數學的燈謎：型體配號問題

　　　臺灣大學數學系名譽教授楊維哲　主編

　　這是一本非常特別的著作。作者張國男教授也是一個非常特別的數學家。對魔方陣的研究，張國男稱得上世界頂尖（他的同班同學黃敏晃教授說，張國男可能是世界第一）。

　　本書是屬於排列組合學（combinatorics），那是秀異的數學家展露靈巧的場所。有人這樣定義組合學：「 這一門數學，是唯一有可能使得一個數學老師輸給她（他）的學生的數學。」它在中學數學課程中，份量不多，而且還可以說，越來越少。可是，對於數學資優生，組合學的份量其實是越來越重（外行人聽起來覺得很矛盾）。事實上，在一切的數學競賽中，組合學大概是絕不會缺席的題目（我的估計是：五題中最少有一題），可以與之相提並論的只有整數論（numbertheory），因此之故，一切的數學競賽的講習班中，組合學的教材，大概要佔了三分之一。

　　基本上，學習組合數學都是從題目中一題一題地學，或即是說，從題目中一題一題地教！但是非常難找一本有適當題目的書，因為敘述必須簡單，但是又要很容易「形成幾何的形象」，才可以引導學習者去思考問題中的對稱性。就這一點來說，這本書是非常的成功。

　　全書共計七個單元，共有四十篇專文，另有二附錄。在七個單元中，各篇架構皆分為五個部分：

　　．「問題」：闡述待解之形體配號問題
　　．「解答」：揭示完整之解答，以供讀者參考；
　　．「備註」：於備註中介紹與上述問題相當（等價、同義）之問題，或補充說明與前揭解答有關之若干事項；
　　．「習題」：設計適當之習題，留予普通讀者實際演練；
　　．「研究」：研究部分所提出之難題，則多為「窮畢生之力﹐亦無法完全解決者」，數學功力高強之人士，可大展身手。

　　在四十篇中，附有完整解答之問題逾五十則，供普通讀者實際演練之習題近七百則，而富高難度、具挑戰性、待研究之問題，則不止三百則也。

作者簡介

張國男

　　臺大數學系教授，退休後專事寫作，著有《抽象代數導引》、《高等資優數學問題研究與發掘》等。因興趣使然，多次投寄試題至「亞太數學奧林匹亞」及「國際數學奧林匹亞」競賽單位，並獲推薦。於2010年辭世。

康明昌序─我的朋友張國男
楊維哲推薦序
楊維哲導讀
卷頭語

單元一　ｎ角星形

1.1四角星配號問題
1.2五角星配號問題
1.3五角星配號問題
1.4六角星配號問題
1.5六角星配號問題
1.6ｎ角星配號問題
1.7環拼八菱配號問題

單元二　正ｎ邊形

2.1 正三角形配號問題
2.2斜方棋枰配號問題
2.3斜方棋枰配號問題
2.4窗櫺配號問題
2.5正六邊形配號問題
2.6正六邊形配號問題
2.7正六邊形配號問題

單元三　ｎ角盒板

3.1三角盒板配號問題
3.2四角盒板配號問題
3.3五角盒板配號問題

單元四　方格矩陣

4.1矩陣配號問題
4.2方格配號問題
4.3方格配號問題
4.4方格配號問題

單元五　拼板圖形

5.1雙連屋配號問題
5.2風車配號問題
5.3相似四等分圖配號問題
5.4並排三方配號問題
5.5地磚配號問題
5.6十一線段板配號問題
5.7七巧板拼圖配號問題
5.8拼板配號問題

單元六　正多面體

6.1六面體配號問題
6.2四面體配號問題
6.3四面體配號問題
6.4四面體配號問題
6.5正方體配號問題

單元七　其他立體

7.1角錐雙連體配號問題
7.2球體配號問題
7.3六角柱體配號問題
7.4長方體配號問題
7.5長方體配號問題
7.6ｎ角柱體配號問題

附錄一　習題選答
附錄二　配號舉例

導讀

　　這是一本非常特別的著作。(作者也是一個非常特別的數學家) 本人看到這本書的時候，腦中馬上聯想到一年以前才仔細看的一本名著Japanese Temple Geometry Problems，所以我先略略描述後者。那本名著的作者有兩人，一是深川英俊，專業的數學史研究學者，另一人卻是大大有名的（英國）幾何學家Dan Pedoe（他與Hodge 合寫了經典名著《代數幾何的方法》）Pedoe 會對日本數學（"和算"）感到興趣，是因為他看到其中的一個題目。這個題目根本就是F.Soddy 的The Hexlet（六球連鎖問題）。英國化學家Soddy 爵士（1877-1956）是諾貝爾獎得主，他在1936 年（於Nature 雜誌上）發表了這個數學題，造成當時的轟動。但是這樣的題目卻出現於1822 年的神奈川的一匾算額中。當時的和算家沒有「逆轉」（inversion）這樣子的現代工具，居然能夠解決這一類的問題，讓Pedoe 大為贊嘆。我會翻閱那本書是因為要寫一些給中學資優生閱讀的幾何。另外，我也正在思考數學競賽的命題. 事實上, 那本書給了我很大很大的幫助! 關於前者, 我就選了10 題, 改寫在給中學資優生的)基礎座標幾何中（當然有說明出處）關於後者，我已經思考過好幾道可以加以變化衍伸，成為競試題的題目。（雖然我今年沒有採用, 但是明年就用得上了。）

　　回到張國男教授的這本書來。我的聯想就是有三類讀者群: 老師, 資優生, 數學愛好者.這本書，在數學領域中，是屬於排列組合學（combinatorics），那是秀異的數學家展露靈巧的場所。組合學有人這樣子定義：「這一門數學, 是唯一有可能使得一個數學老師輸給她他的學生的數學」。它在中學數學課程中, 份量不多, 而且還可以說：越來越少。可是，對於數學資優生，組合學的份量其實是越來越重（外行人聽起來覺得很矛盾）。事實上，在一切的數學競賽中，組合學大概是絕不會缺席的題目。（我的估計是：五題中最少有一題）可以與之相提並論的只有整數論（number theory）。因此之故，一切的數學競賽的講習班中，組合學的教材，大概要佔了三分之一。組合數學，一言以概括之，是笨拙與靈巧之結合。笨拙是因為必須不耐煩地逐項（case by case）討論，靈巧是因為必須充分地利用對稱性。

　　不論是從教學或者學習的角度來看，組合數學的難處是：定理不太多！基本上，學習組合數學都是從題目中一題一題地學，或即是說，從題目中一題一題地教！但是非常難找一本有適當題目的書，因為敘述必須簡單，但是又要很容易「形成幾何的形象」，才可以引導學習者去思考問題中的對稱性，就這一點來說，這本書是非常的成功。

　　我覺得對於各種不同程度的學生，指導的老師，都可以在這本書中，選擇幾道題目，當作講授的教材。對於數學知識不豐富而數學志趣昂揚的資優生，根本可以拿這本書獨立學習。看完一題詳盡的解說之後，就可以進攻附帶的習題。（本書的順序是自然的由淺入深，不過對於大學三年級以上的學生，順序就可以很自由了！）

臺灣大學數學系名譽教授楊維哲∕導讀

序言

　　本書正文共計七單元﹐另有二附錄。全書自始撰至完稿﹐前後歷時近二十載。

　　七單元中各篇﹐皆分為「問題」、「解答」、「備註」、「習題」及「研究」五部分：先述待解之形體配號問題﹐之揭示完整之解答﹐以供讀者參考﹐並於備註中﹐介紹與上述問題相當(等價、同義)之問題﹐或補充說明與前揭解答有關之若干事項﹐另設計適當之習題﹐留予普通讀者實際演練﹐而於研究部分所提出之難題﹐則多為「窮畢生之力﹐亦無法完全解決者」﹐數學功力高強之人士﹐可大展身手。

　　全書七單元共有四十篇專文。各篇俱依其篇首所述問題之屬性命名﹐並列入適當之單元﹐惟讀者應注意：有時二個形體配號問題看似互不相干﹐其實係同義者。例如﹐由1.4篇〈六角星形配號問題〉之備註﹐可知其開端所述之問題﹐與下述問題相當：將正方體之十二條稜由1至12配號﹐使外表每面四條稜之號數
和均相等﹐試求所有配號法。若針對此問題專文探討求解﹐則宜將篇名取為〈正
方體配號問題〉﹐而編入單元六矣。

　　於上述四十篇中﹐附有完整解答之問題逾五十則(若干篇各處理二則配號問題)﹐供普通讀者實際演練之習題近七百則﹐而高難度、具挑戰性、待研究之問題(與正整數有關之一般性配號問題)﹐則不止三百則也。

　　附錄一提供部分習題之部分解答(僅有少數顯示出完整解答)﹐附錄二揭舉若干配號實例。希望讀者諸君﹐自行補全、推廣之。

　　本書1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 4.1及6.1等編原稿﹐曾以問題徵答之方式發表於中央研究院數學研究所出版之《數學傳播季刊》紙本(14卷4期~16卷2期﹐1990年12月~1992年6月)﹐並無償置放於其網路電子版。承蒙中研院數研所俞允﹐將上述諸篇納入本書﹐使本書內容更為充實﹐著者由衷感激﹐特申謝悃。惟此次出書﹐除更改原稿格式外﹐當增補若干資料。