100件你不知道你不知道的事：日常生活裡的數學遊戲，藝術×運動×生物×宇宙×心理學……用數學來了解我們的世界

名人推薦：「約翰•巴羅這本資訊豐富的著作會讓數學的愛恨者都為之著迷。」

――格拉肖（Sheldon Lee Glashow），諾貝爾物理學獎得主

「巴羅與讀者分享了有趣的數學知識……還有哪本書能把數學變成好玩的遊戲，充滿有趣的妙計和橋段。」

――克里斯汀生（Bryce Christensen），《書單》雜誌（Booklist）

「〔關於數學〕很難想到哪本書，比巴羅這本著作介紹得更簡單易懂、更易吸收、更富趣味……甚至讓人捧腹大笑。」

――《每日電訊報》（Daily Telegraph）

「對於那些認為解方程式神祕又有趣的人，這本極具吸引力的書正好讓你一窺專業數學...

◎一支鉛筆可以畫出多長的線？

我們都是天主手中的鉛筆。

──德蕾莎修女（Mother Teresa）



現代鉛筆是1795年孔特（Nicolas-Jacques Conté）發明的，他是在拿破崙的軍隊裡服務的科學家。人們為了書寫而使用的神奇物質是一種純碳形式，我們稱為石墨（graphite）。15世紀初在歐洲巴伐利亞首次發現石墨，不過阿茲特克人在那之前幾百年便用石墨來做記號。一開始石墨被認為是某種形式的鉛，稱為「鉛材」（plumbago）或黑鉛（因此我們稱修護鉛製輸水喉管的人為「鉛管工」），這個誤稱至今仍反映在我們稱「鉛」筆的名稱上。直到1789年，它才被稱為石墨，源自希臘文graphein，意即「去寫」。鉛筆是一個年代更久遠的詞，源自拉丁文pencillus，意即「小尾巴」，指中世紀書寫用的小鵝毛筆。

1564年，在英格蘭湖區（Lake District）靠近凱西克（Keswick）的博羅戴爾（Borrowdale），發現純度最高的塊狀石墨沉積物，這個地區後來發展出相當活絡的走私產業和相關地下經濟。19世紀時，為了善加利用高品質的石墨，凱西克周圍地區發展了大規模的鉛筆製造產業。第一家工廠在1832年創建，坎伯蘭鉛筆公司（Cumberland Pencil Company）才剛慶祝一百七十五週年紀念，不過當地的石墨礦坑早已封閉許久，現在用的石墨都是從斯里蘭卡和其他遙遠地方供應的。坎伯蘭鉛筆有最高的品質，因為它用的石墨不掉屑，寫在紙上的筆跡非常清楚。孔特製造鉛筆的原始流程是將水、黏土和石墨混合後，放進窯裡以華氏1,900度的溫度烘烤，然後將這個得到的軟固體放進周圍都是木頭的容器。形狀可以是正方形、多邊形或圓形，端看鉛筆的用途──木匠不喜歡圓形鉛筆，因為很容易從工作檯滑落。鉛筆成品「鉛芯」的軟硬度，可以藉由在烘烤混合階段調整黏土和石墨的比例來決定。商用鉛筆製造商通常把鉛筆分成二十級，從最軟的9B到最硬的9H，最受歡迎的中間值HB介於H與B中間。H代表「硬」（hard），B代表「黑」（black）。B的數字愈大，石墨留在紙上的量愈多。此外，還有一個F（「細字」〔fine point〕），是用來書寫的硬筆，不是繪畫用。

石墨一項奇特的特性是，它是一種純碳形式，是我們所知最軟的固體之一，也是效果最好的潤滑劑之一，因為六個碳原子連結形成環狀，可以輕易滑過鄰近其他環狀結構。但是，如果原子結構改變，就會成為另一種純碳結晶形式，也就是所知最硬的固體之一：鑽石。

一個有趣的問題是，用一支普通的HB鉛筆畫一條直線，這條線畫多長，鉛芯才會消耗殆盡。用一支軟2B鉛筆在紙上畫線，留在紙上的石墨厚度約為20奈米（1奈米為十億分之一公尺），一個碳原子的直徑是0.14奈米，所以鉛筆畫出的線只有約143個原子厚。筆芯的半徑約1釐米，因此面積為π平方釐米。如果鉛筆長15公分，那麼散落在一條直線上的石墨體積為150π立方釐米。如果我們畫一條厚度為20奈米、寬度為2釐米的線，則鉛芯足以畫出距離L＝150π/4×10-7釐米＝1,178公里。但我還沒測試過這個預估數字！



◎為什麼身體多斑點的動物，尾巴卻是條紋狀？

接著那個衣索比亞人將他的五根手指併攏……然後用力壓遍豹的全身，凡是五根手指碰觸過的地方，都留下五個小小的黑色印記，彼此緊鄰……有時手指不小心滑落，印記變得有點模糊；但如果你近看任何一隻豹，那麼你會發現牠們身上都有五個斑點──來自五個黑色的指印。

――吉普林（Rudyard Kipling），《花豹要學隱身術》（How the Leopard Got His Spots）

動物印記，特別是大型貓科動物，是生物界所見最令人驚歎的事物之一。這些印記的模式絕非隨機產生，也不僅僅是為了需要偽裝而存在。動物胚胎裡有促進或抑制特定色素存在的活化因子和抑制因子，它會遵循一個簡單的法則，決定這些色素在不同位置的濃度，決定因素是化學反應生成的色素數量和色素擴散至皮膚的速率。最後的結果就像訊號的波浪狀傳遞模式，它會活化或抑制不同的色素。這項結果受到幾個因素影響，如動物的體型大小和外形，以及波形的波長。如果你觀察一大片面積的皮膚表面，這些波的波峰和波谷會形成一個有固定規則的網絡，網絡中的高峰和低谷有不同的顏色。消耗抑制因子時出現高峰，所以你會看到很明顯的條紋或斑點，與皮膚底色形成對比。如果在一個特定區域色素達到可能的最高濃度，則隨著濃度增加，最終必定擴散開來，便會出現斑點，最後變成一塊塊色斑或條紋。

動物的體型大小也很重要。體型很小的動物沒有空間，讓活化色素的波足以沿著身體四周產生許多波峰和波谷，所以只會有一個顏色或可能如倉鼠般的混雜色。如果動物體型很大，例如大象，波峰和波谷的數量太龐大，整體便顯現出單色的效果。介於大型與小型之間的動物，型態多樣化得多，包括不同動物之間和一隻動物全身都是。舉例來說，印度豹身體上有很多斑點，但尾巴是條紋狀。當那些波擴散至印度豹大面積、大略呈圓筒形的身體時，產生彼此隔開的波峰和波谷，但當它們擴散至細細的圓柱形尾巴時，波峰和波谷變得相互靠近並融合，形成條紋的樣貌。這種趨向導出一個非常有趣的數學「定理」，可以用來解釋動物身體上的顏色濃度波形的表現方式：身體有斑點的動物，尾巴是條紋狀；但身體是條紋狀的動物，尾巴不會出現斑點。





◎為什麼義大利麵總是斷成不只兩截？

每當我看到Parceline（英國郵政快遞）的廂型車，就會想起肯頓（Miles Kington，英國新聞工作者和音樂家）。因為他決定了一道義大利麵食的名字。

──英格瑞姆斯（Richard Ingrams，英國新聞工作者）



抓住一根又長又容易斷的乾義大利麵條兩端。彎曲麵條，逐漸讓兩端靠近，直到麵條喀嚓斷裂。原來你可能以為，最後麵條會斷成兩截，雙手各握著其中一段。奇怪的是，結果從來不是這樣。義大利麵總是斷成不只兩截。真是奇怪。如果你折斷一片薄木板或塑膠，它一定會斷成兩半。為什麼義大利麵的情況不同？費曼（Richard Feynman）也對這個問題感到困惑，而著名電腦科學家奚力思（Daniel Hillis）在他的自傳中透露了一則故事：

有一次我們一起做義大利麵……如果你拿一根義大利麵，然後折斷它，它總是會斷成三截。為什麼會這樣──為什麼它斷成三截？接下來兩個小時，我們想出一些瘋狂的理論。我們設計了一些實驗，例如在水中折斷麵條，因為我們認為這樣可以抑制聲音和振動。嗯，結果我們花了幾個小時，整個廚房到處都是斷裂的義大利麵，還是沒有找出充分的理論解釋義大利麵為什麼斷成三截。

這個問題的困難度證明超乎預期，不過最近已經出現一些曙光。任何一根易碎的物體，不只是義大利麵，如果被彎曲超過某個臨界量便會斷裂，這個臨界量稱為「斷裂曲率」（rupture curvature）。這一點也不複雜難懂，但接下來發生的事才真正有趣。當物體發生斷裂時，每一部分的一端是懸空的，同時另一端握在你的手中。懸空的一端突然獲得釋放，試圖讓自己打直，並將曲率波（curvature wave）沿著物體的長度回傳到握住固定一端的手。這些曲率波會反射，同時與抵達義大利麵不同位置點的其他曲率波交會。當它們交會時，曲率突然大幅增加，足以使彎曲的麵條再度斷裂。這個新的斷裂形成新的曲率波，使得義大利麵不同位置點更多部分曲率增加，超過臨界量。因此，義大利麵第一次折斷後，會在一個或更多其他地方斷裂。直到不再留有足夠的能量，讓曲率波沿著你還握著的義大利麵傳遞，斷裂才會停止。任何兩端都懸空的片段，就會掉到地上。



◎小黃瓜美學：建築師也瘋狂？！

冷靜自持，泰然自若。

──摩斯（Stephen Moss，BBC自然史單元製作人和賞鳥月刊專欄作家）



倫敦市區最引人注目的現代建築物，是位在聖瑪麗斧街30號（30 St Mary Axe）那棟瑞士再保險公司大樓（Swiss Re Tower），更常聽到的名字是松果（Pine Cone），或直接稱它小黃瓜（Gherkin）。查爾斯王子說這棟大樓就像倫敦臉上冒出的紅腫發炎的疹子。負責設計的佛斯特建築事務所（Foster ＋ Partners）宣稱這是現代的標誌性建築，並因他們富創造性的表現而獲頒2004年英國皇家建築師協會史特靈建築獎（RIBA Stirling Prize）。這棟建築成功地讓瑞士再保險公司聲名大噪，並激發廣泛的辯論，討論希望在倫敦市區傳統的地平線和視線上出現什麼樣的大樓。哎呀，儘管對這棟小黃瓜大樓美學成就的爭辯不曾停歇，但幾乎可以確定的是，這棟大樓並沒有為瑞士再保險公司帶來財務利益。該公司只使用三十四個樓層的前十五樓，其他樓層從未成功出租給另一個單一組織。這不難想見：有能力租下這樣的地方的高知名度企業會認知到，這棟大樓已經完全和瑞士再保險公司劃上等號，其他進駐的企業永遠淪為配角，對於企業名聲完全沒有幫助。因此，把空間分割成較小的單位再出租。

小黃瓜大樓最顯著的特色在於它的「大」──高180公尺──而且建造如此大尺度的高樓會面臨結構和環保問題。今日，工程師可以針對一棟大建築建立複雜精密的電腦模型，藉此研究建築體對風和熱度的反應，自外部持續吸收新鮮空氣的能力，以及對地面路過行人的影響。嘗試調整設計的某個部分，如表面的反射率（reflectivity），會影響其他許多部分──如改變室內溫度和空調條件──只要運用對這棟大樓複雜精密的電腦模擬，就能知道所有帶來的結果。遵循「一次做一件事」的方法來設計一個複雜的結構，如一棟現代建築，不是好事，你必須一次做全部的很多事。

小黃瓜大樓優雅的曲線外形，不只是因為美學要求，或者一群瘋狂的設計師想要令人驚歎、創造話題。這棟大樓呈錐形，地面樓層最窄，然後到第十六樓最凸起，而後逐漸朝頂端再次變窄，這是電腦模型計算出來的結果。

高層建築會把風匯聚灌入建築周圍路面水平的狹窄通道（就像你用手指蓋住部分花園水管的噴口，好讓水噴得更遠──用來緊壓的東西施加的壓力愈大，水流速率愈快），這會對路過行人和使用大樓的人造成可怕的影響。他們會感覺自己彷彿置身風洞裡。建築基座變窄，便能減少這些不必要的風力影響，因為空氣流動被壓縮的情況變少。上半部的錐形同樣有重要功能。如果你站在地面層一棟逐漸變得尖細的傳統辦公大樓旁邊往上看，大樓會讓你覺得自己很渺小，而且它遮蔽了大半天空。錐形設計讓天空更多部分顯現出來，減少建築結構帶來的俯視效果，因為站在地面層大樓旁邊看不見建築頂端。

這棟大樓外形另一項引人注目的特性是，它是圓形的，既非正方形，亦非矩形。這同樣有助於大樓周圍的空氣平順緩慢地流動。這樣的外形通常也可以讓大樓更環保。六個巨大的三角形天井由外而內穿過每一樓層。它們讓光線和自然通風深入建築物的中心，減少對如此慣用的空調設備的需求，讓這棟大樓的能量效能是同規模的典型大樓的兩倍。這些天井不是一樓層一樓層正對著，而是對上一樓層和下一樓層而言都稍微轉動。這可以增加吸收空氣進入室內的效率。六個三角形天井從一樓層到另一樓層稍微偏移，形成外部醒目的螺旋圖樣。

從遠處看著這棟圓形外形的建築物，你可能以為個別的表面嵌板是弧形的──製造起來可能複雜又昂貴──但事實上它們不是。那些嵌板夠小，與距離相較曲率很大，組合平滑的四邊形嵌板就足以呈現弧形的效果。你用的嵌板尺寸愈小，它們愈能呈現弧形的外表面。只要在組合不同嵌板時稍微改變角度方向，便能達到你要的結果。



◎群眾的瘋狂：愈擠愈瘋狂！

未來屬於群眾。

──德里羅（Don Delillo），《毛二世》（Mao II）〔譯註：美國小說家德里羅在其後現代主義作品中描繪一種美國社會道德淪喪現象，一般人沉溺於物質過剩而被空洞的大眾文化和政治麻痺，《毛二世》敘述一位隱居的作家陷入政治暴力的世界〕



如果你曾經身處人海中、在運動賽事現場、流行音樂演唱會裡或參加示威遊行，那麼或許你已經親身體驗或見證了人類集體行為的某些怪象。群眾不是有組織的整體。每個人只是回應旁邊的人的行為，但儘管如此，群眾可以瞬間改變某個大範圍區域內人們的行為，導致災難性的後果。緩慢移動的排隊隊伍可能演變成驚慌失措的推擠，大家都想辦法往四面八方移動。了解這種集體行為的這些動態是很重要的。如果在一大群人附近發生火災或爆炸，人群如何反應？大型體育館的逃生路線和一般出口通道該如何規畫？要如何組織數百萬前往麥加朝聖的信徒，才能避免重演過去因為人群蜂擁而至，過度擁擠而慌亂失措，導致數百名朝聖者喪生的悲劇？

近來關於群眾行為與控制的研究有趣的發現之一是，將群眾的流動類比為液體的流動的論點。一開始你可能認為要了解一群包含不同個人、對於某種情況有各式不同的可能反應、不同年齡、對狀況掌握度不同的人，實在是不太可能的事。但令人驚訝的是，事實並非如此。人們彼此之間的相似度超乎我們可能的想像。原本純然區域性的選擇，可能很快成為某個群眾情境普遍遵循的秩序。當你抵達倫敦一個大型火車總站，前往地下鐵系統，會發現下行的人選擇走樓梯左側（或右側），上行的人則走另一邊。沿著走道到票閘，群眾會自動分成移動方向相反的兩道不同人流。沒有人規畫這一切，或貼上告示要求大家這麼做：這是每個人觀察緊鄰的人，學他們的樣子，形成的結果。這表示他們是根據緊鄰的人如何移動、人群如何愈聚愈多，做出回應採取行動。對於第二個因素的回應，很大部分取決於你的身分。如果你是習慣在尖峰時間搭東京地鐵通勤的日本經理人，對於周遭相互推擠的人群的反應，會和如果你是來自蘇格蘭小島的觀光客或來自羅馬的學生團體，非常不同。如果你正在照料年幼或年長的親人，那麼你會用不同的方式移動，挽著他們，時時留意他們所在的位置。把所有這些變數輸入電腦，電腦就能模擬當人群在各式各樣的空間聚集會發生什麼情況，以及他們如何因應形成的新的壓力。

群眾似乎會出現三階段的行為模式，正如流動的液體。當人群數量不多，而且穩步朝同一個方向移動──就像足球賽後群眾離開溫布利體育館（Wembley Stadium），前往溫布利公園（Wembley Park）地鐵站──如同順暢流動的液體的表現。群眾一直以幾乎相同的速度移動，沒有停頓再開始往前走的情況。

然而，如果群眾中人群密度明顯增加，就會開始相互推擠，並開始朝不同方向移動。整體的移動變得斷斷續續，停停走走，不再是連續滾動的波浪。人群密度逐漸增加，會減緩前進的速度，有人便會試著移往旁邊的方向，因為他們認為這樣可能可以加快前進的速度。這和開車時在車多擁擠、移動速度緩慢的車道，想轉換車道的心理一模一樣。在這兩種情況下，漣漪效應開始在擁塞的人群和車陣中擴散，由此減緩某些人的速度，有些人移到一旁，好讓你加入。那些斷斷續續的波浪起伏在人群中散開。它們本身不必然是危險的，但它們的出現預示了可能突然發生某種更危險得多的情況。

當群眾裡的人距離愈靠愈近，他們的行動會開始愈趨混亂，就像流動的液體變得洶湧，人們想朝四方移動，以便找到空間。他們推擠身邊的人，而且愈來愈用力，試圖創造出一點個人空間。如此一來，人們更容易跌倒，更容易變得彼此非常靠近地推擠在一起，造成呼吸困難，或小孩與父母走失。群眾人數眾多時，這些效應可能從不同位置開始發生，而產生的效應迅速蔓延開來。情況急速如滾雪球般失去控制。跌倒的人成了讓其他人跌倒的阻礙。任何有幽閉恐慌症的人很快驚慌失措，甚至更激烈地推擠身旁的人群。除非出現某種有組織的介入行動，將群眾相互區隔成不同區塊，降低人數密度，否則災難一觸即發。

從平順的行人流動到斷續的移動，再到群眾混亂，這項轉變只需要幾分鐘到半小時，端視群眾人數而定。我們不可能預測在一個特定群眾中是否及何時會發生危機，但可以藉由監控大規模行為，觀察出在眾多人群不同位置發生的斷續移動的轉變，採取行動，針對引發轉變、導致混亂的關鍵壓力點，減緩擁擠程度。

◎一支鉛筆可以畫出多長的線？

我們都是天主手中的鉛筆。

──德蕾莎修女（Mother Teresa）



現代鉛筆是1795年孔特（Nicolas-Jacques Conté）發明的，他是在拿破崙的軍隊裡服務的科學家。人們為了書寫而使用的神奇物質是一種純碳形式，我們稱為石墨（graphite）。15世紀初在歐洲巴伐利亞首次發現石墨，不過阿茲特克人在那之前幾百年便用石墨來做記號。一開始石墨被認為是某種形式的鉛，稱為「鉛材」（plumbago）或黑鉛（因此我們稱修護鉛製輸水喉管的人為「鉛管工」），這個誤稱至今仍反映在我們稱「鉛」筆的名稱上。直到1789年，它才...

序言

1 電塔是三角形的神聖圖騰？
2 為什麼走鋼索要拿著長竿？
3 猴子也能成為莎士比亞？
4 我們懂的字和莎士比亞一樣多？
5 用相對論來打橄欖球，行得通嗎？
6 超速照相機拍到的速度是前進速度的兩倍？
7 數學讓生活更簡單！
8 為什麼另一排總是動得比較快？
9 三人行不行？用牛頓重力理論解答就行！
10 這世界真小！
11 彌補落差：連伽利略都錯了的事！
12 要買多少張卡片才能蒐集到完整的球員卡？
13 用直線和對角線來數數？
14 你喜歡她，她喜歡他，他不喜歡你……
15 如何用數學來賭馬？
16 重心愈低，跳得愈高？
17 表面積愈大愈好？
18 在無限久遠的未來，加值營業稅率會是多少？
19 我們生活在模擬情境中？
20 突現：個別元素的總和≠整體？
21 如何把一輛車推進車庫？
22 你愈來愈熱，我愈來愈冷？
23 醉漢走路路遙遙？
24 統計的迷思：隨機還是偽造？
25 平均數的缺陷：你贏我也沒輸！
26 宇宙摺紙術：對半切割紙片一百一十四次……
27 簡單的問題很困難，困難的問題很簡單？
28 這是破紀錄嗎？
29 樂透可以DIY？
30 三根菸斗成難題？
31 灰塵為什麼是致命物質？
32 選祕書？用數學來挑就對了！
33 公平的離婚協議：雙贏其實並不難？
34 快樂報酬：兩人同一天生日的機率有多高？
35 為什麼三個葉片的風車比四個葉片好？
36 口語戲法：另外1英鎊到哪裡去了？
37 時間旅人如何理財投資？
38 如何組合不同面額的錢幣才是最佳策略？
39 小心平均先生和平均小姐！
40 事物可以存在多久？
41 喜歡三角形甚於五角形的總統！
42 破解口袋裡的密碼！
43 我很會記名字！
44 算術可以讓你長壽？
45 如何衡量鳥類或魚類俯衝時不同動作的速度？
46 數字定義了我們的人生？
47 需要多久時間，你的儲蓄才會加倍？
48 如何讓鏡中的影像上下顛倒？
49 福爾摩斯的對手是最惡名昭彰的數學家？
50 雲霄飛車與高速公路交流道有什麼關係？
51 量身訂做的炸彈？
52 請用走的，不要用跑的！
53 讀心術詭計：如何用數學看穿你的心？
54 騙子星球：說真的還是假的？
55 怎樣買樂透一定贏？
56 不可思議的足球賽：踢進自家球門才晉級？！
57 如何用減法來造物？
58 哪個數字最好用？
59 贏多少才算贏？
60 第一名變最後一名，最後一名成了第一名？
61 無中如何生有？
62 可能性的競賽：如何選到你要的選項？
63 鐘擺擺盪：物理學家的邏輯優於本能？
64 方形輪子的腳踏車可以騎嗎？
65 一間藝廊需要多少警衛？
66 如果是監獄呢……需要多少警衛？
67 用幾何學玩斯諾克？
68 你有多少兄弟姐妹？
69 有偏差的硬幣，得到沒有偏差的公平結果？
70 同義重複的驚奇！
71 數學拯救了太空災難？
72 打包行李也有最佳策略？
73 如何把東西裝進最少數量的箱子裡？
74 老虎！老虎！你到底能跳多高？
75 為什麼身體多斑點的動物，尾巴卻是條紋狀？
76 群眾的瘋狂：愈擠愈瘋狂！
77 鑽石鑽石亮晶晶，告訴我你為什麼那麼美麗？
78 機器人轉圈圈？
79 轉個彎想，答案就來？
80 在加勒比海Google！矩陣力量大？
81 為什麼掉錢的不快樂，大於撿到錢的快樂？
82 一支鉛筆可以畫出多長的線？
83 為什麼義大利麵總是斷成不只兩截？
84 小黃瓜美學：建築師也瘋狂？
85 用價格指數來決定吃牛肉還是吃魚？
86 無所不知反而是絆腳石？
87 為什麼人不能更聰明一點？
88 來自地下的人不迷路？
89 沒有無趣的數字？
90 用數學來隱姓埋名，怎麼做到的？
91 滑冰矛盾：不相干的事竟決定了成敗？
92 2的法則可以解答無限的祕密？
93 數學可以打破種族藩籬？
94 不順其自然也行？
95 可能性大集合！
96 無理好處多？
97 奇怪的公式：美學也可以用數學算出來？
98 混沌是科學的終點？
99 原來後排座位的旅客先登機根本沒道理？
100 一百人的地球村是什麼樣子？

註釋

序言

1 電塔是三角形的神聖圖騰？
2 為什麼走鋼索要拿著長竿？
3 猴子也能成為莎士比亞？
4 我們懂的字和莎士比亞一樣多？
5 用相對論來打橄欖球，行得通嗎？
6 超速照相機拍到的速度是前進速度的兩倍？
7 數學讓生活更簡單！
8 為什麼另一排總是動得比較快？
9 三人行不行？用牛頓重力理論解答就行！
10 這世界真小！
11 彌補落差：連伽利略都錯了的事！
12 要買多少張卡片才能蒐集到完整的球員卡？
13 用直線和對角線來數數？
14 你喜歡她，她喜歡他，他不喜歡你……
15 如何用數學來賭馬？
16 重心愈低，跳...