從月曆 學數學 -曹老師的生活數學教室2

曹老師開講，讓你的曆功大增

　　中國的農曆是陰曆嗎？為什麼一星期有7天，二月只有28天？月份和星期的英文名稱是怎麼來的？萬年曆需要用到哪些數學？曹老師（阿草）的《從月曆 學數學》，要從曆法的故事，告訴你月曆中隱含了哪些有趣又奧妙的數學。

我們的農曆是陽曆還是陰曆？
閏月和節氣是怎麼定的？
為什麼一星期有7天，二月只有28天？
月份和星期的英文名稱是怎麼來的？
萬年曆需要用到哪些數學？

曹老師的生活數學教室，
這回邀請到利瑪竇、徐光啟、小徐、小利，
跟你一起聊聊曆法的故事，
從我們每天都會用到的月曆，
循序漸進的學到隱含其中的數學。

來到曹老師的生活數學教室，
你會發現：
原來月曆中也有這麼有趣又奧妙的數學話題！

作者簡介

曹亮吉

　　1943年生於東京，三歲返台。台大數學系學士，1972年獲得美國芝加哥大學博士。自1976年任教於台大數學系，曾任系主任，於2001年退休。曾任《中國數學雜誌》（現改名為《台灣數學期刊》）總編輯、《科學月刊》總編輯，目前擔任大學入學考試中心顧問。

　　多年來以「阿草」為筆名，致力於數學與科普寫作，著作包括《阿草的葫蘆》、《微積分基本要義》、《從月曆學數學》（原書名：阿草的曆史故事）、《從生活學數學》（原書名：阿草的數學聖杯）、《從天文地理學數學》（原書名：阿草的數學天地）、《從旅遊學數學》等書。《阿草的葫蘆》更榮獲第一屆吳大猷科學普及著作創作類銀籤獎。譯有《阿基米德寶典》。

序  學曆之旅

第1章  中西曆的對照──徐光啟、利瑪竇對話錄
1.1 復活節是在哪一天？
1.2 利瑪竇的生日不見了
1.3 陰曆月和中氣掛鉤

第2章  各曆的發展──小徐、小利對話錄（之一）
2.1 徐光啟改了曆
2.2 必也正名乎
2.3 曆的變奏

第3章  眾曆的共通──小徐、小利對話錄（之二）
3.1 異中求同
3.2 通曆通樂
3.3 曆就是行事以時

第4章  天之曆數在爾躬──小徐、小利對話錄（之三）
4.1 漢武帝改曆很政治
4.2 武則天建立了新朝代？
4.3 武則天說謊？

第5章  曆的數學──小徐、小利對話錄（之四）
5.1 愈通愈近
5.2 餘數定理
5.3 簡單的數學、複雜的數學

附錄A  《中國年曆簡譜》內容說明
附錄B  萬年曆的製作
附錄C  2001年24中節氣與閏月

序言

曹亮吉
學曆之旅

　　2000年2月，大學入學考試中心學科能力測驗數學科有這麼一個題目：

　　今年（公元2000年是閏年）的1月1日是星期六。試問下一個1月1日也是星期六，發生在公元哪一年？

　　見到這個題目，我想是個送分題，想上大學還不會？但是這次考試的統計資料，讓我大吃一驚：答對率只有18％，平均5個考生只有1個會。

　　2000年2月29日早上醒來，一看手錶，日期居然是3月1日。錶的設計者是怎麼想的？1996年2月29日，我的錶的確是2月29日。可見錶的設計者的確考慮到閏年；如果他認為每4年要閏一次，沒有例外，那麼2000年我的錶就會閏的。事實是沒閏，設計者一定知道千禧閏不閏是個問題，但他還是弄錯了。

　　顯然大多數人對曆的ABC還是不太清楚，更不用說去欣賞曆之有趣的文化背景。由此，我想起了我的學曆之旅……

踏進曆的世界

　　1979年初，為了教微積分，閱讀華羅庚（1910-1985）的《數學分析導引》，想找些教材。想不到其中與微積分不直接相關的連分數題材，倒吸引了我。書中說明了連分數的簡單理論，並舉陽曆、陰曆、陰陽合曆中的幾個複雜的常數為例，用了簡單的分數來代替。

　　我向同事朱建正教授提起了曆的數學，他介紹了高平子（1888-1970）所著的《學曆散論》，說可向中央研究院數學所索取。就這樣，我從曆的ABC，進入了曆的數學，也進入了曆的文化史。

　　那一年開始，我為《科學月刊》雜誌再度寫＜益智益囊集＞專欄，介紹通識的數學。該年的6、7兩月，各有一篇曆的文章＜一年有幾日＞，與＜魚也要，熊掌也要＞。第一篇文章介紹了曆的ABC，以及一點點DEF，第二篇則介紹如何用連分數的觀點看曆的設計，提出製曆者要在簡單與精確之間做適當選擇的窘境。主要的參考資料就是《學曆散論》，華羅庚的《數學分析導引》，還有大英百科全書中關於曆法的部分。

　　1985年10月15日下午四點半，在台大正門口羅福路地下道入口處，遇到了中央研究院計算中心的謝清俊教授。他說他們正想做中西曆對照的程式，而已有的資料僅能準確到月份，希望能做到日日對照。他正想找我，問我有無妙方。我答應他兩個星期後，到中央研究院計算中心，給一個不公開的演講，談曆法的入門，共他們參考；不公開，因為我自己也才是一個入門漢而已。

　　我利用這兩個星期，找來一些與曆法有關的文章或書，拚命惡補一番。包括許倬雲（1930- ）的＜殷曆譜氣朔新證舉例＞（含於《求古編》中）、朱文鑫（1883-1938）的《曆法通志》、陳垣（1880-1971）的《二十史朔閏表》與《中西回史日曆》，以及董作賓（1895-1963）的《中國年曆總譜》。當然這些文章或書，我不可能全看，看過的也有很多不懂的地方，不過到底讓我寫成了演講的內容大綱：甲、曆法的原罪；乙、曆法的演變；丙、陽曆的結構；丁、回曆的結構；戊、陰陽合曆的結構；己、中國農曆的演變；庚、中國農曆的置閏原則；辛、中國農曆其他注意事項；壬、中西日曆對照。

　　最開頭一節的原罪指的是，回歸年365.2422日，朔望月29.5306日，兩者相除一年有12.368……月，都不是簡單的整數；為了處理不簡單的小數，曆才變得有點複雜。最後第二節談的是干支紀日、改曆頻繁的原因、還有平朔、定朔、平氣、定氣等。最後一節中西日曆對照介紹儒略紀日，及對照時應注意的事項。

　　10月28日到中研院演講，過程順利，會中以及會後也有不少討論。離開中研院，我獨自到對面的胡適公園，看到了董作賓的墳墓，心中一震，因為那幾天在台大總圖書館，讀了他的巨著《中國年曆總譜》，實在獲益良多。後來在藝文出版社，買到他的《中國年曆簡譜》，到現在都還時而翻之，其樂無窮。

曆法──文化活動中的數學

　　1996年，我為遠哲科學教育基金會，寫通識教育系列的第一本書《阿草的葫蘆》，內容是文化活動中的數學，其中有一章＜十九年七閏＞，介紹的當然是曆，但內容添加了不少文化氣息，譬如陽曆月份的命名、歷史事件之干支紀年、及與其相應西元紀年之間的換算，還有生肖等。也借用曆法說明，數字可用以標量、標序，或做為標籤之用。

　　翌年3月12日，應東吳大學之邀，為其雙溪文化講座「知識與文化」演講《我的學曆散論》，內容包括本文到目前所寫的，更提到許多與曆有關的歷史事件，如漢武帝的改曆，從改曆的觀點看武則天的周朝，還有利瑪竇與中西曆的關係。利瑪竇（Matteo Ricci, 1552-1610）的老師克拉維爾斯（Christopher Clavius）參與西洋的改曆（改成現製的陽曆），利瑪竇來華與徐光啟（1562-1633）訂交，與他同譯克拉維爾斯評注的幾何《原本》（Elements）前六冊，成為中文的《幾何原本》，並促成他參與明朝的改曆。

　　1999年大家為電腦的千禧蟲而緊張，並追尋新世紀第一道曙光而興奮。千禧年是新世紀的開始，還是舊世紀的結束？許多有關曆的書就冒出來了，譯成中文的有《我的生日不見了》（A. Shimong, Tibaldo and the Hole in the Calendar）、《抓時間的人》（ D. E. Duncan, Calendar），還未看到譯成中文的有E. G. Richards的Mapping Time、J. E. Barnett的Time's Pendulum，以及C. Blaise的Time Lord等。

　　讀了這些書，我的曆功從ABC、DEF進步到GHI。另一方面，2000年2月發生了本文開頭談到的考試與手錶、那兩件不可思議的事情之後，要寫一本多方位、有關曆的書，這種想法漸漸在腦海中醞釀起來。

從利瑪竇與徐光啟的相遇開始

　　要怎麼安排這本書的內容呢？曆法是有點複雜的，而我鎖定的讀者對象就是一般的大眾，所以我得循序漸進，而且通識有趣。有一天散步經過大安公園，突然想到，應該從利瑪竇和徐光啟的會面開始，這樣可簡單介紹中西曆的對照，以引起讀者的興趣。我立刻去查他們第一次會面的年代，結果是1600年──真是上上籤！1600年正是西方改曆後第一次碰到的問題年，和2000年一樣有閏不閏的問題，以及是否為世紀末或新世紀初的問題。於是我以日有所思、夜有所夢的賴皮方法，寫下他們會面對談的私人版紀錄。本書的第一篇很快的就定了稿。

　　往後要怎麼寫呢？最後決定把場景拉到400年後，新舊世紀交替之際，還是借助兩個人的對談，廣泛探討曆法的各種層面，包括各曆的發展、眾曆的共通、天之曆數在爾躬，以及曆的數學。對話的好處是可以腳把步放慢，把許多重點逐步說明與澄清。對話的主角是誰呢？我請兩位年輕人擔綱，一位在國內完成大學教育，然後飄洋過海、沾點洋墨水，又回來在大學教書；另一位是小留學生出身，洗過洋墨水澡之後，又回到出生地方來，想深入學習本地文化。為了方便，姑且稱前者為小徐，後者為小利。

　　古代的數學家大都是研究天文曆算出身的，現代的數學家很少涉及天文的研究，更是曆法的門外漢。我靠著因緣才得以學曆，然後借著讀書、演講、寫文章──寫短文、寫書中的一章，到寫一本書，把學曆的心得一再結構，一再擴大。這就是我的學曆之旅。不過必須聲明，於曆我雖有心得，但到底只是以業餘的興趣待之，而絕不是專家──與古代的數學家相比，是夠諷刺的。

2001年6月於台北