1, 2, 3和+-×÷的數學旅行：數字的命名、運算的誕生、原理的發展，25段抽絲剝繭的數學探索

　　◆臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 專文導讀
　　◆《微積分之旅》（A Tour of the Calculus）暢銷作家伯林斯基又一力作
　　◆《紐約時報》暢銷書《醉漢走路》（The Drunkard' s Walk）作者曼羅迪諾

　　（Leonard Mlodinow）強力推薦──給讀者和求知若渴者的禮物！

　　1, 2, 3 ……數字如何命名出來的？＋－×÷ ……四則運算怎麼誕生的？
數的創造，便是事物的創造！

　　數字形成我們的宇宙的基礎，而我們多數人從未真正了解它的意義。

　　我們將數字視為理所當然，毫不質疑地做著加減乘除的運算，彷彿數學與生俱來就是如此運作。

　　研究數學，耐心是必備條件，樂趣卻不會那麼快出現。
　　小數點似乎會遊走，負數變成正數，分數還會突然上下倒轉過來。
　　沒有人非常喜歡這門學科，但它擁有令人著迷的力量。

　　數學大師最嚴謹的推理、最深刻的哲思，揭示美麗的數學原理背後精采絕倫的故事！

◎深入最基本的概念，一窺數學誕生的奧祕

　　數學家向來設想數學就像一個城市，城市天際線矗立著三座雄偉的高塔。這三座雄偉的建物分別致力於「幾何」、「分析」和「代數」，探究的對象各是空間、時間及符號和結構。本書訴說的正是這個數學城市的故事，主人翁是自然數、0、負數和分數。

　　文筆如詩的數學家伯林斯基在這部最新力作中，選擇了最基礎的問題：數字是什麼？加減乘除究竟是怎麼運作的？幾何和邏輯又是什麼？伯林斯基致力發掘看似單純的問題下的數學之美和複雜性，以淺顯的方式說明這些多變又難以掌握的概念。

　　本書帶領我們深入最基本的數學世界，揭露隱藏的奧妙。書中呈現許多歷史軼事，旁及各時代最著名的數學家，引領讀者一窺數學誕生的奧祕，刻畫為數學帶來獻禮的人物，並探索數學對我們為何如此重要。

◎數學家的25個禮物，尋找最簡單的數學之美

　　1. 一隻羊、兩隻羊、三隻羊……自然數的創造與數羊有什麼關係？
　　2. 數字與它們的名字是不同的概念……連數學家也常弄錯這件事？！
　　3. 數是萬物的最根本？……誰說的？為什麼？
　　4. 你根本不知道你以為自己知道的事……數學可以為我們確定任何事嗎？
　　5. 邏輯比數學更冷酷……阿伯拉與哀綠綺思的愛情為我們上了數學課？
　　6. 公理系統如同哥德式大教堂……數學家也會說「不怕一萬，只怕萬一」？
　　7. 小的數、大的數、不受拘束的數……打倒歐幾里得！
　　8. 加法有奇特的情感吸引力……十字記號在數學中究竟有什麼特殊意義？
　　9. 我來了、我看見、我征服……凱撒的這句名言竟為我們說明了加法的定義？
　　10. 指數恆等式可以推進科學革命……它前所未聞的強大力量從何而來？
　　11. 數字是怎麼命名的？……原來我們小時候就學過「自然數大字典」？
　　12. 函數是一種信仰……阿拉伯的勞倫斯為什麼因為數學被當成瘋子？
　　13. 19世紀初劍橋或牛津什麼都不好……最偉大的英國數學家？沒有！
　　14. 如果發現算術定律的數學家也是律師……五位實力堅強的選手上陣！
　　15. 數有太多而我們的時間太少……歸納法說來簡單卻理解難！
　　16. 在枯燥的細節中體會隱含的熱情……數學音樂劇的悲劇女主角是誰？
　　17. 真相惡名昭彰且不容懷疑……加法結合律的證明一樣如此理所當然嗎？
　　18. 0的另一邊給人朝黑暗沉淪的寒顫感……負數為什麼讓人覺得不舒服？
　　19. 沒有減法就沒有對稱……減法如何展現驚人的力量？
　　20. 算術的記號是缺乏意義還是有無數可能的詮釋……數學家會提出解答嗎？
　　21. 一樁訴訟案解釋了數學的抽象概念……法律如何讓我們更了解數學？
　　22. 負數乘負數是正數……那些通常嚴格的公理究竟如何操縱神奇的力量？
　　23. 萊茵德紙草書記錄方程式的語言形式……數學家為何對方程式著迷不已？
　　24. 分數沒有極限而分割也沒有終結……麵包也可以讓我們學數學？！
　　25. 沒有其他東西需要證明了……數學書的結尾就像推理小說？

作者簡介

大衛．伯林斯基（David Berlinski）

　　哥倫比亞大學學士，普林斯頓大學博士。著名數學家，暢銷作家，也是深具影響力的思想家。曾在美國和法國多所大學教授數學與哲學。

　　著作甚豐，包括《微積分之旅》（A Tour of the Calculus）、《牛頓的禮物》（Newton's Gift）、《演算法的誕生》（The Advent of the Algorithm）、《微分拓樸學的起源》（The Rise of Differential Topology）等書。現居巴黎。
 
譯者簡介

甘錫安

　　學業結束後由科學界踏入「譯文界」，現為專職譯者。曾擔任Discovery頻道與資訊雜誌編譯，現仍定期為《科學人》及《BBC知識》等雜誌翻譯。書籍譯作包括《愛因斯坦1905》、《攝影師之心》、《圖解達文西機器人》、《樂觀是一種選擇》等。

　　目前住在有山有海有美食的台灣頭基隆，熱愛吸收各類知識，正努力朝「全方位譯人」的目標邁進。最大的心願是知識普及、人人快樂。

1. 一隻羊、兩隻羊、三隻羊。成群的羊毛堆……

2. 亨利有六個老婆，但「Henry」這個英文字有五個字母。數字與它們的名字是兩個不同的概念。如果無法區別兩者，就無法了解數字如何被命名，也就不可能了解位置記數法（positional notation）的久遠歷史和文明藝術。

3. 喜歡追根究底並非物理學家獨有的特性。如果存在有比數更根本的事物，為何我們必須認為數是萬物的最根本？究竟為什麼？

4. 人類知識極不穩定。我們彼此之間只是陌生人，甚至我們也不認識自己。當我告訴你說，你根本不知道你以為自己知道的事情，其實我的意思是，你根本就不知道。

5. 數學是冷酷的大師，而邏輯更加冷酷。這是普遍的認知，不過也離事實不遠。

6. 公理系統的概念是數學體系的核心，如同哥德式大教堂代表了中世紀建築風格。數學家汲汲追求的是形式。

7. 皮亞諾公理是極大的成就，因為它們將自然數納入公理系統；而它們的蘊涵也很深遠，因為它們賦予了後繼這個概念重要性。

8. 加法是「超基礎數學」的四種運算之一。其他運算包括乘法、減法和除法。每一種運算都是用兩個數產生第三個數。有2，還有3——這是兩個數，然後有2+3，於是有了第三個數：5。

9. 「加法的定義」這個詞似乎意味著歷經好幾世紀的努力，當代數學家現在終於能夠徹底說清楚加法的含意。但其實並非如此。

10. 古代商人發現了將數相加的方法，當然也知道如何把數相乘。他們運用的技巧是蘇美帝國抄寫技藝的一部分。

11. 位置記數法是數的命名原則，但到目前為止，這種方法只限於以兩個名字指涉的數，例如27或32，也就是形式為ab的數。

12.勞倫斯（T. E. Lawrence）為道堤（Charles M. Doughty）的《阿拉伯沙漠旅行記》（Travels in Arabia Deserta）寫序時，在文中試圖描述他和道堤都很稱道的沙漠阿拉伯人的性格。「這個民族絲毫不令人厭惡。」勞倫斯寫道：「他們毫不質疑地接受生命這個禮物，將它當成公理。」

13. 19世紀初，劍橋或牛津什麼都不好。

14. 算術定律。這個措辭本來就古怪，再加上發現這個定律的數學家是律師，顯得更為古怪了。

15. 定義遞降帶來一個問題：文字遊戲如何含括無限運算？數學家可以借助遞迴定理，令人信服地表示一切沒問題。

16. 在這些枯燥乏味的細節中，不妨體會一下它們隱含的熱情，以及它們引發的戲劇性事件。

17. 加法的結合律指出，對每一個數z和任兩個特定數a和b，a + (b + z) = (a + b) + z。如果它的意義就是如此，下面提出證明。

18. 自然數就是自然數；0就是0。它們的存在難以捉摸，也沒有形狀。

19. 加法是把數加入數；減法是由數取出數。取走抵消加入。

20. 某些數學家擁有它──我說的是那種「悸動」。他們感覺到有什麼東西就要出現了。

21. 群在「超基礎數學」中占有一席之地；但真正獲得注意和受到熱愛的是環。

22. 負數最讓人傷腦筋的一件事，就是符號律。負2加負2是負4；負2乘負2卻是正4。兩個結果的數字部分都是4，但前面掛著不同的符號。

23. 「萊茵德紙草書」（Rhind payrus）是一張羊皮紙，1858年由萊茵德在埃及的路克索（Luxor）遭到非法挖掘出土。其後在貪污官員間轉手數次，之後因為一次大規模的皇室貪污案爆發，最終由大英博物館收藏。

24. 相信半條麵包比沒有還好的人，不會對1/2這個數感到不安。

25. 加法、乘法和減法在數學生命中一直是強大的創造力。

推薦序

　　就數學普及書寫而言，本書主題近於大學數學系的傳統課程「數學基礎」（foundations of mathematics），是相當罕見且具膽識的選擇。顧名思義，數學基礎探討最基本的數學知識（如自然數概念等）的本質，尤其為什麼它具有確定性（certainty）。這或許可以解釋何以作者提出他所謂的「超基礎數學」（absolutely elementary mathematics）。

　　由於本書說理與敘事兼備，儘管前者是重頭戲，不過，有時候為了讓讀者暫時擺脫邏輯的必然性「壓力」，作者會在適當時機提供敘事（narrative）。因此，除了在相關脈絡中引進數學家的故事或文學性作品之外，作者也運用了許多比喻（metaphor），讓讀者對於他的說理有了更溫潤的理解可能。

　　一般來說，具有數學洞察力與寫作才華的數學家書寫普及作品時，都很喜歡針對數學世界進行比喻，以便強化他們的敘事與說明。他們除了模仿啟蒙運動思想家將數學知識比喻成一棵大樹之外，像史都華（Ian Steward）就將數學比喻成為一座風景區，如此一來，他就可以搖身一變為風景區的導覽志工。至於本書作者則「設想數學就像一個城市，城市天際線矗立著三座雄偉的高塔。這三座雄偉的建物分別致力於『幾何』、『分析』和『代數』，探究的對象各是空間、時間及符號和結構」。在這樣的藍圖中，作者希望他所陪伴的主人翁自然數、0、負數和分數，可以為我們訴說這座數學城市的故事。

　　不過，本書最精采的比喻，則是在第21堂課中，將環（ring）的三重抽象概念類比到法律上的契約的三種內涵。對比威利斯頓（Williston）的《契約》（Contracts），作者指出：在數學這一邊，首先的要求是數學家（以及讀者）願意接受任何公理集合所強制的壓縮；其次，數學家（以及讀者）願意把眼光放遠，不只局限在那些一開始會慫恿我們接受公理的主題身上；最後，願意在公理系統中找出完全由公理創造的事物。而在法律這一邊，則威利斯頓注意到「法律將履行契約視為義務」；其次，法官或陪審團著手了解某些雙邊協議中有足以使協議變成契約的承諾屬性；最後，願意了解契約法所說的契約是什麼。由於數學知識的確定性來自邏輯的「必然性」，因此，作者顯然企圖呼應契約中的某種法律「強制性」。

　　基於此一數學 vs. 法學之比喻，我們很容易可以猜測本書在數學論證方面的講究。現在，讓我簡介本書內容，或許讀者可以據以體會作者的用心。

　　本書共有二十五堂課，其中第5、13、16課分別以整課的篇幅，介紹三位數學家（阿伯拉、迪摩根和索菲雅．卡巴列夫斯基）的故事，其餘二十二課內容，就圍繞在自然數、0、負數與分數之概念及其運算所產生的抽象數學結構上。第1-3課主題是自然數與0的命名及位置記數法，其中並提及如何利用集合來定義自然數。在第4課中，作者介紹邏輯學中有關推論形式之意義，特別是與自然數的連結。第6-7課主題是公理系統與皮亞諾公理（Peano’s Axiom）。第8-9課主要解釋加法的定義。第10課主題是乘法的定義，而進一步延伸的，是第11課的基底以及位置記數法。第12課主題是遞迴定理（recursion theorem），其中作者也特別說明它與相關定義法（method of definition）之連結。在第14課中，作者介紹五個算術定律：結合律、交換律、（乘法對加法的）分配律、三一律以及消去律，並且預示運算決定了數系結構之事實。在第15課中，作者說明數學歸納法原理（principle of mathematical induction）與良序原理（well-ordering principle）之關聯。

　　限於篇幅，我上述這些流水帳式的簡介，看來相當「枯燥乏味」，儘管原書中還是有許多頗為精巧的論證。無論如何，作者顯然覺得此時必須來個「中場休息」，這應該是他在第16課介紹偉大女數學家索菲雅．卡巴列夫斯基（Sofya Kovalevsky）的故事，「不妨體會一下它們隱含的熱情，以及它們引發的戲劇性事件」。

　　在第17課中，作者演示數學歸納法，以證明加法的結合律。第18課介紹0與負數，其中罕見地提及負數在複式簿記制度中相當好用。第19課主題是整數系。在第20課中，作者引述新代數做為一種符號的科學（science of signs），以及偉大（女）數學家諾特（Emmy Nother）對現代抽象代數的偉大貢獻。由於諾特的貢獻之一是環（ring），因此，作者緊接著在第21課中，介紹此一抽象代數之結構。然後，在此一關聯中，作者在下一章（第22章）提供「負負得正」之證明。在第23課中，作者從《萊茵德紙草書》談到方程式求解，最終目的是討論多項式（可構成一個環）的角色。第24課主題是除法與分數，並進一步討論分數與小數的表徵形式。第25課的主題是數體（number field），作者引進這些抽象結構，完全基於它們的圓滿自足：「體的定義……本身只告訴我們，數學和『超基礎數學』需要人類心智投注所有力量，創造抽象概念，並且相信這些概念」。最後，在結語中，作者引用《蘇丹在後宮》這一幅畫，來強調數學的本質是關乎「自然生成與人為創造的兩種事物，滿足地彼此共存」。

　　就訴求目標讀者來說，本書可以跟《社會組也學得好的數學十堂課》（杰瑞．金著，商周出版，2010）做一個對比。後者顯然針對非科學主修大學生的數學通識課程。作者杰瑞．金（Jerry King）使用了數學 vs. 詩篇的類比，強調即使是人文社會科學主修的學生，也可以學好數學。如果一般人可以被詩篇所感動，那麼，他們又何嘗無緣參與數學知識活動呢？杰瑞．金認為基本的邏輯推理訓練、集合論、從自然數經整數、有理數、實數到複數的數系發展、數論、函數（含解析幾何）、機率論以及微積分等等，都是不可或缺的主題。同時，他又高度重視數學知識的結構面向，譬如從自然數系到微積分的縱深統整論述，就明確地演示數學的意義與價值不僅在於它的廣泛應用，而且也關乎它自身的真與美。

　　相對而言，本書也極端重視論證，不過，作者在求「真」方面顯得更加堅持，為此，他認為應該深入公理系統的設置底層，探索比如算術加法與乘法的結合律（associative law）與遞迴（recursion）的本質關係。另一方面，他的「求真」也相當「純粹」，比如當他運用一列骨牌比喻數學歸納法：「若（if）第一張骨牌倒下，且若（if）推倒任一張骨牌即可再（then）推倒下一張，則（then）所有骨牌必定倒下。」緊接著，他表達了「以物理方式類比數學運算時的必然限制」：「我經常想著，這個說法（按即骨牌比喻）在物理學上是否成立。動量在任一骨牌長龍中傳遞，而這意味著骨牌可能會持續倒下；但動量在任一骨牌長龍中同樣必會衰滅，而這意味著骨牌長龍延伸到外太空時，它呈現的波浪會逐漸減慢，最終會停頓下來，直到還有很多很多張骨牌直立著。」還有，基於這種比喻，本書內容幾乎不涉及數學應用例證，一點都不令人感到意外。

　　上述有關本書這些風貌，都可以解釋作者的敘事手法。由於本書強調數學基礎之論證，因此，在考量到讀者的耐心時，他隨時地「岔入」數學或數學家的故事。在本書中，作者所介紹的數學家（從古代到20世紀中期）就將近二十位之多，而且大都簡述他（她）們的故事傳奇。此外，他也經常引述一些文學作品，以便「淡定」陷入基礎深淵的數學熱情。

　　總之，這是一本相當另類的數學普及小品。一般讀者初次接觸本書不免覺得論證「超量」，但平心而論，讀者若懷抱一點點耐心，順著這些材料讀下去，也並非難以理解。數學知識中有許多基本但極為深刻的內容，譬如自然數如何定義？中學階段所學習的數學歸納法有何意義？所謂的遞迴定理與我們所理解的數學基本概念又有何關聯？還有，數學運算如何決定結構？等等，都在本書中有了簡易可及的切入點。無論如何，本書的訴求呼應了通識教育中非常古典的心智訓練，讀者若有機會隨性地讀個幾章（順序無妨），一定可以變得比較博雅才是。至於中小學數學教師呢，本書至少可以提醒：那五個算術定律為何那麼重要了。

　　最後，我們必須指出本書的一些謬誤與商榷，供讀者參考。

　　有關基數（cardinal number）問題。頁22提及「沒有自然數，我們無法計數，也就無法回答『有多少？』這個問題」。這一句論斷值得商榷，因為在「數不過三」（亦即：只能數一、二、很多很多）的民族部落中，還是有能力運用一一對應關係（one-to-one correspondence），確認他的二十頭羊是否走失。

　　頁151：有關骨牌比喻數學歸納法之說明中，原文「直到僅餘一個骨牌直立著」應該修訂為「直到還有很多很多張骨牌直立著」，才比較「正確」與達意。

　　在頁196，作者提及群論（group theory）是在伽羅瓦（Evariste Galois）決鬥身亡前一天晚上寫成的作品中達到完善。又，在頁236，作者再次強調：「在決鬥身亡的前一天晚上，二十歲的伽羅瓦盡情發揮才能，重新檢視多項式方程式的根，首次發現了對稱性約束系統，這個系統可以決定哪些方程式可解、哪些不可解。」有關此一敘事不符合史實，數學史家早已貼心糾正，可惜，作者可能還是參考始作俑者的貝爾（E. T. Bell）的《大數學家》（Men of Mathematics）。事實上，在決鬥前夕，伽羅瓦寫信給他的好友，交代後者要幫忙珍惜他自認為畢生最偉大的數學貢獻，而那是他已發表的論文結果，因為他說：「我的命運已經無法讓祖國及時認識我的貢獻。」

洪萬生
（本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授）