天哪!數學原來可以這樣學

前言
為什麼你搞不懂數學？
˙想要搞懂數學必須具備什麼能力？
˙我也曾經搞不懂數學
˙我如何建立「數學學習法」
˙在成年人身上彰顯的學習數學的真正理由
˙正是現在方能體會的數學魅力
˙「文科」的人更應該學習數學！
˙這本書的使用方法

第1章  數學應該如何學習
不要死背
˙學習的訣竅...就在於「不要記住」
˙為什麼要學數學？
˙數學很無聊？
˙想想不必死背就能搞定的方法
取代死背的方法
˙多問「為什麼？」
˙加上「意¬義」
˙不是增加「知識」而是「智慧」
證明定理和公式
˙定理和公式是「人類睿智的結晶」
˙證明之中也有感動
˙透過證明培養「數學力」
˙畢氏定理的證明
˙二次方程式的解的公式的證明
˙闡明靈光一閃的理由
「聽→想→教」的3個步驟
˙「了解」是什麼意思
˙學習的3個步驟
製作自己的「數學筆記」
˙筆記是為了未來的自己而作的
˙從單純寫作的筆記到自行創作的「寶物」筆記
˙製作筆記能夠體驗「教」
˙製作「寶物」筆記的方法

第2章  解題之前應該先知道的事
數學上使用文字符號的理由
˙算術和數學的不同
˙演繹和歸納
˙何謂一般化
˙使用文字符號的好處
消去未知數
˙代入法
˙加減法
˙萬能的代入法
˙通關密語是「消去未知數！」
˙如何找出能夠消去的未知數
˙二元二次聯立方程式的解法（附加）
問題集的使用方法
˙「了解」和「會做」不一樣
˙關於問題集的「解答」
˙問題集中的題目不會考
˙為什麼不會解題？
˙解出題目的時候
不拿手的人所欠缺的「解題」的基本知能
˙文字題是在做「數學翻譯」
˙除法有2個意義
˙意識到圖表和聯立方程式的關係
˙輔助線的畫法依「情報量」來判斷
擅長數學的人的腦袋
˙不擅長數學的人的典型樣式
˙擅長的人只使用「基本思考方法」
˙「10個絕招」的效能
˙回歸原理、原則、定義來分解題目

第3章  任何題目都管用的10個絕招
[ 第1招 ]降低次數
˙1的3次方根
˙降低圖形中的「次數」
[ 第2招 ]找出週期性
˙沒有日曆也沒有關係
˙什麼是同餘式
[ 第3招 ]找出對稱性
˙圖形的對稱
˙對稱式
˙對稱方程式
[ 第4招 ]逆向思考
˙「至少 …… 」的時候就逆向思考
˙反證法
[ 第5招 ]思考和不如思考積
˙什麼是式子的資訊量
˙不等式的證明
[ 第6招 ]把它相對化
˙相對化＝減法
˙循環小數
˙等差數列
[ 第7招 ]進行歸納性的思考實驗
˙具體數字比較容易思考！
˙發揮想像力而提出假設
˙不斷地「實驗」吧
˙關於數學歸納法
[ 第8招 ]把它視覺化
˙最大值、最小值題目的特效藥
˙想成是在解聯立方程式的中途！
˙在跳石之間架橋
[ 第9招 ]要意識到等價變形
˙什麼是充分必要條件（等價）
˙式子的變形是等價變形
˙要意識到是否為等價變形
˙利用必要條件逼近再檢討是否為充分條件
˙把思考方法加上名稱
[ 第10招 ] 從終點回溯起點
˙思考終點的前一行
˙圖形問題的例題
˙靈光一閃變成必然出現

第4章  綜合題目  用10個絕招來試試看吧
˙綜合題目①
˙綜合題目②
˙綜合題目③
˙綜合題目④
結語
 

前言

想要搞懂數學必須具備什麼能力？

　　現在，手上拿著這本書的你，學生時代一定對數學很苦惱吧！我來想像一下，
　　「我沒有數學的才華。」
　　或許你對數學有複雜的情結吧！
　　又或者，可能是
　　「懂數學的人＝有靈感的人」
　　你以為他們和自己是不同世界的人。
　　但，這些是錯誤的想法！

　　數學家秋山仁老師在他的著作『想和數學談戀愛』裡，舉出4個「考入理科大學的必要能力」：

　　(1)把自己的鞋子整整齊齊地放入指定的自己的鞋盒中。
　　(2)不知道的單字會翻字典查清楚它的意義
　　(3)會煮咖哩飯（看著食譜照做也可以）
　　(4)能畫出從離家最近的車站到自己家裡的地圖

　　你覺得如何呢？
　　「如果是這樣的話，我好像也行啊！」
　　是不是這樣認為呢？
　　上面所列的4項能力，可以用另一種說法分別轉換成
　　懂得1對1對應的概念
　　能把自己鞋子的左腳和右腳做對應，進一步能對應於所指定的各自的鞋盒，這就是懂得1對1的概念的證據。
　　能理解順序關係
　　例如「book」，b是第2個字母，接下去的o是n和p之間 …… ，必須知道26個英文字母的順序關係。

　　能整理程序，加以執行並進行觀察
　　必須具有備齊材料，依照作業程序進行適當的處理，以及觀察過程的能力。
　　具有抽象能力
　　要把3次元空間落在2次元平面上，必須具有刪除多餘情報，只表現必要情報的抽象能力。

　　不過，絕大多數的人都具有這些能力。如果是想以數學「天才」的身分成為數學家並領導全球數學界的人（這樣的人絕對不會拿著這本書吧），那是另當別論，但若只是想要考上理科大學，或理解工作上所需的數學，則並不需要特別的「數學才華」什麼的。

　　話雖如此，為什麼搞不懂數學呢？我敢斷言，你搞不懂數學，並不是因為你沒有數學的才華，而是因為你學習數學的方法錯了。

　　我在這本書中，寫了搞懂數學的學習方法。這是讓數學變得有趣、讓數學變得容易理解的學習方法。這是我自己在高中時代編出它的雛形，然後以大約20年的教學經驗不斷錘煉而成。過去這段時間的眾多學生已經實際證明了這個學習方法是有效的。在幾個月內從班上最後一名竄升到全年級第2名等等，在短時間內數學成績一舉提升的例子比比皆是。大家都跟我說：

　　「真是恍然大悟啊！」
　　「從來沒有想過數學是這麼地有趣！」

　　我也曾經搞不懂數學

　　事先聲明，我並不是數學系出身的數學專家。大學畢業於東京大學地球行星物理學系，然後進入宇宙科學研究所（現在的宇宙開發機構＝JAXA）。後來突然轉換跑道，希望成為古典音樂的指揮家，也有參與規畫餐廳經營的經驗，現在擔任永野數學補習班這家個別指導補習班的班主任。我雖然迂迴曲折地累積了不同的經歷，但其中唯一未曾中斷的就是「教數學」這件事。大學剛畢業就開始擔任家庭教師，一直到現在擔任補習班的班主任，這大約20年來，個別指導了許許多多的學生。儘管不是數學系出身，我自認為是個教數學的專家。

　　但是，回顧學生時代 …… ，數學的成績絕對稱不上「好」這個字。不只一次或兩次，我的分數遠遠低於全班平均分數。國中時沉迷於棒球，高中時沉迷於音樂，固然是一部分原因，成績始終在全班的底邊徘徊。這樣的狀態一直持續著，直到高中2年級的冬季（太慢了！），「再這樣下去，真的不行啊！」

　　一念之間大徹大悟，開始發憤圖強用功讀書！但是，無奈地，已經落後周圍的同學一大截了。而且，那個時候，同年級學生也同樣進入拼鬥的階段了。因此我想：

　　「做和大家相同的事情，是沒有用的。」

　　我必須建立自己的學習方法，有沒有一種能夠一棒逆轉的厲害學習方法呢？ …… 總而言之，當時我只能做這樣的思考。而在此同時，我也在想：

　　「不管怎麼做，反正我都想輕鬆快活地學習。」

　　現在想起來，還真是有夠厚臉皮，但一想到離考試還有1年多，這段時間叫我為了準備考試而辛辛苦苦地一天到晚拼命唸書，那我可不幹。 ……

　　我如何建立「數學學習法」

　　在模索著找出適合自己的學習方法時，突然想到一件事。

　　「書本或電影的簡介，是如何向人們述說的呢？」

　　即使只讀一遍、即使只看一次，卻能把故事中發生的事件，從頭到尾依序排列，向人們說明，這其實是很厲害的，不是嗎？如果能將書本或電影的簡介深入本體的「機制」應用在數學的學習上，一定很有效吧！而且好像會很輕鬆愉快。這個想法讓我不禁興奮了起來。

　　於是，「不死背」、「抓緊故事」、「述說」 …… 等等，這本書介紹的「數學學習法」的主幹，就這樣逐漸成形了。

　　建立適合自己的學習方法之後，我的數學成績扶遙直上，最後達到東京大學理科一類的合格標準。再強調一遍，我不是數學專家，並沒有受惠於數學的才華。這可不是什麼謙遜之詞，我對自己了解得很。不過，即使是這樣的我，也能藉著依循正確的學習方法，培養出足以戰勝東京大學入學考試的實力。而且，這個學習方法在進入東京大學之後，也發揮了很大的力量，在進分（東京大學2年級時，要進入專門課程，必須通過比入學考試更嚴格的「進級分系」）和考研究所時也幫助我達成目標。

　　在成年人身上彰顯的學習數學的真正理由

　　我從家庭教師的時代起，都一直有在教成年人學數學。最初是在特地不設年齡限制以便招收學生時，偶爾有社會人士來報名，其後社會人士的學生始終沒有間斷，現在仍在「成年人數學補習班」以成年人為對象教數學。我之所以堅持要教成年人學習數學，一直持續至今，是因為我比較容易在成年人身上看到學習數學的真正理由，這和教學生是完全不同的另一番感受。

　　「到了這把年紀，就算學了數學什麼的，也不會有任何用處吧！」

　　懷著這種想法的成年人不在少數。（啊！我想，手上拿著這本書的你，當然不在此列。）的確，數學中的向量、指數函數、三角函數等等，在日常生活中是派不上用場的吧！但是，既然如此，為什麼絕大多數國家都把數學列入義務教育的課程中呢？

　　這是因為，培養邏輯力（＝數學的思考力），也就是建立條理以思考事物的能力，正是學習數學的真正理由。如果具有邏輯力，就能讓他人理解自己的意見，相反地，也能使我們理解他人與我們不一樣的意見。

　　不僅如此。人際關係和工作上的問題，還有環境問題之類的社會問題等等，若想把這些複雜問題的解決方案理出一個頭緒，都必須檢證、量化問題點，將對象以客觀的觀點去審視，再依邏輯尋求解決之道。而且，當這些問題能夠解決的時候，如果能把所經驗的具體事物加以抽象化，便可一下子提高出自於經驗的解決方案的泛用性，而能在面臨新問題之際創造自己的方針策略。這才是數學。

　　此外，在我們周遭，談到音響的配線是數學，閱讀新家電的說明書的能力、順利地做好旅行及工作的預約，也可以說是數學。數學不是為了解決問題集上的題目而學習的東西，數學是為了培養邏輯力、鍛練在世間生存的「腦力」而學習的東西。成年人學習數學，將可在深切感受到生活中充滿了數學的必要性時，得到莫大的助益。

　　正是現在方能體會的數學魅力

　　遺憾的是，學生們很少有餘裕能夠自我省察學習數學的真正理由，從而浸浴在數學的感動之中。

　　為了迎戰不斷緊逼而來的定期考試，不管怎樣，先把公式和解法背個滾瓜爛熟，想辦法過關就是了。（事實上，光靠死背通常是無法過關的，但是 …… ）對於許多學生來說，數學已經淪落為死背科目了。當然其中也沒有一丁點兒「邏輯」的成分，學習數學的意義已經蕩然無存。如果對你來說，學生時代的數學是死背科目的話，那麼現在正是重新學習數學，體會真正的數學魅力的機會！沒有考試在逼著你，自由地運用時間，依你的興趣而學習的數學，將會把你的數學觀做180度的轉變哦！

　　只要有紙和筆，任誰都可以立刻開始學習數學。而且，成年人學習數學比學生容易得多，這麼說一點也不為過。為什麼呢？因為成年人比學生多累積了許多人生經驗。經驗有助於把抽象事物轉化為具體的意象。我認為甚至可以說，數學的世界多半是抽象化的世界，但能夠把其中蘊含的「意義」和具體的「美」疊合在一起，乃是成年人的特權。

　　「文科」的人更應該學習數學！

　　在我的補習班裡，能在短期間內克服原本棘手的數學的學生，都有個共通之處，那就是國語文能力相當優秀。尤其是擅長建立脈絡撰寫文章的學生、能把他人所說的事物改用自己的話語講述的學生，因為他們運用邏輯思考事物的基礎已經十分札實，所以傳授正確的學習訣竅給他時，立刻吸收進去，一下子就把數學能力提高了。

　　而且，人是用語言來思考事物，使用語言做為建構邏輯的工具。因此，在學習數學之前，必須先把語文能力鍛練札實。

　　在學生時代，「因為我是文科，所以……」而放棄數學的人很多，這是非常可惜的事。文科學生經常自己把自己貼上「我是不懂數學的人」的標籤，但多數是誤會一場。在許多場合，數學拿手和國文拿手常被認為是相反的能力，但這也是大錯特錯。如果讓我來說的話，
「國文很拿手，但數學（算術）很差勁。」

　　這句話真是矛盾之至。這句話的意思就等同於
　　「我用了錯誤的方法學習數學。」
　　如果國文很拿手，如果對閱讀、對寫作都很有自信，那麼數學也絕對可以搞定。

　　這本書的使用方法

　　雖然一直都很認真用功，但數學依舊不起色的人，大多是在國中三年級到高中一年級的時候碰到障礙。因為那個階段是光靠死背的學習的上限。因此，在這本書中，以國中到高中一年級程度的數學內容為主（也含有一部分更進階的內容，只要版面容許，會在一旁加註說明。）。透過大家可能曾經遇到障礙的題目，告訴你學習數學的正確方法。但是，這些題目或許對某些人來說太簡單，對某些人來說又太難，這是理所當然可以想見的。

　　在這裡，希望不會造成各位的誤會，這本書不是在說明數學的內容本身，而是誠如書名所言，是在講述「給成年人的數學學習法」。這本書是在闡明學生時代飽受數學所苦的成年人為什麼搞不懂數學，以及應該如何學習才能搞懂數學。

　　「啊～～！這樣的話，我好像也可以做到哦！」

　　如果讀完這本書，讓你產生這樣的想法，那麼請你務必再次翻開自己想學的層次的數學教科書或參考書。然後把這本書放在旁邊，每當不知道該怎麼學習下去的時候，就翻開來複習一下，應該一定可以發現對你有幫助的「學習訣竅」。

　　此外，雖然是標明「給成年人的」，但我也大力推薦這本書，給現在正在跟數學搏鬥（？）的高中生們。只要試著實踐這本書中所寫的方法，數學一定能夠變強。拿數學做為大學入學考試的武器，也不是痴人說夢。

　　除此之外，這本書的主要特色之一，是第3章的「任何題目都管用的10個絕招」。這裡不是要你死背解法，而是把在面對未知題目時能幫助你當場導出自己的解法的傳家寶，整理成10大絕招。利用這些絕招，應足以解決絕大多數的數學題目。在讀完本書後，請務必自行嘗試確認這件事。

　　希望藉由這本書，能使苦於數學的人們消除數學情結，進而享受數學的樂趣、了解數學。

　　不須再對數學感到自卑，或游移不前了。如果你還是忍不住地厭惡數學，真的很可惜。因為，你現在已經站在搞懂數學的入口了。