國中數學一點都不難：資優班老師,這樣教數學

名人推薦：國立台灣師範大學數學系教授洪有情

國立高雄師範大學物理系教授黃建華

高雄市立五福國民中學校長葉田宏

聯合推薦【以姓氏排列】

第一章

有一次，我各給幾個國中生一疊紙牌，要他們比較紅牌與黑牌相差多少張？有學生快速數得紅牌張數、數得黑牌張數，並相減得出答案；也有學生先依牌色分出兩堆，再數得各堆張數，相減算出答案。但他們的解題效率與正確性，都不如一個數學成績普通的小學生，他拿起相同張數的兩種顏色紙牌往別處丟，最後留下的紙牌，就是紅、黑紙牌相差的張數。許多國中生懂得使用「等量減法」解決數學問題，這個小學生根本沒聽過「等量減法」這個詞，卻能把「等量減法」的性質運用得實際且澈底。由上可知：優劣成敗的最大差異，絕對不只是知識程度上的問題，更關鍵的是在於是否具有良好或特殊的思考習慣，並能在現實生活中善加運用。而人們之所以必須不斷學習，其中很重要的意義是為了改造自己的思維，讓自己有更聰明或卓越的腦袋。有個真實的事件，一位學業成績相當優異的學生在某次段考時，由於粗心而考差了數學，當教務主任的爸爸看了孩子作答的試卷後，發現他考試時因急中出錯，將其中一個問題的部分算式 當成 ，得出結果為51。爸爸告誡孩子：「 等於52，你不應該算錯這麼簡單的問題！」孩子隨即告訴爸爸：「 等於42，不是52！」每個人的一生可能經常在算錯，除了思考要更虛心、細心，也應該多多觀摩、肯定與學習各種靈活有效的計算方式。一個學生在未來的升學、求職路上，想要算得精確並減少失誤，一定要理解許多運算的重要原理，並透過適當、適量的練習，提高自己的運用能力。例如在國小、國中數學經常被提到的計算觀念「乘法對加法的分配律」，就一定要確實了解並學以致用。分配律其實就是說：計算數量的多少可以「一起算」或「分開算」，且兩者算得的正確答案一定相等，但解決方法可以考慮其數字關係，有時「一起算」會比較好算；有時「分開算」會比較好算。當然，從數學學習的角度來看，可以解對問題的各種方法，都是好的方法。但因為解題仍要重視效率，因此如何運用靈活方式有效率達成解題目標，也是解題者必須學習的重要課題。至於如何「增進數量的運算思考」，以下是幾個必須掌握的基本觀念與學習重點：◎腦袋是最可靠的計算機嘉義市豐山鄉盛產愛玉子，每當愛玉子豐收的季節來臨，鄉公所就會召募工人幫忙採收。工人們爬到樹上，用熟練的技巧採愛玉子，每採100個愛玉子放入籃子時，工人就會順手摘一片葉子放入自己口袋。等到一天採收工作結束，工人就會檢視口袋內有幾片葉子，一方面了解自己的採收成果，另一方面可以與登記採收數量的人進行核對。工人摘葉子的作用，其實是運用「單位換算」的觀念。要處理好數量運算問題，首先要了解單位的意義，並認識常用的「單位換算」。例如：「半斤八兩」是來自一斤等於十六兩；「沒有分寸」是因為一公寸等於十公分；「得寸進尺」是因為一公尺等於十公寸；「三更半夜」是因為一夜有五更，三更恰好是整夜的中段。

◎觀念與計數並重的思考

◎不要學了代數，就忘了算術

◎結構化的計數模式

第一章

有一次，我各給幾個國中生一疊紙牌，要他們比較紅牌與黑牌相差多少張？有學生快速數得紅牌張數、數得黑牌張數，並相減得出答案；也有學生先依牌色分出兩堆，再數得各堆張數，相減算出答案。但他們的解題效率與正確性，都不如一個數學成績普通的小學生，他拿起相同張數的兩種顏色紙牌往別處丟，最後留下的紙牌，就是紅、黑紙牌相差的張數。許多國中生懂得使用「等量減法」解決數學問題，這個小學生根本沒聽過「等量減法」這個詞，卻能把「等量減法」的性質運用得實際且澈底。由上可知：優劣成敗的最大差異，絕對不只是知識程度上的...

有人做了調查，過去聯考時代，數學是大多數中學生最感到害怕的科目之一。即使今天國中生的升學考試方式改成了「基本學力測驗」，測驗題型從過去有選擇、填充、計算，改成全部是單一選擇題，但患有數學恐懼症的國中生人數比例還是極高，也怪不得「放棄數學」的人數總是最多。有一個數學老師對他任課班級的學生說；「數學很簡單！」但問起這班學生，竟然有不少學生最討厭上數學課。如果你不想這樣的情況發生在自己或認識的人身上，還希望能夠多了解它、喜歡它，其實這樣的願望也不至於比登天還難，只怕運氣太差，學習路上遇上了教學草率、愛吹牛，忽略實質的老師，那注定你跟數學的距離更遙遠了！但是如果是自己糊里糊塗的學，有疑問卻懶得問、練習太少、想的更少，那麼喜歡數學的程度想必不高，數學學習成就也會大打折扣。另外，筆者從實際教學現場上的觀察，發現許多相當用功的學生，的確花了滿多時間在學習數學，但成績呢？不要說關心的人會有微詞，經常連學生自己也看不下去。這樣的學生在內外壓力衝擊、缺乏自信心或成就感的情況下，也就對學習數學愈來愈提不起興趣了。其實，成績、自信與興趣，這些或因或果的關係，本來就會與不同階段的學習成就產生關連，尤其與較高的學習成就更有著密切依存的影響。根據「國際數學與科學教育成就趨勢調查」（簡稱TIMSS 2007）報告，台灣小四與國二學生在「喜歡數學態度」與「數學學習自信心」的成績表現，顯著低於國際平均。有一次，我輕易地組裝完成一台全新的果汁機，當天晚餐，老婆就用它打了一些果汁給全家人喝。不過等到果汁打好了，老婆卻說果汁機並未裝好，有少量的果汁會從接縫中流出來。我起先懷疑是機器品管出問題，但仔細試驗、檢查後發現，讓果汁滲出的元兇是一根短短的頭髮。由於自己組裝時恰好將一根頭髮卡在接縫處，表面上機器是「緊密」結合，但實際高速運轉時，果汁會從這肉眼看不出的細微空隙滲出去。我拿走了頭髮並重新組合，果汁機就能正常運作了。以上舉的生活實例，主要想表達我對於學習數學這件事的看法：不要輕忽根本、忽略細節，它可能是最重要的。緣木求魚或本末倒至，即使再「努力」，到頭來不是事倍功半，就是徒勞無功。不知道讀者是否還記得自己學騎腳踏車或教騎腳踏車的經驗，如果要教一個小孩子騎車，可以先給他騎有一個或兩個輔助輪的腳踏車，等他騎出興趣，再教他學騎一般兩輪的腳踏車。一開始大人跟在車尾或走或跑，同時用手抓住車墊或置物墊後端，以控制車子的平衡，陪騎的過程中，大人必須隨時用鼓勵的言語引導小孩，等他騎穩並產生信心後，大人再視路況適時將手鬆開或抓緊。我的女兒讀幼稚園大班時，我用這個方法教她騎腳踏車，結果她一天就學會一個人騎腳踏車，兩、三天之後，就可以騎著大人的腳踏車在公園裡兜圈圈了。所以說先興趣、再信心、後能力，是一種不錯的學習歷程。有鑑於此，筆者針對小學五、六年級與國一新生撰寫本書，其寫作方向是從思考面與實用面切入。內容摒棄艱澀、僵固題材，同時考慮「國中基本學力測驗」的解題思考不只侷限數學知能，還包括生活經驗與多元智能的連結能力，所以選材特別注重生活化、情境式、趣味性與思考性，並結合了數學成就測驗、數字邏輯智力測驗、數學性向測驗，每道問題從設計、解析、編排，都經過審慎考慮，除了讓學生得以銜接國小、國中數學課程上的關鍵知能，診斷或強化數學概念理解，以增進國中數學推算能力，並可作為參加國小、國中特殊班（含資優班、科學班）甄選的練習題本。愛因斯坦（AlbertEinstein，1879-1955）說過：「書讀得太多，但腦筋用太少的人，都會落入懶得思考的習慣。」現在的學生由於要學習與想學習的東西太多，使得練習或思考數學的時間受到壓縮，更凸顯了許多學生做的雖多，想的卻少；想的雖多，得的卻少的現實狀況。所以嚴格說來，學習數學並非單純的課題，而且數學也不是簡單的學問，如果想學得好，還是必須相信「了解才能激起更多火花，有火花才能煉鐵成鋼」，並落實希臘哲學家柏拉圖的名言：「耐心是一切聰明才智的基礎。」隨時多看、多做、多想，才能奠立紮實的數學基礎。總之，筆者期待在教育革新的轉變中，本書能夠幫助所有想愛上數學的小學生與國中生，提振他們的數學能力，增進了解學習數學的本質與意義，並為學習興趣注入活力。下筆若有文字疏漏或考慮不周之處，敬請專家、先進們多多包涵、指教。

有人做了調查，過去聯考時代，數學是大多數中學生最感到害怕的科目之一。即使今天國中生的升學考試方式改成了「基本學力測驗」，測驗題型從過去有選擇、填充、計算，改成全部是單一選擇題，但患有數學恐懼症的國中生人數比例還是極高，也怪不得「放棄數學」的人數總是最多。有一個數學老師對他任課班級的學生說；「數學很簡單！」但問起這班學生，竟然有不少學生最討厭上數學課。如果你不想這樣的情況發生在自己或認識的人身上，還希望能夠多了解它、喜歡它，其實這樣的願望也不至於比登天還難，只怕運氣太差，學習路上遇上了教學草率、愛...

第１章　增進數量的運算思考
　　腦袋是最可靠的計算機
　　觀念與計數並重的思考
　　不要學了代數，就忘了算術
　　結構化的計數模式Q&A 1-92題

第２章　啟發圖形的辨析智慧
　　幾何圖形的基本性質
　　圖形的重組能力
　　立體圖像的察覺力Q&A 93-146題

第３章　培養關係的推展能力
　　關係的連結與轉換
　　有條不紊的關係推算
　　關係的運用與推展Q&A 147-200題

第１章　增進數量的運算思考
　　腦袋是最可靠的計算機
　　觀念與計數並重的思考
　　不要學了代數，就忘了算術
　　結構化的計數模式Q&A 1-92題

第２章　啟發圖形的辨析智慧
　　幾何圖形的基本性質
　　圖形的重組能力
　　立體圖像的察覺力Q&A 93-146題

第３章　培養關係的推展能力
　　關係的連結與轉換
　　有條不紊的關係推算
　　關係的運用與推展Q&A 147-200題