從生活學數學

第0篇 學篇

——學什麼、怎麼學



一般人學數學到底要學什麼呢？從實用的觀點來看，答案是學會算術計算，及一點點的幾何與代數。在考試至上的氣氛薰陶之下，答案是背誦及套用公式，做各種（複雜）的計算。近年來，想法漸有改變，認為學會尋求數與形的規律及過程，是學習數學的主要目的。

從「尋求數與形的規律」，可往兩個方向延伸。規律是規則與定律，是嚴格的，無例外的。然而通性、風格、式樣、花樣、大要、樣式、形態、圖樣、結構、特色、模式等等，多多少少有規律可尋，可視為廣義的規律，其實也可以是學數學所要學的。廣義的規律，我們稱之為「胚騰」。

另一方面，天地之間的萬事萬物，莫不隱藏有數與形，及數與形的胚騰。把學習數學的眼界，從純粹的數與形，以及狹義的規則與定律，提升到隱藏於萬事萬物中的數與形，以及廣義的規則與定律──胚騰，數學不再是枯燥抽象的，不再是似乎很有用、但不知用在哪裡的東西。

擴大視野是否要伴隨著艱深的數學技術？一般而言，國中小的數學技術，就能勝任視野的適度擴大，所需要的是學習的方法。我們要從實際的生活，或其他學習領域中取材，來探討其中的數與形，研究其中的胚騰。我們要培養能力，能夠察覺情境中的數學問題，能夠把察覺到的轉化成真正的數學問題。在解了數學問題之後，還要能回到實際的情境，評析解題的結果是否回答了原來的問題，是否能有進一步的推展。我們也要有能力，把整個過程重點摘錄，以便自我溝通，同時也要能與別人溝通與分享。

經過察覺、轉化、解題、溝通及評析等種種步驟，把數學和生活以及其他學習領域連結在一起，數學才能變成具體而有用。新實施的九年一貫國中小數學課程強調的一個重點，就是數學的連結。

0.1 人是尋求規律的動物

人是尋求規律的動物，從語文及數數目發展的過程就可看出端倪。

語文要是沒有規律，彼此無法溝通，就不成為語文。語文的規律大致有兩個層次。一個是大體的結構，譬如字序，中文的「狗咬我」和「我咬狗」，意義完全不同，而日文要把「狗咬我」說成「我（被）狗咬（了）」。又譬如，必要時，時間、空間要講清楚，否則不知道你講的是何時何地的事。另一個層次是較細緻的變化，譬如英文動詞過去式的語尾變化，中文因類而不同的各種數量詞用法（個、隻、顆、粒……）。

小孩子學語文，結構層次的規律很快就掌握得差不多，細緻變化的那一層次則會引起一些學習的困擾，因為規律大致是有的，但不清楚或例外的地方也不少。

譬如英文的過去式，大致來說是用「動詞加ed」的形式，這是規律。但不規則動詞也不在少數。以英文為母語開始學話的小孩子，受環境的影響，知道go的過去式為went；不過學得愈來愈多的規則動詞之後，有一段時間會不自覺把go的過去式說成goed。經過父母老師的糾正，他才知道動詞有規則的，也有不規則的，於是捨棄goed，重新又說went。

人類在發展語文的過程中，體認到現在與過去需要有所區別，於是英文就用不同的字代表現在與過去，所以一些常用動詞都是不規則的。不規則動詞一多，使用就不方便，於是發展了以ed代表過去的規律。不過，已經有的不規則動詞早已成了文化的一部分，只好任其不規則。然而，人到底是尋求規律的動物，於是許多現在已不常用的不規則動詞，如dwell（住；通常用live表之）的過去式dwelt就很少人會用，而dwelled也逐漸取得合法的地位。相信這樣發展下去，英文的不規則動詞會愈來愈少。

中文數量詞的用法，常常和歸類有關。有腳動物歸成一類（人除外），以「隻」數之；長條形的東西以「條」數之等等。歸類自然得尋找共同的表徵，也就是尋求規律。當然，老祖宗在發展數量詞的過程中，歸類的工作沒做得非常科學。「顆」與「粒」怎麼區別？大體來說，粒指的是顆粒狀中較小者，顆則大小通用。粒可大到怎樣的程度？我們說一粒蘋果或一顆蘋果都可以，顯然粒至少可用到大如蘋果者。不過比蘋果稍小的心臟不能以粒來數（至少國語如此）。另一極端，在閩南語中，我們常說一粒西瓜，不說一顆西瓜，而用國語，則說一個西瓜，少說一顆西瓜。我相信應規律化之趨勢，數量詞會愈來愈簡化。

數數目的規律

英文的11（eleven）是「10餘1」的意思，12（twelve）是「10餘2」的意思，13（thirteen）是「3 + 10」的意思，一直到19都是加法的想法。不過過了20，規律建立了，先說整的部分，再說零頭的部分，從此往下數就很順暢。很多語文都有類似的發展過程，開始慢慢數，後來數出心得，數出規律來。像中文很早就建立了十進位的數數法規律，是很難得的。

人是尋求規律的動物。觀察了天象，知道天體運行的規律，還進一步，建立曆法來規範作息。歷史學家尋求朝代改變的規律，想借此做為殷鑑。地理學家注意到，在地球上，無論南半球還是北半球，只要在緯度30°與40°之間靠海的陸地，夏天氣候一定是炎熱乾燥，冬天都是溫和潮濕，困此都有類似的植物生態。所以地中海型氣候的規律就不限於地中海一個地方了。

人是尋求規律的動物。數學裡有許許多多不很複雜的規律可讓學生去尋求。尋求規律很有趣，而且可以累積許多經驗，以便用於其他領域中規律的尋求。

0.2 從規律到胚騰

語文的發展從凌亂開始，漸漸約定俗成，有了規律，再來則有意簡化規律。這樣的發展過程本身也呈現一種通性——許多語文都是這樣發展的。

數數目數到某個階段，豁然開通，懂得十進位的原理，從此以後數得順暢，這也是小孩子數數目的通性。但是中文的數數目，卻沒留下最前階段數得不順暢的痕跡。

規律給人的印象是一成不變，通性則是模糊之中大致有個規律；通性是廣義的規律。

成名的畫家，他的畫有一定的風格，有欣賞能力的，一眼就看得出。風格不是嚴格的規律，它有變化的空間，頂多是廣義的規律。

流行的服飾有一定的式樣，大家爭相模仿，不過剪裁要合身，花樣也可以投己所好；式樣也不是狹義的規律。

一本介紹考古的書籍說，限於篇幅，只能舉出一些實例，讓讀者感受到考古學的大要。

通性、風格、式樣、花樣大要等等，都表示有某種規律，但比較傾向定性型的，而非定量型的。有沒有一個詞，可以統攝這些似乎有某些共同性質的多種面貌，就像規律泛指規則、定律那樣？中文似乎沒有，我們暫以x表之。x可解為「廣義的規律」，不過它是個衍生詞，有點囉唆，不是好的解。我們要為x找個適當的名字。

人是尋求規律的動物，學數學是尋求事物背景中，有關數與形的規律。現在，人不但尋求規律，更試圖了解x，那麼數與形中是否一樣有x，值得數學的關注。

斑 馬

提起斑馬，眼前馬上浮現黑白相間的條紋。黑白相間有「形的順序感」，條紋的多寡有「數的量感」。再留意一下，有些斑馬的條紋比較寬，看起來比較疏，有些比較窄，看起來比較密。分開看不覺得，擺在一起就很顯眼。

這裡有沒有數學？有的，寬窄的相對比較。數學就條紋這個表徵，認定斑馬至少有兩種，寬紋斑馬及窄紋斑馬。數學方式的分類有沒有道理？有的，生物學家說，寬紋的叫做草原斑馬（Burchell’s zebra），產於非洲東部及南部的草原區；窄紋的叫做格利威斑馬（Grevy’s zebra），產於非洲北部的灌木區，而且腹部白色無條紋。另外還有一種產於西南非高地的山斑馬，其臀部有格子式的斑紋。

我們不好說條紋的幾何「規律」不一樣，我們說條紋的幾何「樣式」不一樣。x有了新的例子：樣式。就條紋的表徵，依幾何的樣式分類是數學的工作。

這樣的工作該歸屬於數學，還是歸屬於生物學？學門的區分往往有其時代的背景，從前的自然哲學，後來區分成科學哲學、物理、化學、生物、地科等等。但學門劃分愈細，愈容易劃地自限，現在開始回頭走，因為學門間相鄰的邊區，往往是雙方都照顧不到的地方，也是最值得研究的地方。學門整合，此之謂也。

從數學看出斑馬可分若干種，那麼要不要追出分種的源頭？有的數學家比較保守，認為那是生物學家的專屬；觸及生物領域已經有多管閒事的顧忌，何況還要深入其境？有的數學家比較積極，不但要研究生物背景中數與形的x，還要透視造成x的來源與機制；他們預創了形態數學（morphomatics），做為日益擴張中之生物數學的一個分支。

其實就學習的觀點，管它專屬數學還是生物，有趣的就該快樂的學。

通性、風格、式樣、花樣、大要等等，都是x的不同面貌，還有，在數學中，除了規律之外，又可找到許多x的變身，像樣式、形態、圖樣、結構、特色、模式等等。大抵說來，這些用詞或者代表狀況之特徵，或變化之特色。那麼該給x什麼樣的名字呢？

英文有個字可以代表這樣的x，稱為pattern，pattern譯成中文是什麼呢？隨著上下文各有不同的譯法，上面所提到的各種名詞都有可能，而且還有其他的可能。在數學文獻中，有人譯成模式，有人主張樣式；樣式的身段比較柔軟，似乎更能呈現x的定性特質。

圖 騰

不過，想來又想去，我建議把pattern譯成音義都不錯的「胚騰」。音當然不錯了，義呢？這得從「圖騰」兩字談起。

圖騰兩字原是totem的音譯，totem指的是北美印地安人刻有圖案的木柱，樹立地面，做為表徵某些意念之用，譬如歡迎、擁有（房子）、墓碑等。圖騰通常用動物做圖案，所代表的意念，印地安人都懂得。

人類學家發現，許多地方的部族，都發展了一種社會關係的建制。他們借用圖騰這樣的具體實例，稱這種建制為圖騰觀（totem-ism）。

圖騰觀約可歸納成三點原則：

1. 每種圖騰以一種動物為代表（有時用植物或自然物為代表）。

2. 每個人屬於一種圖騰（譬如熊族）。

3. 對圖騰的成員有些規範。規範的pattern如下：

（1）與圖騰代表物的關係：代表物會保護成員？代表物代表祖先？為何崇拜代表物？是否禁食代表物，或舉行特殊儀式才可食用？（答案隨地區有所不同。）

（2）成員歸屬的認定：大抵隨母親傳承，但有例外，譬如澳洲的原住民阿龍塔（Arunta）部落，認為受孕是靈魂投胎的結果，不同圖騰的靈魂會散居於不同的地方，母親要回想受孕的地方，才能決定子女所屬之圖騰。所以同圖騰的成員會散居各處，住在一起的人可屬不同的圖騰。

（3）性的禁忌：通常同圖騰的成員間不能有性關係，當然也不能聯姻。（但也可能另有規範。）

這樣的規範內容顯然不能稱為規律，但規範的項目（代表物、成員與性）倒是相當一致的。我們可以說這是規範的pattern，甚至說圖騰觀是一種pattern，因為從內容可以確認某地方的人是否具有某種圖騰觀。圖騰的起源到底是宗教的、社會的、飲食的、商業的，還是心理的、人類學家還在熱烈討論——數學家想摻一腳嗎？

圖騰雖然是音譯之詞，幾十年用下來，似乎生出意義來：「圖」指的是表徵（代表物），「騰」原意是馬在奔馳，也可引申為興起突現之意；圖騰兩字合起來，就變成「表徵所要突現的特質」。

胚騰呢？「胚」是胚胎，引申為事務之發端，與「騰」字合起來，就變成「其來有自的突現」。突現表示狀況之特徵或變化之特色，能引人注意者。如果每次出現的狀況或變化都類似，當然其來就有自了。

用胚騰同時音義兩譯了pattern，算是我掰出來的產物。當然重要的是，我們要認識各式各樣的胚騰，我們要追求各種胚騰的根源。

（摘自本書第0篇）

第0篇 學篇

——學什麼、怎麼學



一般人學數學到底要學什麼呢？從實用的觀點來看，答案是學會算術計算，及一點點的幾何與代數。在考試至上的氣氛薰陶之下，答案是背誦及套用公式，做各種（複雜）的計算。近年來，想法漸有改變，認為學會尋求數與形的規律及過程，是學習數學的主要目的。

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序數學就在你身邊第0篇學篇--學什麼、怎麼學0.1人是尋求規律的動物0.2從規律到胚騰0.3問路0.4尋根0.5成績單的學問第1篇說篇--說什麼、怎麼說1.11、2、3……1.2向前看，怎麼解？1.3雞同鴨講1.4分門別類1.5舉一反三第2篇算篇--算什麼、怎麼算2.1現代的覺者2.2焦點新聞數字2.3差不多先生的一天2.4去零術2.5八分之七等於一2.6潛在的無窮第3篇變篇--變什麼、怎麼變3.1代數思維的核心3.2類化的系統3.3關係的類化3.4數學模型3.5等比的世界3.6音，調對了嗎？3.7頻率的平均第4篇看篇--看什麼、怎麼看4.1找路4.2登高遠眺4.3台灣的面積4.4左邊的路給誰走？4.5孿生的左與右4.6對稱4.7帶狀裝飾第5篇想篇--想什麼、怎麼想5.1數學是一種語言5.2集體與個別之間5.3人皆有死5.4混水可摸到魚？5.50與1之間的選擇5.6挑戰約定，突顯特色延伸閱讀

序數學就在你身邊第0篇學篇--學什麼、怎麼學0.1人是尋求規律的動物0.2從規律到胚騰0.3問路0.4尋根0.5成績單的學問第1篇說篇--說什麼、怎麼說1.11、2、3……1.2向前看，怎麼解？1.3雞同鴨講1.4分門別類1.5舉一反三第2篇算篇--算什麼、怎麼算2.1現代的覺者2.2焦點新聞數字2.3差不多先生的一天2.4去零術2.5八分之七等於一2.6潛在的無窮第3篇變篇--變什麼、怎麼變3.1代數思維的核心3.2類化的系統3.3關係的類化3.4數學模型3.5等比的世界3.6音，調對了嗎？3.7頻率的平均第4篇看篇--看什麼、怎麼看4.1找路4.2登高遠眺4.3台灣的面積4.4左邊的路給誰...