線性代數決戰60天(研究所)

第1 章 矩陣基本運算
1 行列式與逆矩陣
2 Gram-Schmide 正交化法
3 基本矩陣(elementary matrix)
4 LU 分解
5 QR 分解
6 頻譜（特徵值）分解
7 差分方程式
8 向量範數與矩陣範數
9 矩陣奇異值分解
精選習題

第2章 向量空間
1 向量的線性獨立與線性相關
2 生成集與基底
3 子空間(subspace)
4 矩陣四大空間
5 子空間的和與交
精選習題

第3章 線性代數應用分析
1 矩陣對角化
2 Cayley-Hamilton 定理與最小多項式
3 Jordan form
4 厄米特矩陣與實對稱矩陣
5 正定與負定
6 二次曲線
7 其他
精選習題

第4章 線性映射與基底變換
1 線性映射
2 值域(range or image)與映成(onto)
3 核域(kernel or null)與一對一映射
4 可逆映射or 同構映射
5 基底變換與座標變換
6 線性映射之基底變換
7 矩陣相似
精選習題

第5章 正交投影向量
1 內積空間
2 正交投影向量
3 如何建立正交投影矩陣
4 正交投影矩陣性質
5 斜投影矩陣
6 鏡射矩陣與正交投影矩陣的關係
7 鏡射矩陣性質
8 如何建立鏡射矩陣
9 Householder 矩陣
10 其他
精選習題

序

　　本書適合電機、資訊、統計、數學系研究所入學考試與一般自修用。線性代數在理工類所與統計課程中被廣泛應用，很多轉業問題，只要稍作整理，即可以線性代數方法解之，因此線性代數是從事專業學習和科學研究的重要基礎。

　　線性代數理論類似蜘蛛網，每個單元之間彼此都有關聯，課堂上之學習就像迷宮般，入口進出口出，順利出迷宮，知道每個單元內容，但是不知道不同單元間聯結。在迷宮中，很多條路彼此都有關聯，都可以達到出口，將這些通路作連結，即可自由自在遨遊於迷宮中，本書嘗試同時以不同方法，解釋線性代數問題，讓線性代數觀念達到極大化。

　　線性代數最重要的空間觀念為矩陣四大空間，利用基本運算與基本矩陣，可證明不同空間之關係，並判斷向量是否線性獨立。利用線性映射法，可明確解釋四大空間及聯立方程式Ax = b解的形式，再以矩陣乘積執行線性映射，就可以將線性化數作不同單元整合。

　　另一個重要問題為聯立方程式Ax = b，解的形式有4種(1)恰有一解(2)無解，均方近似解唯一(3)有解，有參數解(4)無解，均方近似解有參數解。利用正交投影理論，可解出有解且有參數解時，長度最短之解。均方近似解與正交投影向量關係，與長度最短之均方近似解。

　　很多學校研究所入學考試，考很多的是非題，而是非題是線代觀念大熔爐，同一個問題，有很多種不同的解釋，都可以得到相同結論，有些時候少考慮一個反例，即造成錯誤結果。本書採用很多是非題，將線性代數不同單元理論，透過是非題表達出來並作聯結，提升同學判斷能力，必能在考場上得高分。

　　編者才疏學淺，錯誤和不妥之處在所難免，敬請讀者不吝指教。