沒有王者之路《幾何原本》

《原本》在歷史上的挑戰

《原本》無疑是今日數學與科學書寫的源頭與典範，但它畢竟是時代的產物，從二十世紀的邏輯標準，羅素跟德國數學家希爾伯特都提到《原本》並不夠嚴格，希爾伯特還因此重新寫出一本《幾何基礎》，修補《原本》的邏輯缺陷。

不過這還不是《原本》真正的挑戰。自古以來，許多思想家視《原本》的內容─歐氏幾何─為絕對真理，康德更為此發展了他的哲學系統，說明這是一種先驗綜合式的真理。但是歐基里得一直擔憂的第五公設，也就是平行公設，後來卻走出了一條令人意想不到的大道。

簡而言之，平行公設一直是數學家的挑戰。他們希望找到平行公設更「自明」的敘述方式；或者希望從其他四個公設推論出平行公設，證明平行公設是多餘的；或者希望證明否定平行公設可以導出矛盾，因此平行公設必須是正確的。這些努力都是為了鞏固歐氏幾何的真理地位，不受可疑的平行公設影響。

沒想到最後在十九世紀初發現，否定平行公設不但沒有矛盾，反而發展出非歐幾何學。卸下歐氏幾何是真理的桎梏後，整個幾何思想的飛躍不可以道里計，最重要的成就是十九世紀數學家黎曼所倡議的黎曼幾何，這種更廣義的非歐幾何成為愛因斯坦廣義相對論的基礎。

另外，在十九世紀這段歐氏幾何和非歐幾何的攻防歲月裡，發展出許多檢討公設系統性質的方法，在日後二十世紀的數學基礎論戰中開花結果，讓人類對於理性思考的深度與限度，有了更深的理解。

不過到了二十世紀末，已經可以為《原本》的歐氏幾何做新的辯護。康德將歐氏幾何視為宇宙空間的真理，在非歐幾何出現後似乎成為笑話。但是康德論證的方式仍然有其價值，他認為人類的經驗並不是素樸的感官經驗，而是先透過心靈加工後才呈現的，其中呈現經驗時必須預設時間和空間的直觀。康德昔日缺乏證據的哲學玄想，但今天透過認知科學已經知道，人類感受到的經驗其實有很多層級，通常必須經過各腦區的化約整理，才能做有效率的回應。換句話說，大腦最後面對的「經驗」，其實是加工過的經驗。就這點而言，反而康德的綱領才是正確的，因此認知科學分外重視康德的思想。

例如視覺經驗絕對不只是可見光感應的直接傳遞，為了在大自然中求取生存，人類與動物的大腦會透過不同腦區加強平行、垂直、對稱的處理，這就是為什麼我們從小對這些幾何「概念」特別敏銳的原因。換句話說，即使我們生存的空間不是歐氏空間，但是我們的大腦卻是用歐氏幾何的形式來逼近、重組我們的視覺經驗，所以我們才會特別覺得平行公設是直觀自明的，這也解釋了為什麼歐基里得的《原本》是人類第一個幾何理論。

《原本》濃厚的幾何氣味

《原本》不只是時代的產物，也是文化的產物，由於古希臘人以幾何思想為王道，因此《原本》帶有很強的幾何氣味，徐光啟將譯本稱為《幾何原本》，其實不能算是誤譯。

一般來說，數就是數，地球上每一個文明都會使用數，也熟習數和幾何交匯的問題，例如測量兩地的距離、城牆的高長、田地的面積等。但只有古希臘人將幾何視為更根本的概念，即使在處理數的材料如質數、公因數、公倍數時，仍然採用幾何方法。譬如說他們的整數是用線段來表示，也就是用線段長度來表示數。

希臘人並非對代數知識無知，但是《原本》中的代數式都是用幾何圖形來表現。這並不是歐基里得的獨到見解，而是希臘文化的特點，在其他文化沒有見到這麼徹底的使用。也因此，希臘人在處理無理數如 （根號2）時，才會發展出「不可公度量」的概念。

《原本》的材料並不只是幾何學，但它的內容從頭到尾都混合了文字與圖象，其中每個命題的證明也都是文字與圖形的共同運用，圖形並不只有附屬的說明或裝飾功能。古希臘人在人類文明的早期，恰巧善用了人類先天兩個非常重要的認知資源─語言與視覺，這也是為什麼認知考古學者重視古希臘數學的原因。正如前述，人類特別擅長處理視覺的東西，因此老師教幾何時，一味強調文字或符號的重要性，其實不是理想的方式。如果將《原本》裡面的圖全部拿掉，也許它不再是最成功的教科書了。

《原本》在歷史上的挑戰

《原本》無疑是今日數學與科學書寫的源頭與典範，但它畢竟是時代的產物，從二十世紀的邏輯標準，羅素跟德國數學家希爾伯特都提到《原本》並不夠嚴格，希爾伯特還因此重新寫出一本《幾何基礎》，修補《原本》的邏輯缺陷。

不過這還不是《原本》真正的挑戰。自古以來，許多思想家視《原本》的內容─歐氏幾何─為絕對真理，康德更為此發展了他的哲學系統，說明這是一種先驗綜合式的真理。但是歐基里得一直擔憂的第五公設，也就是平行公設，後來卻走出了一條令人意想不到的大道。

簡而言之，平行公設一直是數學家的...