這個問題，你用數學方式想過嗎?史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課，大師教你像數學家一樣思考

完整書名：這個問題，你用數學方式想過嗎？：史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課，大師教你像數學家一樣思考，讓你擁有關鍵的邏輯力、證明力、數字力

　　★寫給高中生、大學生和所有希望提升思考力的人的「數學思維入門」
　　★超過50,000人註冊，史丹佛大學教授最熱門的開放式數學課
　　★百萬人爭讀、比臉書和推特用戶成長更快--超夯線上教育平台Coursera廣受歡迎的公開課
　　◆畢達哥拉斯獎、卡爾．沙根科普獎得主，《數學的語言》作者嶄新力作，一本改變你對數學的看法的書！
　　◆臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 專文導讀．合譯

　　空白頁上寫著「此頁留白」，那這頁到底是不是空白的？
　　所有的鳥類都會飛，所有的美洲豹都有斑紋……請證明給我看！
　　有些大象不喜歡鬆餅……每個人都愛著某個人……
　　(大象會爬樹) → ( 3是無理數)
　　(歐幾里得的生日是7月4日) → (長方形有四個邊)
　　(凱薩死了) → (π > 3)
　　若蘋果紅了，則它可以吃了……
　　看起來理所當然的事真的如此確定無誤嗎？

　　◎為什麼要用數學來思考？
　　數學不是只有＋－×÷、函數、微積分，但是，用數學來思考可以幫我們做什麼？
　　它讓我們有能力提出明確的關鍵性問題
　　它讓我們以數學的嚴謹識別和描述問題
　　它讓我們用數學的精確分析和解答問題

　　◎誰需要學習數學思考？
　　讓思考從混亂、令人沮喪、有時看起來不可能，到具有決定性的解析思維能力！
　　希望提升分析思考技巧和具創新思維的人
　　高中生、大學生，打算主修數學比重高的科目的學生
　　無法藉由尋找樣板來依循、無法找公式來代換數值或者套程序來應用的人

　　◎為什麼要用這本書來學數學思考？
　　完全用不到數學步驟的數學思維入門課，跟著大師學思考！
　　本書作者德福林是最具教授數學熱忱的著名史丹佛大學數學家
　　超過50,000人搶讀的線上開放學習平台Coursera課程同名專書
　　像學習騎腳踏車一樣的數學思考訓練，剛開始總是跌倒，成功卻非遙不可及

　　◎透過理解問題的意義來解決問題

　　數學家說，在他還沒有證明，或是尚未看到具有說服力的證明之前，他都無法肯定一個直覺看來正確的數學命題為真。

　　「做數學」常涉及套用步驟和進行繁複的符號運算；「數學思維」則是一種思考事物的明確方法，且思考對象不限於數學。

　　如果你無法藉由尋找一個樣板來依循、一個公式來代換數值進去，或者一個程序來應用，那麼，你該怎麼辦？

　　答案就是：思考這個問題！

　　本書作者齊斯．德福林是史丹佛大學著名數學家、暢銷科普作家，致力於對大眾教授和傳播數學。

　　他在知名線上開放課程平台Coursera所開辦的「數學思維入門」課程，吸引了全球超過50,000人爭相註冊，本書即是針對協助培養「以數學方式思考」的能力所寫的專書。

　　本書的目標是協助發展數學思維的方法，而不是學習記誦一堆千篇一律的規則，窒礙了你的思考！

　　無論是希望提升分析思考技巧的讀者，或者剛由高中進入大學而打算主修數學比重很高科目的學生，都能從書中學習到如何研究一個新問題，換個方式思考直覺看來正確的事物。

　　讓看不見的得以被看見，讓不可解的問題得以被解決，讓我們學習像數學家一樣思考！

作者簡介

齊斯．德福林Keith Devlin

　　史丹佛大學數學家及該校人文科學與先端科技研究中心（H-STAR）共同創辦人和執行長，也是該校Media X研究計畫創立人之一，以及該校語言資訊研究中心（CSLI）資深研究員，世界經濟論壇院士及美國科學促進協會（American Association for the Advancement of Science）會士。

　　目前他的研究重點是運用各種媒材，向各種各樣的聽眾教授和傳播數學，同時致力於設計情報分析的資訊及推論系統。他的研究興趣還包括訊息理論、推理模式、數學技巧在傳播研究上的應用，以及數學認知等。2003年，以「在數學領域以及數學與邏輯學、語言學間關係的創新研究和長期耕耘」，獲得加州眾議院表揚。在美國國家公共廣播電台主持「數學小子」（Math Guy）節目。

　　著有《數學的語言》（The Language of Mathematics）等書。

譯者簡介

洪萬生

　　美國紐約市立大學（CUNY）博士，主修數學史、科學史，輔修數學哲學、科學哲學。曾任職臺灣師範大學數學系，講授數學（社會）史、數學哲學與HPM（數學史與數學教育之關連）專題，並主持「台灣數學博物館」（science.math.ntnu.edu.tw/museum）網站，透過網路結合科普同好，分享國內外數學普及活動的學術與教育資源，對於推廣數學普及讀物的書寫、出版及閱讀不遺餘力。

黃俊瑋

　　國立臺灣師範大學數學系博士候選人，主修數學史。譯有《數學偵探物語》、《掉進牛奶裡的e和玉米罐頭上的π》等書，並與洪萬生教授等人合著《摺摺稱奇：初登大雅之堂的摺紙數學》。期望透過數學普及閱讀與數學教育之結合，以更加豐富、多元而開放的面向，增進學生的數學思維與數學素養。

蘇惠玉

　　高雄人，國立臺灣師範大學數學系碩士，現任台北市立西松高中數學教師，並擔任《HPM通訊》主編。

陳彥宏

　　國立臺灣師範大學數學系碩士，現任台北市成功高中數學教師。

葉吉海

　　國立臺灣師範大學數學系碩士，現任桃園國立陽明高中數學科教師，喜歡在課堂上將數學有趣的面向與教材結合，讓學生更喜愛高中數學。

導讀 洪萬生

序言

導論：本書之為用

1. 數學是什麼？
1.1 遠超過算術
1.2 數學的符號
1.3 現代大學程度的數學
1.4 為什麼你必須學習這些東西？

2 將語言精確化
2.1 數學述句
2.2 邏輯連詞：且、或以及非
2.3 蘊涵
2.4 量詞

3 證明
3.1 何謂證明？
3.2 反證法
3.3 證明條件句
3.4 證明量化命題
3.5 歸納證明

4 證明有關數字的成果
4.1 整數
4.2 實數
4.3 完備性
4.4 數列

附錄：集合論

索引

導讀

洪萬生

　　這兩三年來，國內出版界對於數學普及面向的關照，已經逐漸脫出數學的「有用」與「有趣」兩個主要面向，而開始注意到數學知識的嚴格論證。以我自己的經驗為例，2010年，當商周編輯請我幫忙審定《社會組也學得好的十堂數學課》時，我當時就覺得意外與驚喜，因為那是一本針對初等數學知識結構，鋪陳得相當嚴謹的普及作品。沒想到2012年，臉譜編輯也請我幫忙審定同一類型的《1, 2, 3和＋－×÷的數學旅行》。現在，這一本《這個問題，你用數學方式想過嗎？》則更嚴肅地強調：從中學數學到大學數學的銜接課程中，嚴密論證訓練的不可或缺。

　　因此，這本可以視為數學普及訴求的著作，在另一方面，也被賦予了數學通識的教材功能。事實上，如果讀者瀏覽本書目錄（共有四章），即可發現作者德福林（Keith Devlin）對「語言精確」和「證明嚴謹」的高度重視。在第2章中，作者花了許多篇幅，詳盡地說明了數學述句、邏輯連詞、蘊涵以及（邏輯）量詞。顯然，作者認為這些單元的精熟，可以幫助吾人「將語言精確化」。而在第3章中，作者則是說明證明的幾種（推論）形式，包括含量詞的命題之證明時必須注意的事項。此外，為了說明數學學習的這兩個基本要求，作者還不惜安排本書第4章，利用整數、實數、完備性與數列四個單元，來「闡釋數學證明的意義」，儘管「本書的重點是一種特殊類型的思維」，而不是特定的數學。

　　不過，這些在數學（系）專業訓練中佔有古典核心的單元，為何值得納入現代大學生的數學通識教材呢？作者以其在企業界擔任數學顧問的身分，特別苦口婆心地指出：企業員工之晉升必須要有數學技能的工作能力。這種技能可以分為兩種類型：擁有第一類型的人能夠提出數學問題，並求得其解；至於擁有第二類型的人，則能夠提出新問題，並按數學方式來形成、識別和描述這些問題的主要面貌，從而得以精確運用數學的敘述去進行分析。在過去，有相當大的需求聘僱具有第一類型技能的人才，而僅有少部分進一步需要第二類型的人才。儘管我們的數學教育過程大多能滿足這兩方面的需求，不過，基本上它總是聚焦在培養第一類型的人才。可是，當今企業公司必須持續創新以保持競爭力，因此，他們對人才的需求已經轉向第二類型--那些能跳出數學框架，而不是身陷其中去思考的人。換言之，在21世紀，較大的需求會是擁有第二類型能力的人才。這種人才，作者提議稱呼他們為「創新的數學思考者」。

　　這種新類型的人才除了基礎數學技能的精熟之外，對於數學知識結構，也被要求必須擁有概念性的理解或思考能力。至於他們即將面對的處境，則正如作者所指出，在這21世紀，除了原有的數學技術之外，時時刻刻都有新的技術被發展出來，因此，要想在K-16年（幼稚園到大學）的教育過程中，涵蓋所有的技術之學習，是完全不可能的。當大學生畢業並進入職場的時候，有許多他們在大學時期學過的特定技術，可能已經不再重要或者遭受淘汰，反而是學校教育中未學過的新技術正當流行，因此，目前教育的焦點必須放在學習如何學習上。而相應地，無論是中學到大學的數學銜接課程（假定高中職數學課程不夠深入），或者是大學的數學通識課程，教學或學習的焦點都必須在計算技能的精熟之外，也兼顧潛在的、基本的概念思考能力。

　　這種基本的數學思維能力之訓練，其實可以強化我們的日常邏輯思維。前一陣子，我在高速公路的一個交流道入口處，發現有一個交通號誌圖示：「大於或等於250cc重型機車不可進入」。這個數學或邏輯上的謬誤或許情有可原，因為此一入口緊鄰一條快速道路的交流道入口，而快速道路允許250cc以上的重型機車行駛。好在目前該交通號誌上的「大於或等於250cc」字樣，已經被白膠布遮蓋，否則行經該處時，我這個「數學人」總是有一種不知從何說起的感覺。無論如何，國中數學簡單的不等式與邏輯連詞（「非」）的結合，即使在與日常生活息息相關的交通法規之說明上，都顯得如此不可或缺。看來，本書作者所期許的現代公民之數學核心素養，果然頗有道理！

　　總之，本書是一本值得精讀的數學普及小書。作者建議：如果在大學數學通識的層次上，將它充當正規的教材使用，則不妨在五至七週內授完。不過，他也希望讀者能夠正面挑戰本書所配備的習題，「慢-慢-來」，而且最好與同學一起思考與解題。這個建議對於那些將本書列為數學普及書籍的讀者來說，也同樣適用。另一方面，中學數學教師也可以在（高三）特色數學選修課程中，將本書列為教材，幫助學生在進入大學之前，統整數學知識結構與邏輯思維，從而強化概念性或結構性的理解。至於國中數學教師，則可推薦本書充當數理資優班的教材，讓學生在一般難題的求解挑戰之外，也可以看到數學的另一個「新的」天地，從而開啟他們的知識獵奇心靈。最後，我還要特別推薦本書第2章，作者將日常語言與邏輯思維的連結，呈現得親切易讀，是同類書寫中的經典，一般科普讀者千萬不要錯過！

（本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授暨本書統籌譯者）