................................. 84
【★★★典範範例 3-03】 ................................. 87
【★★★典範範例 3-04】 ................................. 88
【★★★典範範例 3-05】 ................................. 90
【★★★典範範例 3-06】 ................................. 91
【★★★典範範例 3-07】 ................................. 93
【★★★★典範範例 3-08】[ 研究與分析 ] ................... 94

第 4 章 從微積分的思維說起 98
☆ 4.1 人們自古就喜歡算命 .................................. 100
☆ 4.2 微分是研究因果相應之道的大學問 ...................... 101
☆ 4.3 積分是研究「積因得果」之道 .......................... 103
☆ 4.4 微積分是一種研究「瞬息萬變」的大學問 ................ 107
☆ 4.5 不要把微分與導數弄混淆了 ............................ 110
☆ 4.6 為什麼積分是反微分呢？ .............................. 111
☆ 4.7 微分與積分在觀念上的精細解析 ........................ 113
【★★★問題與研究】 .................................. 115
☆ 4.8 直線的積分會是什麼？ ................................ 117
【★★★問題與研究】 .................................. 118
☆ 4.9 生命曲線的微分會是什麼？ ............................ 119
【★★★問題與研究】 .................................. 122

第 5 章 讓我們的思維飛到無窮遠的地方 126
☆ 5.1 人類因幻想而偉大 .................................... 128
☆ 5.2 來到那「極限」的地方 ................................ 129
☆ 5.3 你知道 1=2 的悖論嗎？ ................................ 131
☆ 5.4 極限 (limits) 的問題與思維 ........................... 133
☆ 5.5 【典範範例】集錦..................................... 136
【★★★典範範例 5-01】 ................................ 136
【★★★典範範例 5-02】 ................................ 137
【★★★典範範例 5-03】 ................................ 138
【★★★典範範例 5-04】 ................................ 140
【★★★典範範例 5-05】 ................................ 141
【★★★典範範例 5-06】 ................................ 143
【★★★典範範例 5-07】 ................................ 145
【★★★★典範範例 5-08】 [ 研究與分析 ] ................ 146
【★★★★典範範例 5-09】 [ 研究與分析 ] ................ 150
【★★★★典範範例 5-10】 [ 研究與分析 ] ................ 152
【★★★★典範範例 5-11】 [ 研究與分析 ] ................ 155
【★★★★典範範例 5-12】 [ 研究與分析 ] ................ 157

第 6 章 微分究竟想做什麼？ 160
☆ 6.1 讀書的學問之道 ...................................... 162
☆ 6.2 事情永遠都在變化 .................................... 164
☆ 6.3 微分是求微量的因果之道 .............................. 165
☆ 6.4 進一步的談導數與微分 ................................ 168
☆ 6.5 微分就是研究瞬息變化的因果之道 ...................... 170
☆ 6.6 數學中的微分方法 .................................... 171
☆ 6.7 對於微分的結果之解讀與學問之道 ...................... 172
☆ 6.8 【典範範例】集錦..................................... 179
【★★★典範範例 6-01】 ................................ 179
【★★★典範範例 6-02】 ................................ 181
【★★★★典範範例 6-03】 [ 研究與分析 ] ................ 184
【★★★★典範範例 6-04】 [ 研究與分析 ] ................ 186
【★★★★典範範例 6-05】 [ 研究與分析 ] ................ 189
【★★★★典範範例 6-06】 [ 研究與分析 ] ................ 194
【★★★★典範範例 6-07】 [ 研究與分析 ] ................ 197
【★★★★典範範例 6-08】 [ 研究與分析 ] ................ 199
【★★★★典範範例 6-09】 [ 研究與分析 ] ................ 204
【★★★★典範範例 6-10】 [ 研究與分析 ] ................ 209

第 7 章 奇特的三角函數微分 212
☆ 7.1 世界上最實用的科學 .................................. 214
☆ 7.2 基本三角函數的微分 .................................. 216
☆ 7.3 為什麼 sin(x) 的微分是 cos(x) 呢？ .................... 217
☆ 7.4 為什麼 cos(x) 的微分卻是 -sin(x) 呢？ ................. 221
☆ 7.5 綜合型三角函數的微分 ................................ 223
☆ 7.6 【典範範例】集錦..................................... 225
【★★★典範範例 7-01】 ................................ 225
【★★★典範範例 7-02】 ................................ 227
【★★★典範範例 7-03】 ................................ 229
【★★★★典範範例 7-04】[ 研究與分析 ] .................. 231
【★★★★典範範例 7-05】[ 研究與分析 ] .................. 234
【★★★★典範範例 7-06】[ 研究與分析 ] .................. 237
【★★★★典範範例 7-07】[ 研究與分析 ] .................. 242
【★★★★典範範例 7-08】[ 研究與分析 ] .................. 246
【★★★★典範範例 7-09】[ 研究與分析 ] .................. 249
【★★★★典範範例 7-10】[ 研究與分析 ] .................. 254
【★★★★典範範例 7-11】[ 研究與分析 ] .................. 259

第 8 章 為大自然說話的曲線 264
☆ 8.1 大自然的生命道理 .................................... 266
☆ 8.2 用白話文講「指數」 .................................. 269
☆ 8.3 自然指數在數學上的定義 .............................. 270
☆ 8.4 指數運算定律 ...................................... 271
☆ 8.5 指數函數的特性曲線 .................................. 273
☆ 8.6 這個 e=2.71828 是什麼意思？ .......................... 274
☆ 8.7 「對數」是什麼意思？ ................................ 275
☆ 8.8 用白話文講「對數」 .................................. 277
☆ 8.9 【典範範例】集錦..................................... 279
【★★★典範範例 8-01】 ................................ 279
【★★★典範範例 8-02】 ................................ 281
【★★★典範範例 8-03】 ................................ 282
【★★★典範範例 8-04】 ................................ 284
【★★★典範範例 8-05】 ................................ 285
【★★★★典範範例 8-06】 [ 研究與分析 ] ................ 287
【★★★★典範範例 8-07】 [ 研究與分析 ] ................ 289
【★★★★典範範例 8-08】 [ 研究與分析 ] ................ 291
【★★★★典範範例 8-09】 [ 研究與分析 ] ................ 294
【★★★★典範範例 8-10】 [ 研究與分析 ] ................ 295
【★★★★典範範例 8-11】 [ 研究與分析 ] ................ 298
【★★★★典範範例 8-12】 [ 研究與分析 ] ................ 301
【★★★★典範範例 8-13】 [ 研究與分析 ] ................ 304

第 9 章 用白話文講指數與對數的微分 308
☆ 9.1 再用白話文講「指數」 ................................ 310
☆ 9.2 自然指數特性曲線圖的意義 ............................ 312
☆ 9.3 在指數運算上最常犯的一些錯誤 ........................ 314
☆ 9.4 指數的微分是一條打不死的龍 .......................... 315
☆ 9.5 指數微分與符號法則 .................................. 317
☆ 9.6 什麼是對數函數 ...................................... 318
☆ 9.7 如何口語化數學 ...................................... 319
☆ 9.8 口語化的「對數」函數 ................................ 320
☆ 9.9 奇妙的對數微分 ...................................... 324
☆ 9.10 【典範範例】集錦..................................... 326
【★★★典範範例 9-01】[ 研究與分析 ] .................... 326
【★★★典範範例 9-02】 ................................ 329
【★★★典範範例 9-03】 ................................ 331
【★★★典範範例 9-04】 ................................ 332
【★★★典範範例 9-05】 ................................ 334
【★★★★典範範例 9-06】[ 研究與分析 ] .................. 337
【★★★★典範範例 9-07】[ 研究與分析 ] .................. 340
【★★★★典範範例 9-08】[ 研究與分析 ] .................. 343
【★★★★典範範例 9-09】[ 研究與分析 ] .................. 345
【★★★★典範範例 9-10】[ 研究與分析 ] .................. 349
【★★★★典範範例 9-11】[ 研究與分析 ] .................. 353
【★★★★典範範例 9-12】[ 研究與分析 ] .................. 356
【★★★★典範範例 9-13】[ 研究與分析 ] .................. 358
【★★★★典範範例 9-14】[ 研究與分析 ] .................. 362
【★★★★典範範例 9-15】[ 研究與分析 ] .................. 365
【★★★★典範範例 9-16】[ 研究與分析 ] .................. 368

第 10 章 積分究竟是什麼？ 376
☆ 10.1 積分的究竟思維 ...................................... 378
☆ 10.2 積分在數學上的意義 .................................. 380
☆ 10.3 積分有什麼用呢？ .................................... 384
☆ 10.4 【典範範例 -1】介於直線之間的面積.................... 386
☆ 10.5 【典範範例 -2】介於曲線之間的面積.................... 391
☆ 10.6 積分的進階思維 ...................................... 394
☆ 10.7 多重積分的意義 ...................................... 397
☆ 10.8 常數的一次積分是什麼意思？ .......................... 401
☆ 10.9 常數連續兩次的積分是什麼意思？ ...................... 404
☆ 10.10 常數經過三次的積分有什麼意思？ ...................... 405
☆ 10.11 如何求兩曲線間的面積 ................................ 409
☆ 10.12 【典範範例】集錦..................................... 411
【★★★典範範例 10-01】 ............................... 411
【★★★典範範例 10-02】 ............................... 413
【★★★典範範例 10-03】 ............................... 414
【★★★典範範例 10-04】 ............................... 416
【★★★典範範例 10-05】 ............................... 417
【★★★典範範例 10-06】[ 研究與分析 ] ................... 419
【★★★典範範例 10-07】[ 研究與分析 ] ................... 422
【★★★典範範例 10-08】[ 研究與分析 ] ................... 425
【★★★典範範例 10-09】[ 研究與分析 ] ................... 428
【★★★典範範例 10-10】[ 研究與分析 ] ................... 432
【★★★典範範例 10-11】[ 研究與分析 ] ................... 434

第 11 章 用白話文講對數與指數的積分 438
☆ 11-1 什麼是指數與自然指數 ................................ 440
☆ 11.2 指數的基本運算與積分 ................................ 441
☆ 11.3 還是一條不死的龍 .................................... 442
☆ 11.4 口語化的指數與對數關係 .............................. 445
☆ 11.5 對數與指數的積分與特殊意義 .......................... 448
☆ 11.6 指數與對數的常用積分公式 ............................ 449
☆ 11.7 【典範範例】集錦..................................... 450
【★★★典範範例 11-01】[ 研究與分析 ] ................... 450
【★★★典範範例 11-02】[ 研究與分析 ] ................... 454
【★★★典範範例 11-03】[ 研究與分析 ] ................... 456
【★★★典範範例 11-04】[ 研究與分析 ] ................... 458
【★★★典範範例 11-05】[ 研究與分析 ] ................... 460
【★★★★典範範例 11-06】[ 研究與分析 ] ................. 462
【★★★★典範範例 11-07】[ 研究與分析 ] ................. 465
【★★★★典範範例 11-08】[ 研究與分析 ] ................. 467
【★★★★典範範例 11-09】[ 研究與分析 ] ................. 469
【★★★★典範範例 11-10】[ 研究與分析 ] ................. 471
【★★★★典範範例 11-11】 ............................. 473
【★★★★典範範例 11-12】[ 研究與分析 ] ................. 476
【★★★★典範範例 11-13】[ 研究與分析 ] ................. 480
【★★★★典範範例 11-14】[ 研究與分析 ] ................. 484
【★★★★典範範例 11-15】[ 研究與分析 ] ................. 486

第 12 章 卓越的三角函數積分 490
☆ 12.1 三角學是大自然的祕密 ................................ 492
☆ 12.2 從天文到地理 ...................................... 493
☆ 12.3 三角函數的數值觀念 .................................. 494
☆ 12.4 熱門的手機是三角函數的產品 .......................... 496
☆ 12.5 三角函數的相關公式 .................................. 498
☆ 12.6 【典範範例】集錦..................................... 499
【★★★典範範例 12-01】[ 研究與分析 ] ................... 499
【★★★典範範例 12-02】[ 研究與分析 ] ................... 502
【★★★★典範範例 12-03】[ 研究與分析 ] ................. 505
【★★★★典範範例 12-04】[ 研究與分析 ] ................. 508
【★★★★典範範例 12-05】[ 研究與分析 ] ................. 512
【★★★★典範範例 12-06】[ 研究與分析 ] ................. 518
【★★★★典範範例 12-07】[ 研究與分析 ] ................. 521
【★★★★典範範例 12-08】[ 研究與分析 ] ................. 523
【★★★★典範範例 12-09】[ 研究與分析 ] ................. 528
【★★★★典範範例 12-10】[ 研究與分析 ] ................. 533

第 13 章 特異的奇函數與偶函數 540
☆ 13.1 不可不知的函數對消作用 .............................. 542
☆ 13.2 奇函數的定義 ...................................... 543
☆ 13.3 sin 函數是奇函數還是偶函數？......................... 544
☆ 13.4 偶函數的定義 ...................................... 545
☆ 13.5 由一半而推知另一半 .................................. 547
☆ 13.6 奇函數與偶函數的特異功能 ............................ 549
☆ 13.7 【典範範例】集錦..................................... 552
【★★★典範範例 13-01】[ 研究與分析 ] ................... 552
【★★★典範範例 13-02】[ 研究與分析 ] ................... 555
【★★★★典範範例 13-03】[ 研究與分析 ] ................. 557
【★★★★典範範例 13-04】[ 研究與分析 ] ................. 558
【★★★★典範範例 13-05】[ 研究與分析 ] ................. 561
【★★★★典範範例 13-06】[ 研究與分析 ] ................. 563

第 14 章 高階的面積分與體積分 568
☆ 14.1 積分的進階思維 ...................................... 570
☆ 14.2 不規則平面面積之處理 ................................ 573
☆ 14.3 如何求兩曲線間的面積 ................................ 575
☆ 14.4 如何計算物體之體積 .................................. 578
☆ 14.5 圓盤法 (circular-disk method) ........................ 580
☆ 14.6 柱殼法 (cylindrical shell method) .................... 584
☆ 14.7 【典範範例】集錦..................................... 587
【★★★典範範例 14-01】 ............................... 587
【★★★典範範例 14-02】 ............................... 588
【★★★典範範例 14-03】 ............................... 590
【★★★典範範例 14-04】 ............................... 592
【★★★典範範例 14-05】 ............................... 594
【★★★典範範例 14-06】 ............................... 596
【★★★典範範例 14-07】 ............................... 598
【★★★典範範例 14-08】 ............................... 600
【★★★★典範範例 14-09】 ............................. 602
【★★★★典範範例 14-10】 ............................. 604
【★★★★典範範例 14-11】 ............................. 607
【★★★★典範範例 14-12】 ............................. 609
【★★★★典範範例 14-13】 ............................. 613
【★★★★典範範例 14-14】 ............................. 616
【★★★★典範範例 14-15】 ............................. 623
【★★★★典範範例 14-16】 ............................. 626
【★★★★典範範例 14-17】 ............................. 629
【★★★★典範範例 14-18】 ............................. 631
【★★★★典範範例 14-19】 ............................. 633
【★★★★典範範例 14-20】 ............................. 635
【★★★★典範範例 14-21】 ............................. 638

第 15 章 進入虛幻世界 640
☆ 15.1 虛數就是「虛幻的數」嗎？ ............................ 642
☆ 15.2 在實數中無解的問題 .................................. 644
☆ 15.3 虛數讓任何「難題」都可以找到答案 .................... 645
☆ 15.4 宇宙中最大的數系 .................................... 647
☆ 15.5 複數平面的運算 ...................................... 649
☆ 15.6 複變數的微分 ...................................... 651
☆ 15.7 複變數的積分 ...................................... 652
☆ 15.8 【典範範例】集錦..................................... 653
【★★★典範範例 15-01】 ............................... 653
【★★★典範範例 15-02】 ............................... 653
【★★★典範範例 15-03】 ............................... 654
【★★★典範範例 15-04】 ............................... 655
【★★★★典範範例 15-05】[ 研究與分析 ] ................. 656
【★★★★典範範例 15-06】[ 研究與分析 ] ................. 657
【★★★★典範範例 15-07】[ 研究與分析 ] ................. 659
【★★★★典範範例 15-08】[ 研究與分析 ] ................. 662
【★★★★典範範例 15-09】[ 研究與分析 ] ................. 663
【★★★★典範範例 15-10】[ 研究與分析 ] ................. 666
【★★★★典範範例 15-11】[ 研究與分析 ] ................. 668
【★★★★典範範例 15-12】[ 研究與分析 ] ................. 669
【★★★★典範範例 15-13】[ 研究與分析 ] ................. 670
【★★★★典範範例 15-14】[ 研究與分析 ] ................. 671
【★★★★典範範例 15-15】[ 研究與分析 ] ................. 673
【★★★★典範範例 15-16】[ 研究與分析 ] ................. 674

第 1 章 緒 論 20
☆ 1.1 超越的思維 ....................................... 22
☆ 1.2 不要用計算來困住自己 ................................. 24
☆ 1.3 數學小神童是真的嗎？ ................................. 26
☆ 1.4 近代文明的基石 ....................................... 29
☆ 1.5 偉大的芝諾詭論 (Paradoxes of Zeno ) ................... 30
☆ 1.6 金字塔的神奇 ....................................... 32
☆ 1.7 工具的發明使人類進入超越的時代 ....................... 33
☆ 1.8 把數學口語...