觀念物理第二部

你有仔細看過遊樂場內的旋轉木馬嗎？是靠近外圍欄杆的木馬跑得比較快，還是靠近裡面的木馬比較快？還有，遊樂場裡的「飛天轉盤」一邊轉動一邊開始傾斜時，裡面的遊客為什麼不會掉下來呢？試著用細繩綁著一個空罐頭，另一手抓著繩子，讓它在你的頭頂上旋轉，若繩子忽然斷掉，罐頭會直接向外側（徑向方向）飛出去，還是會沿著原來的運動方向（切線方向），直直地飛出去？我們知道，在沿著軌道飛行的太空梭內，太空人會因「失重」而飄浮，然而對將來某種會轉動的太空站而言，雖然也是同樣繞著軌道飛行，裡面的太空人卻會受到與在地球上相同的重力？以上這些問題，說明了本章的主旨。讓我們先從討論「旋轉」與「繞轉」的差別開始。

9.1　旋轉與繞轉

不論是飛天轉盤或是表演腳尖旋轉的溜冰選手，都是繞著一個「軸」轉動。軸是一條直線，繞著它的運動就是旋轉。當物體繞著內軸，也就是軸線在物體身體裡轉動時，我們稱這種運動為旋轉或自轉。前述的飛天轉盤與溜冰選手，都是在旋轉。

當物體繞著外軸轉動時，我們稱之為繞轉。雖然飛天轉盤做的是旋轉運動，但是站在轉盤裡的遊客，卻是對著同一個軸繞轉。

地球便是同時具有這兩種轉動的例子。地球以太陽為軸，每365 1/4天繞轉一周，我們稱之為公轉，此外，又以通過地理南北極的軸線，每24小時旋轉一周，我們稱之為自轉。

你是否從這裡看出了造成閏年的原因？因為地球在365天之後，還需要1/4天才能繞太陽一圈，所以每經過四年，我們便需要在日曆裡，多加上一天。

相對於太陽，地球自轉一周的週期是24小時。所謂一天24小時，是指地球上的某地，兩次正對太陽所需的時間。若相對於遠處的恆星而言，地球自轉一周只需要23小時又56分，為什麼？因為在地球自轉的同時，它也在繞日公轉的軌道上繞轉了約1度。（我們知道約有1度，是從一年約有365天估計出來的。）

9.2　轉動的速率

我在本章之初問過大家關於旋轉木馬的問題，究竟是在外圈的木馬比較快，還是在內圈的木馬比較快？類似的問題是，唱片的哪一個部分運動得比較快？老式唱片的哪一部分走得比較快？是外緣部分的唱片紋路，還是靠近中心的紋路？若是你拿這些問題去問別人，相信你得到的答案將不只一種，因為有些人考慮的是直線運動的速率，而有些人考慮的則是轉動的速率。

所謂「線速率」是指在單位時間內，物體運動所經的距離，也就是我們在《觀念物理》第Ⅱ冊第2章裡簡稱的速率。位於旋轉木馬或是唱片轉盤外緣的點，旋轉一周所經的距離，比內側靠近中心的點來得長，所以外側部分比起內側有較大的線速率。當物體以圓形軌跡運動時，它的速率可以稱為「切線速率」，因為物體的運動方向，就是該圓的切線方向。對圓周運動而言，線速率與切線速率這兩個名詞，是可以互相交替使用的。

「轉動速率」（有時叫做角速率）是指在單位時間內，物體轉動的圈數。對旋轉木馬或唱片轉盤這類不會變形的剛體而言，它們的各個部分在繞著轉軸旋轉一周所需的時間是完全相同的。因此，物體中各部分的旋轉變化率都相同，或者說在單位時間內旋轉的周次數都相同。我們常用RPM來表示轉動速率，也就是每分鐘若干轉的意思。例如，在十幾年前還常見的電唱機中，唱片的正常轉速便是33 1/3RPM，因此不論瓢蟲停在唱片上的任何地方，牠繞轉的轉速也會是33 1/3RPM。

轉動速率通常是以單位時間內轉動的圈數，或是單位時間內轉動的角度（度或弧度）來描述，代表轉速的符號是ω（希臘字母，讀作omega），常用的單位有RPM、每秒若干度或每秒若干弧度。一度是指一圈的1/360，一弧度大約是指一圈的1/6，精確來說，應該是1/2π乘上360度，也就是57.3度。關於弧度的問題，你也許會在比較進階的課程中學到。

切線速率與轉動速率的有關。你有沒有坐過遊樂場內的摩天輪呢？當它轉動得愈快時，你的切線速率也就愈快。切線速率的大小，正比於轉動速率，以及與轉軸之間的徑向距離，因此我們可以說

切線速率 ～ 徑向距離 × 轉動速率

若是你將來選讀了較進階的物理課，你便會學到當我們採用了合適的單位後，切線速率v、轉動速率ω以及徑向距離r三者的關係便是v=rω。不過，這個關係式，只適用於轉動系統的各部分在每一瞬間都有相同的轉速ω時，例如剛性的轉盤或棒子。然而，行星系便不適用於此公式，因為每一個行星都有各自不同的角速率ω。（我們往後會學到，行星系的最內部行星，有較大的轉動速率與線性速率。）

在轉盤的正中心，也就是轉軸的位置，是完全沒有切線速率的，但轉動速率還是存在，而你只是單純地轉動而已。當你遠離軸心時，你會運動地愈來愈快——轉動速率保持固定，切線速率卻愈來愈快。當你向外緣移動兩倍遠時，切線速率是原來的兩倍；移到三倍遠的地方時，切線速率也變成三倍。當溜冰的人手拉手排成一列，在溜冰場內繞中心旋轉時，最尾端那個氣喘吁吁的傢伙，就是這種運動的最好證明。

總結來說來，在任何剛性的旋轉系統內，各部分的轉動速率都相同，但線性或切線速率則不然。切線速率視轉動速率以及與轉軸之間的距離而定。

● Questions

1. 相對於地球的自轉軸而言，在地表上何處的轉動速率最大？何處的線速率最大？

2. 假設有一座旋轉木馬，外圈木馬與轉軸的距離，是內圈木馬的三倍。有位坐在內圈木馬上的男孩，他的轉動速率是4 RPM，線速率是2公尺／秒，試問他坐在外圈木馬上的姊姊，所具有的轉動速率與線速率各是多少？

3. 火車行駛的鐵到都有兩條軌。在直線行駛的地方，兩條軌的長度相同，那麼在轉彎的地方，哪一條軌比較長呢？是靠近裡面的，還是外面的？

● Answers

1. 情況跟轉動的唱片相似，所有的地方都有相同的轉動速率。赤道地區因為距離地球自轉軸較遠，所以有較大的線速率。

2. 姊姊的轉動速率跟弟弟一樣，都是4 RPM，切線速率則是6 公尺/秒。因為旋轉木馬是剛體，所以每匹木馬的轉動速率是一樣的。由於外圈木馬與中心的距離，是內圈木馬的三倍，所以切線速率也是三倍。

3. 在外側的軌比較長，原因很簡單，因為半徑較大的圓，圓周也較長。

你有仔細看過遊樂場內的旋轉木馬嗎？是靠近外圍欄杆的木馬跑得比較快，還是靠近裡面的木馬比較快？還有，遊樂場裡的「飛天轉盤」一邊轉動一邊開始傾斜時，裡面的遊客為什麼不會掉下來呢？試著用細繩綁著一個空罐頭，另一手抓著繩子，讓它在你的頭頂上旋轉，若繩子忽然斷掉，罐頭會直接向外側（徑向方向）飛出去，還是會沿著原來的運動方向（切線方向），直直地飛出去？我們知道，在沿著軌道飛行的太空梭內，太空人會因「失重」而飄浮，然而對將來某種會轉動的太空站而言，雖然也是同樣繞著軌道飛行，裡面的太空人卻會受到與在地球上相同的...

第9章　圓周運動　　　9.1　旋轉與繞轉9.2　轉動的速率9.3　向心力9.4　向心力與離心力9.5　旋轉座標系中的離心力9.6　模擬重力第10章　重　心　　　　　　　10.1　重心10.2　質量中心10.3　尋找重心10.4　翻倒10.5　穩定性10.6　人體的重心第11章　轉動力學11.1　力矩11.2　力矩的平衡11.3　力矩與重心11.4　轉動慣量11.5　轉動慣量與體操選手11.6　角動量11.7　角動量守恆第12章　萬有引力12.1　掉落中的蘋果12.2　掉落中的月球12.3　掉落中的地球12.4　牛頓的萬有引力定律12.5　重力與距離：平方反比定律12.6　宇宙間的重力第13章　重力13.1　重力場13.2　行星內部的重力場13.3　重量與失重13.4　潮汐13.5　地球與大氣的「潮汐」現象13.6　黑洞第14章　衛星運動14.1　地球的衛星14.2　圓周軌道14.3　橢圓軌道14.4　能量守恆與衛星運動14.5　脫離速率第十五章　狹義相對論：空間與時間15.1　時—空15.2　運動是相對的15.3　光速是一個常數15.4　狹義相對論的第一公設15.5　狹義相對論的第二公設15.6　時間膨脹15.7　雙生子旅行15.8　時間與空間的旅行第十六章　狹義相對論：長度、動量與能量16.1　長度收縮16.2　相對論裡的動量與慣性16.3　質量與能量的等效性16.4　相對論裡的動能16.5　對應原理

第9章　圓周運動　　　9.1　旋轉與繞轉9.2　轉動的速率9.3　向心力9.4　向心力與離心力9.5　旋轉座標系中的離心力9.6　模擬重力第10章　重　心　　　　　　　10.1　重心10.2　質量中心10.3　尋找重心10.4　翻倒10.5　穩定性10.6　人體的重心第11章　轉動力學11.1　力矩11.2　力矩的平衡11.3　力矩與重心11.4　轉動慣量11.5　轉動慣量與體操選手11.6　角動量11.7　角動量守恆第12章　萬有引力12.1　掉落中的蘋果12.2　掉落中的月球12.3　掉落中的地球12.4　牛頓的萬有引力定律12.5　重力與距離：平方反比定律12.6　宇宙間的重力第13章　重力...