幾隻襪子湊一雙？：生活中超級有趣的12個數學謎題

前言

多少隻襪子才能湊成一雙？

答案不是兩隻。至少在我家不是。為什麼呢？因為要我在漆黑的冬天早晨，從混有黑色和藍色襪子的抽屜中拿出兩隻襪子，我保證它們往往配不成一雙。

還好，不管有多背，只要我拿出「三隻」襪子，一定能湊出一雙。說不準是兩隻黑色還是兩隻藍色，反正就是能湊成一雙。所以只要再多加一隻襪子，這種有力的數學法則就能破除墨菲定律（Murphy’s Law）。多少隻襪子才能湊成一雙？三隻，要三隻才能確保萬無一失。

只有兩款襪子時，拿出其中任三隻，鐵定能配成一雙

當然，它的先決條件是襪子只有兩種花色。
如果抽屜中有三種花色的襪子──如藍色、黑色和白色──你需要拿出四隻才能配成一雙。如果有十款，需要拿出十一隻。以簡單的數學述句來陳述，如果你有N款襪子，你需要拿出N＋1隻來確保能湊出一雙（我發誓不再提「N」這個字）。

我喜歡襪子問題，因為除了日常生活常會遇到之外，它有一種可愛的數學概念搔到「想像」癢處的感覺，更讓數學概念跳脫了（相當無聊的）1＋1＝2的函數世界。它所屬的數學世界出乎意料地有趣──即使那些發誓不再碰和數學有關的問題的人都會覺得如此。

這是一本關於數學概念的書，所有人都會喜歡這本數學書。撰寫本書的靈感來自一通電話：一天早上，我接到一家全國性報紙來電，說《時代》雜誌（The Times）文字編輯華格納（Erica Wagner）想多了解一下數學，他們認為或許我能幫得上忙。

她之所以突然對數學產生好奇，是和朋友聊天引起的，他們之中有些人顯然對數學有莫名的熱情。她聽到數學家以「優雅」、「美」，這些常常用來形容詩詞或藝術作品的字眼，形容他們研究的主題：數學……怎麼可能？雖然朋友試著解釋給她聽，她依舊不甚明白。然而，聲稱數學美麗是毫無爭議的，因為它就……是那麼美。

我的用意聽來很簡單。我不過想以三個小時的個別指導，說明為什麼數學稱得上美。然而，愈想這麼做，挑戰似乎愈大。代數？幾何？微積分？對大多數人來說，這幾個字只會讓他們害怕、反胃，抑或引發無聊的呆滯眼神（此種反應通常可追溯到十二歲至十六歲間可怕的在學經驗）。

數學常常會讓聰明的人變笨，甚至有點發火。我們聆聽數學家解答某些問題時，常撩起深藏內心的一些私密感觸，例如：「你知道嗎，我想這應該再明顯不過了，可是我就是不懂。」或者，「現在，我整個腦袋都在大叫──誰在乎？？」

所以在我們的個別指導課程中，絕口不提數學。我們談的是紙牌把戲、讀心術，還有打油詩，以及一些可能出現在計算機上、不知打哪兒來的奇怪模式。

事實上，說不談數學還是言過其實，畢竟我們討論的事情和數學直接相關，我們只是避免使用這兩個字罷了。數學最大的問題就出在這兩個字本身。它有太多負面含意，只要跟數學沾上點邊，就足以讓許多聰明的人奪門而出。

2006年的個別指導只能說是一些閒聊對話，卻種下我撰寫這本書的念頭，接著我花了兩年時間完成它。這是我對下面這個老問題稍嫌長了一點的回答：「數學真的可以有趣、富創意又美嗎？」

寫這本書的時候，我深深意識到美是相當主觀的。不能因為我認為某件事有趣、富創意或美，就保證你有同感。事實上，我能保證的唯一一件事是，不管你的數學能力如何，這本書在某種程度上不致讓你浮現那兩個念頭（我就是不懂和誰在乎？？）。

如果你浮現這些念頭，請跳到下一單元，不要感到不安，因為這不是你的錯，那全得怪我。在此，我希望當我們的心智交會之際，你會不知不覺踏上數學之路。
寫一本以自認非數學家為對象的書，我知道我往往過度簡化，少了些許嚴謹，而且經常停筆在（對數學家而言）真正有趣的地方。我要對數學家致上小小的歉意，也藉此向哈地（G. H. Hardy）的著作《一個數學家的辯白》（A Mathematician’s Apology）致意。

既然我在這本書裡以富創意來界定某些數學，就必須好好解釋我的用意。回溯1960年代，柯斯勒（Arthur Koestler）寫了一本名為《創造的行為》（The Act of Creation）的著作。在書中，他嘗試定義什麼是創意，以及它發生的原因。他發現創意本身必須具備三種特性：

美
發現
和幽默

後來某位不知名的聰明人士想出更妙、更簡單的方式，說明這三種特性：

啊
啊哈！
和哈哈

這就是一本關於數學啊、啊哈！和哈哈的書。

第五章
這隻熊是什麼顏色？
你可能需要（但或許用不著）：一只時鐘、一個地球儀和一條細繩。

謎題與數學問題，兩者有什麼不同呢？老實說，有時真難以分辨，雖然大部分的人都以為他們能夠區分。典型的數學解答真的很煩；相反地，謎題的答案往往很有趣。但對我而言，偉大的謎題和偉大的數學題目都必須具備驚奇、美或幽默的元素──一些「啊，啊哈！或哈哈」。這裡有六道謎題。每一題都似乎未能具足得出答案的資訊（但其實是有的！）。在其中幾題，問題似乎更和數學一點關係也沒有。

熊

一個人離開了他的帳棚。他往南走了1英里。然後他往東走1英里。接著他往北走1英里。

讓他驚訝的是，他發覺現在自己好像走回了帳棚，而這時他看見一隻熊。請問這隻熊是什麼顏色？

同一時間，另一個人（在別處紮營）走出他的帳棚，往北直直走了1英里。然後他坐下來喝了一杯茶。喝完茶之後，他又往北直直走了1英里。讓他驚訝的是，他發現自己一樣回到了他的帳棚。請問他可能看到熊嗎？

渥夫先生，現在幾點？

渥夫先生有一個時鐘，可是他把鐘面上的數字都拿掉了。不僅如此，他還轉動鐘面，讓12沒有出現在最上面──但他拒絕透露12現在的位置。時鐘就在這裡。請問渥夫先生，現在幾點？

僧侶

有一條通往山上偏遠修道院的蜿蜒小徑。一個星期一早上，太陽剛露臉，一位僧侶整裝上山。他偶爾停下來歇腳，欣賞周遭風景，或摘朵小花，或喝口飲料、咬塊食物。終於，經過一整天崎嶇山路的折騰，他在太陽快下山時抵達即將在那裡過夜的修道院。星期二一早，太陽升起之際，他啟程下山。雖然下山走得比較快，不過他花了較長時間享用中餐，並坐在路邊看書一、兩個小時。途中，他曾經花了幾分鐘折返上山，找尋僧袍掉落的鈕釦。最後，他在太陽下山時抵達山腳。

檢視兩趟旅程，僧侶上山、下山的腳程快慢有別，我們知道的只有兩趟旅程出發和抵達的時間完全一樣。問題來了，在星期一和星期二的某同一時間點上，他是否剛好在小徑的同一點？

燃燒的細繩

你有一段細繩，別人告訴你，如果從繩子一端點火燃燒，燒完整條繩子剛好是一小時。你需要準確測出三十分鐘，手邊卻沒有手表，只有這條細繩和一盒火柴。這容易，你可能這麼想，只要將細繩對折，然後測量燃燒半段細繩的時間有多長，不是嗎？

不巧的是，這裡有個陷阱：這條繩子粗細非常不均，有些地方細，有些地方粗，所以每段燃燒的速率不同。你知道前半段細繩只要五分鐘就燒完了，後半段卻需要五十五分鐘。表面看來，似乎無法準確測量出三十分鐘，但確實有一個巧妙的解決方式。你能找到嗎？

撒旦的帽子謎題

一個殘忍的獨裁者──我們姑且稱他為「撒旦」──有一百位囚犯。一天晚上，他集合所有囚犯，對他們宣示，隔天他打算處決他們其中一些人。

「我會讓你們排成一列，然後把每個人埋進土裡，只露出頭來，每個人面向前面，所以最後面的囚犯能看見其他九十九位囚犯，而最前面的囚犯看不見任何人。接下來，我會走到每個人後面，拿頂帽子戴在你們頭上，帽子不是白色就是黑色。你看不見自己所戴的帽子顏色，而且我有的是黑色和白色的帽子，所以你們有可能每個人戴的都是白帽，也有可能每個人都是黑帽，或者完全黑、白混合交織。」

「你們必須全場保持肅靜。等到所有人都有了自己的帽子，我會從隊伍後面開始問起，每個囚犯說出一種顏色，黑或白。如果你說的顏色正好是自己頂上帽子的顏色，你就免於一死。如果不是的話──碰！！──去死吧！」

撒旦說完就離開了。囚犯有一整晚的時間嘗試想出自救計畫，能救幾個算幾個，愈多愈好。

很快地，他們想出一個計畫。位在最後面的人要叫出他前面那個人的帽子顏色，這樣前面那個囚犯就知道自己的顏色。接下來，最後第二個囚犯叫出他前面那個人的顏色，依此類推到最前面。然後他們察覺這個取巧的計畫有重大瑕疵。如果他們叫出前一個人的顏色，而那個顏色與他們自己帽子的顏色不符，他們可能全部一起被槍斃。於是他們卡住了。

你能想出更好的計畫嗎？一百位囚犯中有多少人保證不會死？（顯而易見地，一定超過五十人。）

爸爸在哪裡？

最後，這裡有一個可以得到特別高「哈哈」分數的謎題。一位婦人比兒子大二十一歲。六年後，她的年齡將是兒子的五倍。孩子的爸現在在哪裡？

解答

熊

熊是白色的。
通常，如果你往南走1英里，再往東，然後往北，最後不會回到原地──你會走到出發地東方約1英里處。唯一不可能發生上述情況的地方在北極（或南極）附近。假如你從北極出發，往南走1英里，再往東1英里，往北1英里，那麼你會回到北極。而在兩極附近看到的只有北極熊，因此得知熊是白色的。

另一個人也可能看到北極熊。
唯一會發生另一個人閒逛情況的地方，就在北極周遭1英里範圍內任一處，但北極這個點除外。當此人朝北走1英里，就是過了北極後還得繼續走，才能走完1英里。當這個人再次往北走，只是順著原路朝北極折返，回到他的帳棚。

令人感傷的是，這些謎題成了地球暖化下的無辜受害者，因為北極冰帽消失，使北極熊到不了北極，獨留下人在那裡紮營。

渥夫先生，現在幾點？

正餐時間到了！（就像頗受小孩歡迎的某種遊戲喊的。）
乍看之下，這個鐘似乎是三點四十五分，但我們被告知它已經被旋轉過，在這種情況下，我怎能說它不是兩點四十分，或任何時間呢？事實上，只要仔細看著時針，就有充分的理由說明為什麼它不可能是其他任何時刻，因為時針正指向兩個整時標記的中間位置。這只發生在整點過了一半的時刻。把時鐘旋轉過來，讓分針垂直往下指，顯示出的時間是十二點三十分，午餐時間──也有人稱它為「正餐時間」。

讓我們回溯有許多時鐘指針相關謎題的維多利亞時期。傑作之一是下面這個問題，因為它看起來如此簡單：從午夜到正午之間，分針總共追過時針幾次？在這段時間中，時針總共走過十一個數字，所以很自然地，答案似乎是十一，但正確答案是十。第一次追過的時間剛好過一點零五分，下一次是兩點十二分左右，然後是三點十七分；每被追過一次，時針所走的距離就長一些。到了第十次被追過時，時間正好落在十點五十五分之前，下一次它們再相遇就是正午了──但在這個時間點，分針並沒有追過時針，它們同位。

僧侶

是的，這位僧侶鐵定在不同兩天中的某相同時間點，身處小徑的同一點上。
這裡看似沒有足夠的資訊──畢竟，我們不知道他上山和下山的行走速度，也不知道他每次停留休息的時間多長。但假如你發揮想像力，將兩天的影像互相重疊，這些因素就沒有關係了。想像我們拍攝了一部僧侶星期一走路上山的影片。星期二，將這部影片投射到真正的僧侶開始下山之旅，他們都在太陽升起時出發。既然兩位僧侶最後都在太陽下山時抵達目的地，他們彼此一定會在某時間點，在小徑上擦身而過。我們不知道確切的時間點無關緊要，可以肯定的是，它確實發生在某個點上。

燃燒的細繩

點燃細繩的兩端。當兩個火苗相遇，一定是過了三十分鐘。
像這樣的細繩（或「鞋帶」）謎題盛行於1990年代，這類謎題之所以一直受歡迎，就是因為解題少不了那種「啊哈」的時刻。這裡有一個稍難的相似謎題，要求你用兩條完全相同的「一小時」的細繩，正確測量出四十五分鐘。解答這個謎題需要另一個創意步驟。一開始兩條繩子總共有四個繩頭，先點燃其中三個繩頭，A繩的兩端和B繩的一端。

當A繩的兩個火苗相遇時，就是過了三十分鐘的時候。

在此同時，點燃B繩另一端，當B繩兩個火苗相遇之際，就是過了所剩可燃時間的一半（十五分鐘）。從第一次點燃到此刻，總共耗時四十五分鐘。

撒旦的帽子謎題

無論撒旦選擇何種模式，一百位囚犯中有九十九位會獲救，甚至第一百位也有50-50的存活機會。只有天才才能想出達成這麼驚人存活率的方法──我從來沒有遇過任何一個未看解答就想出答案的人。為了確保這個方法行得通，囚犯必須嚴守下面三項規則：

規則一：每個囚犯注視在他前面的一整列囚犯，數清楚他看到的白帽有幾頂。如果他能看到的白帽數目是「偶」數，就說自己的帽子是「黑色」。如果他看到的是「奇」數，就大聲說「白色」（最前面的囚犯能看到0頂帽子，0是偶數，所以他說自己的帽子是「黑色」）。

規則二：從後面開始，每個囚犯必須大聲喊出此刻心中所想的自己帽子的顏色，要夠響亮，讓排在他前面的囚犯都能聽見。

規則三：每次當囚犯聽見他後面的囚犯中有人喊「白色」時，轉變現在心裡所想的顏色（亦即被分類為「黑色」的囚犯，第一次聽到喊出「白色」時轉變成「白色」，第二次變為「黑色」，依此類推）。

這就是解答──它可以完全自行運作。讓我們想像一列只有六位囚犯的隊伍，示範如下：

根據規則一，每個囚犯一開始數出他能看見的前面的白帽數量。最後面的囚犯（圖片最左邊）能看到的白帽數量（2）是偶數，所以他喊出自己是「黑色」。最後第二位囚犯能看到的是奇數，說自己是「白色」，依此類推。在沒有任何囚犯大聲喊出之前，他們設想他們的顏色如下：

黑 白 白 白 黑 黑

現在他們開始宣告自己的顏色。最左邊的囚犯大聲喊出「黑色」。不幸地，他因而陣亡。現在第二位喊出「白色」，得救了──聽到喊出「白色」時，其他每個囚犯都轉變顏色（根據規則三）：

黑 白 黑 黑 白 白
當這四位囚犯聽到囚犯二說出「白色」時，全部轉變他們的顏色


接下來，囚犯三和囚犯四正確說出「黑色」，囚犯五喊出「白色」。這時囚犯六轉變顏色，變成「黑色」。除了最後面那位囚犯喊出的顏色不幸與他戴的帽子不符，其他人都得救了。情況就是如此，不管這一整列囚犯有多少人。

假如哪天你發現自己真的身陷這種不幸的囚犯情況，切記下面幾件事。首先，不要志願排在最後。事實上，要擔任這個志願者角色，必須具備一些特質：有從容就義的決心，而且眼力要夠好，才能看清楚前面所有帽子。另外，他必須會數數。

只要你可以信任最後面的囚犯，就能確保你的生命。但如果你後面的某個囚犯（最後一位除外）出了差錯被槍斃，怎麼辦？沒問題──如果你聽到槍聲，就視同有另一位囚犯喊出「白色」，轉變你帽子的顏色。輪到你的時候，你還是可以說出帽子正確的顏色。

就像一些天才級的謎題，這一題幾乎確定源自電腦世界。用以拯救囚犯的方法近似於確保數據流（電腦數據永遠是由一連串的1與0組合而成）最終正確的技術，即使有些數據已經毀損。

爸爸在哪裡？

這位父親……離母親很近了。乍看之下，這似乎太荒謬了，你怎麼可能知道父親在哪裡？但檢視完這些數字，答案昭然若揭。

假設母親的年齡為M，兒子的年齡為S。謎題告訴我們：母親比兒子大二十一歲，即：

M＝S＋21

六年後，她的年齡將是他的五倍，即：

M＋6＝( S＋6 )×5

現在來做一點代數運算──請容許我。以S＋21代替M，並將括弧乘開，你得到：

S＋27＝5×S＋30

然後等式兩邊各減去S＋27，得到：

0＝4×S＋3

最後，兩邊各減3，得到：

4×S＝-3，或S＝-3/4（一負數）

換言之，這個兒子才-3/4歲。這到底是什麼意思呢？一年的-3/4就是負九個月，也就是她的兒子還差九個月才出生。

這位父親現在在哪裡，留給你們去想像吧。

第九章
大家來走捷徑
你或許需要：一大塊巧克力。

一天，一位農夫站在柵欄門邊，欣賞著他飼養的羊群，一位觀光客走過來和他一起看羊。

「這些是你的羊嗎？」觀光客問道。

「是啊，牠們是我的羊。」農夫說：「你估算那裡總共有幾隻羊？」

這位觀光客愣了一下，然後回答說：「三百八十六隻。」

農夫嚇得目瞪口呆。「你到底是怎麼知道的？」

「還不簡單，」觀光客說：「我先數總共有幾隻腳，然後除以4。」

當然，這個故事旨在告訴我們，做事情的方法往往不只有一種，但有些方法比其他更有效率。這種情況同樣適用於數學。如果有人教你說做乘法只有一種，就嚴重地誤導你。方法成千上萬，有些簡單卻比較慢，有些很複雜，而有些實在怪異。但如果找到一條捷徑，往往讓數學家興奮不已。數學家常用「優雅」這個詞來描述和數學有關的事物；若用來形容問題的解答，就是清楚、合乎邏輯和簡單扼要的意思。

火車謎題

有一個關於火車的古老例子。話說兩列火車在同一軌道上，各以時速50英里迎頭對開。當兩列火車相距100英里時，一隻總是以時速60英里飛行的蒼蠅，從火車A的前頭出發，筆直地飛向迎頭而來的火車B。當牠飛抵火車B後隨即迴轉，直線地朝火車A飛回去，就這樣持續在兩列火車間飛來飛去，直到碰！兩列火車撞得粉碎，蒼蠅也在過程中被壓死了。

蒼蠅飛了多遠──在牠遭遇不幸之前？一般處理這個問題的方法是，計算出蒼蠅來回之間每一段航程的距離。第一段航程略小於100英里，回程更小了。所以如果我們能列出一道公式，就能將所有航程的距離加在一起，得出答案。

然而，我們有另一種選擇。暫且不管蒼蠅的航程。故事開始時，兩車相距100英里，而且兩車的速度都是每小時50英里。這意味著再過一小時，兩列火車就會相撞（每車各走50英里）。

那麼在這一小時中，蒼蠅做了什麼？題目告訴我們，蒼蠅總是以時速60英里的速度飛行。這表示在火車相撞之前這一個小時裡，蒼蠅一定剛好飛行了60英里。不管蒼蠅是直飛、呈之字形飛，或是繞著圈飛，答案都是一樣的。

淘汰賽和巧克力塊

針對所謂淘汰賽問題，有一個相當巧妙的解答。想像有，姑且說，六十四隊參加一項足球淘汰賽。賽事中每一場比賽會有一隊淘汰另一隊，直到剩下參加決賽的兩隊，決賽獲勝者贏得冠軍。請問整個賽事下來，需要比多少場比賽？

在第一輪，如果有六十四隊，必定有三十二場比賽。下一輪有三十二隊，他們踢十六場。依照這個模式，我們很清楚知道比賽總場次為32＋16＋8＋4＋2＋1，相加得出答案63。

假如一開始有九十七隊參加賽事，結果又如何呢？如此一來，有些球隊需要比其他球隊多賽幾場（因為有些球隊常常第一輪不用比就「直接晉級」）。你或許想試著算出總共需要多少場比賽，不過得先計算多少隊可以直接晉級。

或者你只想知道捷徑。這個題目的關鍵在於你問問題的方式。人們通常從贏的觀點著手：每一輪有幾隊獲勝？孰不知每場比賽有一勝者也有一輸者，把焦點擺在那些輸掉遭淘汰的隊伍有何不可。到底有幾隊輸了呢？嗯，直到賽事結束，除了最後的勝利者，其他所有隊伍都被淘汰了。每一場比賽淘汰一隊。因此，無論你的賽程怎麼安排，總比賽場次正好是參加的球隊數少1。假如有六十四隊參加，就有六十三場比賽。

這些看來和巧克力塊問題一點關係也沒有。假設你有一分隔成四十小塊的超大巧克力片。

說來真巧，你正好有三十九個想和他們分享這片巧克力的朋友。因此，你決定沿著巧克力塊上面的水平和垂直凹線，將巧克力「掰開」成一個個小塊。每一次掰開都只能選定一塊方形巧克力，沿著一條凹線，將它一分為二。不能兩塊或多塊「相疊」一起折斷，避免造成不平整的缺口。

問題是，要將這一大片巧克力掰開成四十個單一小方塊，怎麼做最有效率？而用這種方法，總共需要掰幾次？

（這時你可能想幫自己找一塊真的巧克力來實驗一下──每掰成一小塊就吃一塊，犒賞自己。）

有些人解這個問題時，先設計盤算各種掰法，例如：「每次盡可能將一片巧克力等量對分」。

然而，經過證明，這樣的「策略」是多餘的。因為不管你用什麼方法，總是需要掰正好三十九次，才能得到四十個單一小塊。為什麼呢？因為每掰一次就多出一塊巧克力。剛開始，你有一塊（非常大的）巧克力，而最後你有四十塊。這意味著不管你用什麼方式，一定需要掰三十九次來產生這些小塊。需要掰開的次數，永遠比你最終所要的小塊數字少1。

聽起來是不是很熟悉？這正好和前面剛提到的足球淘汰賽問題一樣。掰巧克力和足球淘汰賽或許聽來迥異，隱藏的數學道理卻是相同的。這是另一種數學美感──同樣的解答方式常用在看起來非常不一樣的情況。

圖圖國王和寶寶

我們在前面幾章已經看過無須複雜計算的或然率。這個發生在圖圖島（island of Tutu）的故事就是例子，這個故事是關於殘酷獨裁政權和崇尚男性至上的傳說。

所有事情都發生在很久以前。話說圖圖國王住在一個叫作圖圖的島上，這個島嶼就像地球上其他地方一樣，人口是由50％的男性和50％的女性組成。但圖圖國王就是悶悶不樂。他聽說鄰近的乒乓島（island of Ping Pong）日漸茁壯，謠傳哪天乒乓人會建造一艘戰艦，準備入侵圖圖。急於防衛領土的圖圖國王決定增加更多戰士，這表示他要他的島上有更多男性。因此，他頒布了一條新法令，凡是想生孩子的婦女生下男孩，只要高興就可以一直生下去；不過一旦她們生下女孩，就不能再生育。有些喜歡很多小孩的母親比較幸運。其中一位有十個男孩！不過有些婦女第一胎生下女孩，於是她們被勒令只能生養一個小孩，不管她們是不是想要更多孩子。

就這麼過了三十年，乒乓國從未入侵。然而，島上多了很多年輕人。圖圖國王決定調查每一位三十歲以下的國民。幾星期後，調查官帶著報告匆匆進宮。「陛下，我們已經統計了你所有的一千兩百名年輕人。總共有兩百四十五位農夫，九十七位麵包師傅……」「夠了！」國王高喊著：「我只要知道一項訊息。這一千兩百名年輕人中，有多少男性，多少女性？」

你能猜出答案嗎？你的直覺告訴你什麼──男性比較多還是女性比較多？

兩種答案都可能──有可能在這三十年間生下的小孩都是男的，也有可能都是女孩，且生為家中唯一的孩子。實際結果就在兩者之間某處，但是我們應該預測它會落在哪裡呢？

令人訝異──並反直覺──的答案是，島上的男女分配仍是約50-50。換言之，國王企圖改變男女分配比率的殘酷政策，毫無效果。

這個答案是藉由計算各種不同的小孩可能組合的或然率而得，但過程中涉及一些不可靠的數學。幸好有一條不需要任何計算的優雅捷徑可走，假設你本人在圖圖醫院婦產科工作。

想像在圖圖醫院的一個尋常早上。來了一位孕婦，歷經痛苦的分娩後，她帶著漂亮的寶貝出了產房。當然，我們都知道生男或生女的機會是均等的，這個新生兒也不例外。如果她是女孩，這位母親永遠不能再有孩子了。但這與答案無關。

下一個婦女來了，然後一個接著一個。每一次新生兒不是男的就是女的，機會均等，無論生第一胎或已經是十個孩子的媽都一樣，小孩總是以一男配一女的比率出生。因此，人口中的男女比率將沒有改變！

既然小孩的男女性別是隨意以50-50做分配，這裡的嬰兒數學題非常類似第六章討論的拋擲硬幣數學題。這意味著由正面和反面產生的一些奇特模式，正好發生在所有家庭。

舉例來說，假如你有兩個小孩，兩個都是男孩的機會與拋擲出兩次正面一樣，也就是有25％的機會。正好有一個男孩的機會與拋擲出一正面和一反面相同（反之亦可），即50％。而且就像用無偏差的硬幣一樣，如果你連續有了四個男孩，你的第五個小孩是男孩的機會──如同擲出第五個正面的機會──依舊是50％。那些宣稱他們家族全部生男孩的人是引用已經發生的狀況，但這些情況與下一代將如何毫無關連。

螞蟻謎題

本章至今出現的所有問題──蒼蠅、淘汰賽、巧克力和圖圖島──共同的特點是，乍看之下問題似乎很複雜，結果卻都有簡單的解決方法。這種見樹又見林的能力，將成為你最有價值的技能之一，而這項技能造就出歷史上許多偉大的領導者。

我們以這第一眼看來大概是全章最複雜的問題，做個總結吧。它和一些螞蟻有關。

這些螞蟻有一種特別的習性。牠們總是走直線，以每分鐘1公尺的恆速前進（對螞蟻來說，這種走速相當慢）。一旦碰到其他螞蟻，牠們會馬上調頭往回走。最後，如果牠們走到一個表面的邊緣，會像旅鼠一樣掉下去。

現在問題來了。有一百隻這樣的螞蟻，牠們被小心翼翼地灑在高於地面的1公尺長直尺邊緣。一些螞蟻往左，一些往右，但這是完全隨機的。這把尺窄到無法容兩隻螞蟻擦身而過，所以每一次有兩隻螞蟻相遇的時候，牠們就會調頭。而當牠們走到尺的末端，會從末端掉下去。

問題是：在你能保證「所有」螞蟻都從尺的末端掉下去之前，需要等多久？

嘗試解題之前，光想就覺得情況多複雜啊。剛開始，螞蟻幾乎不斷碰撞在一起──除非十分巧合地，所有螞蟻一開始都朝著同一方向前進。想試著推斷其中三隻螞蟻會發生什麼情況已經很難了，遑論一百隻。

有人曾拿這個問題給一位天體物理學家看，他思考了一秒鐘（因為他特別聰明，也習慣複雜的問題），立刻考慮建立一個精密的擬態，以便讓他理出數百萬種各式螞蟻劇本的模式。

只要具有關鍵的「啊哈！」洞察力，這些全是多餘的。仔細想想兩隻螞蟻相撞時，會發生什麼情況。就在相撞前的瞬間，其中一隻螞蟻正以每分鐘1公尺的速度往右行走，另一隻以同樣的速度往左前進。相撞後（兩隻螞蟻都調頭時），依然是兩隻螞蟻以同樣的速度，一隻往右一隻往左前進。換言之，只要讓你的視線朦朧一下，沒有任何改變。意即以數學意義來說，兩隻螞蟻相撞如同兩隻螞蟻錯身而過。我們或許可以把問題視為一百隻螞蟻各有各的軌道，往左或往右行走，永遠不會撞到任何東西。

在這種情況下，一隻螞蟻所能行走的最長距離是尺的全長，也就是1公尺，所以所有螞蟻都從尺上面掉下去所需等待的最長時間就是一分鐘。就這麼「簡單」。

本章以蒼蠅的飛行為開端，以螞蟻的行走作結。在這兩個問題中，解題祕密──訣竅──就是能退一步來看整個大局，而不是注意一些小細節。

這也是為什麼「蒼蠅飛了多遠？」和「那些螞蟻走了多遠？」兩個昆蟲問題，讓數學家那麼興奮的原因了。

謝辭

多年來，這麼多人向我提供如此多數學錦囊，讓我常在一時之間無法想起，到底是什麼時候第一次接觸到某個想法的。即便我想起來哪個想法是哪個人介紹的──如第五章的囚犯謎題（謝謝你，哈斯頓〔William Hartston〕！）──發明者也似乎在時間的洪流中消失無蹤了。

總之，有些人我可以直接向他們表達謝意。名單上的第一人絕對是葛登能（Martin Gardner），他在《科學人》雜誌（Scientific American）撰寫的專欄，是我和我這個世代許多人的靈感來源。他的書最先將我的注意力導向龍曲線（dragon curve）、吉布里斯洗牌（Gilbreath shuffle），以及其他許多問題。

兩個個人網站提供了重要的參考資料：諾特（Ron Knott）在Fibonacci網站上的網頁，以及杜伽迪（Jason Doucette）的迴文紀錄報告。

我要向下列人士表達我的感謝之意：威爾斯（David Wells）關於三角形的看法、班傑明（Art Benjamin）提示的數字平方根訊息、路易斯（Barry Lewis）對盧卡數（Lucas number）的洞見、辛馬斯特（David Singmaster）幾個令人瞠目結舌的紙牌技法、密蘭（Liz Meenan）的信封四面體，以及第一個向我說明鏡子問題的韋伯（John Webb）。

我也得到海伊（John Haigh）、萊特（Colin Wright）、曼恩（Tony Mann）、貝爾豪斯（David Bellhouse）、巴克斯特（Tim Baxter），以及其他許多人的大力幫忙，包括提供協助的《獸類與禽類》雜誌（Fur ＆ Feather）工作人員，他們教導我關於兔子的繁殖習慣。

一直以來，理查•哈里斯（Richard Harris）可說是最完美的回響板，他的意見對本書的完成功不可沒。

感謝萊絲莉（Lesley）、傑瑞米（Jeremy）及其他JR出版團隊成員的共事默契，還有葛拉漢（Graham）為本書加上的一隻襪子。

有艾瑞卡（Erica）這樣熱心、好問、感受敏銳的學生，就像呼吸到一股清新的空氣。格林威治公園（Greenwich Park）是教授數學的好地點。

伊蓮（Elaine）和芭芭拉（Barbara），謝謝妳們仔細閱讀手稿，並提供寶貴的建議。

最後，我要感謝瑪麗•哈里斯（Marry Harris）和布瑞奇（Poppy Brech），自認罹患數學恐懼症的兩位，給了我一些無價的啟發，告訴我什麼「不要」放進這樣的書裡。

前言 多少隻襪子才能湊成一雙？答案不是兩隻。至少在我家不是。為什麼呢？因為要我在漆黑的冬天早晨，從混有黑色和藍色襪子的抽屜中拿出兩隻襪子，我保證它們往往配不成一雙。 還好，不管有多背，只要我拿出「三隻」襪子，一定能湊出一雙。說不準是兩隻黑色還是兩隻藍色，反正就是能湊成一雙。所以只要再多加一隻襪子，這種有力的數學法則就能破除墨菲定律（Murphy’s Law）。多少隻襪子才能湊成一雙？三隻，要三隻才能確保萬無一失。只有兩款襪子時，拿出其中任三隻，鐵定能配成...