藝數摺學：18堂從2D到3D的「摺紙數學課」，讓幾何從抽象變具體，發現數學的實用、趣味與美(對應108十二年國教新課綱)

推薦序
自序
基本的摺紙記號

｜主題一：鑲嵌與對稱
第一章　摺紙數學初體驗──從鑲嵌摺紙談對稱的應用
第二章　用名片紙摺出立方體──兼談「三視圖」和對稱

【藝數摺學手作坊】從翻摺看對稱──挑戰內外翻摺紙環！

｜主題二：勾股定理
第三章　發揮數學的創意──從摺紙學畢氏定理
第四章　從平面到立體──勾股收納盒中盒

【藝數摺學手作坊】黃金勾股收納盒

｜主題三：四面體、八面體到截半立方體
第五章　從會考試題談起──正四面體摺紙
第六章　從正四面體到正八面體──兼談四面體切割
第七章　從正四面體切割到截半立方體──初探紙環編
第八章　用撲克牌做出截半立方體──兼談對偶正多面體

【藝數摺學手作坊】色紙卡接截半立方體

｜主題四：平行八角星
第九章　來個動感摺紙！──平行八角星探索

【藝數摺學手作坊】平行八角星再應用──立體八角星與多次預言魔術

｜主題五：影印紙的立體應用
第十章　善用生活中的巧妙比例──從四角錐到填充八面體
第十一章　影印紙比例再應用──藝數摺學立方體

【藝數摺學手作坊】從等腰三角形貝殼螺線學相似

｜主題六：相似與內心
第十二章　無止境的相似──百轉千摺
第十三章　來摺三角板吧！──兼談三角形內心

後記與誌謝

推薦序──讚賞「藝數」，光大「摺學」

李國偉（中央研究院數學所兼任研究員、國立中山大學榮譽講座）

《藝數摺學》這個書名起得有智慧。如果把四個字分開：藝、數、摺、學，表示內容包含藝術、數學、摺紙、教學。如果兩個字一組，就引入了兩個新名詞：「藝數」與「摺學」。「藝數」包含的範圍至少有：（1）以藝術手法展示數學內容；（2）受數學思想或成果啟發的藝術；（3）數學家創作的藝術。近年來摺紙藝術水平大幅提昇，早就超越傳統童玩的範圍。在理論研究方面涉及愈來愈多的現代數學與計算機科學，在應用方面則進軍航太、醫技、服裝、機器人多種領域，影響層面之廣闊足以構成一門新學問「摺學」。至於「藝數摺學」四字合體，正是本書作者李政憲老師用心經營的臉書社團名稱。
政憲老師有旺盛的精力、充沛的熱情，以及強烈的使命感，風塵僕僕在全國各地奔走，既輔導學生學習，也帶領教師在職進修，並且頻頻現身於各種社會科普活動，2019年獲頒師鐸獎可謂實至名歸。政憲老師經由「藝數摺學」社團，聚集了很多願意奉獻、有行動力的老師，促成摺紙活動到處開花。「藝數摺學」社團成員已經超出九千，便是驚人的紀錄。

本書的摺紙單元能與國中數學課程對應起來，與坊間一般摺紙書旨趣略異。引導學生動手做摺紙，可以加深對於幾何的認識與理解。幾何學是人類因認識空間性質而建立的學問，傳統上都奉希臘先聖歐幾里得的《幾何原本》為圭臬。雖然《幾何原本》建立的公理方法，成為組織精確知識的楷模，但是對於大多數人而言，這套相當抽象的系統容易造成學習的障礙。而摺紙活動正能讓抽象的數學觀念具體化，而且方便學生操作把玩，有利於建立空間概念的直覺。這種直覺在解決學校考題之外，更重要的是能增強生活的技能，以及品味空間帶來的美感。

紙隨處可得，只需動動靈巧的手，結果就千變萬化。預祝政憲老師以這本精采的《藝數摺學》為開端，持續開發與課程對應的摺紙教材，輔導大家讚賞「藝數」，並且發揚光大「摺學」。

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推薦序——動手摺紙、體現數學、洞察數學

林福來（國立臺灣師範大學名譽教授、國立臺灣師範大學數學教育中心）

「動手做」，少；「公式、定理」，抽象，難！
年年如此，代代依然。這是多少國中生數理科的痛！

但翻轉的機會來了！
《藝數摺學》這本書，就將有感地引導我們體現數學，洞察數學！

於國中任教的師鐸獎名師李政憲，針對國中數學涉及的重要概念與定理；對稱、平行、比例、根號、因數、被數、等比、一元二次方程式、畢氏定理、相似性質、三角形的心等等，將它們融入摺紙活動，提供讀者體現數學的機會，並享受應用數學製作藝品的喜悅！

以畢氏定理這主題為例，通常圖像式的有感教學方式有兩種，一種是畫一個正方形邊長為直角三角形的兩股和a+b，以其四個頂點為直角頂作四個直角三角形，此時原正方形被分割成四個直角三角形及一個以斜邊c為邊長的正方形。配合面積關係的平方公式，可導出畢氏定理。這方式學生不會直接從圖上看到+ = 。另一種方式，是在上述的原正方形第一次分割後，保留，再對原正方形作第二次分割，成兩個正方形 及兩個矩形ab。比較兩次分割的圖形，根據等量公理，學生直接看見 + = 。這兩種常見方式，都可用摺紙進行圖形的分割作業。但一般摺紙的作用，僅有將圖像學習轉換成操作式的動作學習，沒有功能上的延伸性。

但在《藝數摺學》這本書中設計的摺紙活動，除了同樣可以具體感受畢氏定理的不變性外，更引導讀者從一張正方形紙開始，造一個形內有四個直角三角形，且以直角三角形斜邊為邊長的正方形。方法是在原正方形一頂點處造第一個直角三角形，並將其向內摺疊，接下來當然是要在其他三個頂點處對稱的複製三個。此時，摺紙複製問題變成了造全等三角形的數學問題，需要根據全等三角形性質來思考怎麼摺可以恰好複製，學習手、腦交錯進行。這個過程將摺紙動作與數學思考整合在一起，使得摺紙活動不僅僅是勞作，而是體現數學的「具體操作、引動思考」的有感、有想的過程。過程中，「如何摺可以複製」，先被轉換成數學問題，再根據數學定理以決定摺的動作，這就是一種「動手做、有感體現數學、洞察數學」的學習過程，後面更可奠立在此基礎上，進而發展設計出「黃金勾股收納盒」等藝術品。

各位家長、老師、同學們，跟著李政憲老師「動手摺紙、體現數學、洞察數學」，幾趟有感的學習歷程下來，可以製作很多藝術品當伴手禮，更重要的未來的設計家、工程師就是你！

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推薦序──匠心獨具之「藝數」創作

洪萬生（國立臺灣師範大學數學系退休教授、臺灣數學史教育學會理事長）

在過去三十年間，摺紙從一種民俗的休閒遊藝，逐漸發展成為數學教師、數學家、摺紙達人，以及藝術家爭相投入的一種創作活動。其中，相關數學原理的提點或引入，是這個知識／實作活動最令人矚目的焦點。多年前，我就曾經指出摺紙之於數學教學，是對制式教育思維的一種衝擊與挑戰。現在，拜108課綱之賜，摺紙教學終於可以昂然地登堂入室了。

        從「專業的」數學課綱內容來說，將摺紙活動引進正規的教學現場，當然可能對學生（乃至家長）造成一種「創造性」的「混淆」。所以產生混淆，可能是因為它不像傳統的數學課，只是些機械的、制式的解題。至於創造性呢，則是由於當我們刻意將課堂上制式的數學實作（mathematical practice）之「界線」模糊掉，亦即，只要跟數學沾得到一點關係的認知活動，我們都在所歡迎，那麼，藉由（比如說）摺紙教學，我們可以與學生分享的數學之「內涵」（譬如以落實108課綱精神為導向），就遠非傳統的制式內容及其教學所能望其項背了。

        因此，從新課綱的素養導向來看，李政憲老師的《藝數摺學》的確是適時出現的參考用書。本書固然有許多作者的匠心獨具之「藝數」創作，然而，它不同於一般摺紙達人的著作，本書始終以實作提醒讀者：摺紙外型所以漂亮、結構所以堅固，都是因為數學原理蘊藏其中。事實上，在本書中，政憲老師就向我們DEMO他如何使用或展示諸如線對稱概念、畢氏定理、相似三角形概念、三角形邊角關係、立體圖形、尤（歐）拉公式、多面體對偶關係、平行四邊形、因數與倍數概念、斜率，乃至於三角形的三心等等，真是琳瑯滿目，「美」不勝收。

        無論你是喜歡理解摺紙中的數學，或只是單純地喜歡好玩的摺紙，本書都是不可多得的參考讀物。我非常樂意推薦本書，希望你也會喜歡！

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推薦序——見證一位熱情第一線教師的成果

游森棚（國立臺灣師範大學數學系教授）

我從小蒐集各國摺紙書，到現在書架上已累積數百本，對於摺紙（Origami）的廣度只能用「瞠目結舌」四個字來形容。摺紙理論、摺紙與各科學領域的關聯、摺紙與科技工業的結合，都已是學界關注的主題，國際上每年更有舉辦摺紙科學的年會。

摺紙雖只靠「一張紙，一雙手」，然而每條折線，每一塊紙面，每個夾角，都是數學。站在數學的角度來看，最迷人的是摺紙與數學的關係。摺紙與數學的書籍坊間已經出版了不少，從簡單到深入，若干書籍也已經有中文翻譯。所以，讀者手上這本書有什麼特別呢？

首先，這本書可能是台灣第一本「出自本土」的，結合數學與摺紙的書；第二，書中的材料不少是第一次在台灣出版，其中更有作者自己設計的材料；最後，作者政憲老師任教於國中多年，這本書中的教案難易適中，寓教於樂，把摺紙與中學數學中許多題材無形融入其中，是不可多得的資料。

政憲老師這幾年已然成為國內知名的摺紙教師，從南到北在各地常看到他演講的身影，網路上的群組也吸引了不少忠實粉絲。多年前，他對摺紙的熱情就已經強到自己找廠商印製特殊的紙，經過這些年來的持續精進，更吸收了大量來自中國、日本與歐美的相關摺紙材料，結合自己的心得，設計出一套又一套獨特而新穎的教案。他努力結合摺紙與數學，傳教士般的熱情令我嘆服。

書中有一些作品屬於「模組摺紙」（Modular Origami）的範疇，亦即用一些相同的小單位拼成漂亮的成品。如第八章用撲克牌做出截半立方體，第九章的平行八角星等，模組摺紙把單獨的散片聚在一起，幻化出神奇的成果。這與合唱一樣，多個單獨的聲音合在一起可以成為天籟。特別這樣提是有道理的，因為我與政憲老師的相識與數學完全無關——他是我擔任師大合唱團指揮時的男高音團員！

時值十二年國教施行的當口，課綱讓第一線教師有非常大的發揮空間。我相信這本書的出版，可以提供第一線數學教師一些可以實地操作、而且效果奇佳的補充材料。欣見這本書的出版，見證一位熱情的第一線教師的成果，也更期待下一本書！
 
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推薦序──感受摺紙專家的熱情

賴以威（臺師大電機系助理教授、數感實驗室創辦人、臉譜「數感書系」特約主編）

曾有人說過，對創作者來說最大的肯定，就是他「偷走」了某個詞。當你講到那個詞時，你會想到的不只是詞原本的意義，還會立刻想起某個人。例如說到魔法，你可能會想到J.K羅琳，說到白鴿會想到吳宇森。在台灣，至少在台灣教育界，說到「摺紙」，我們會立刻想到李政憲老師（另一位也會浮現在腦海的是師大附中的彭良禎老師）。

        我跟政憲老師是在某一次科教館的活動中見面，在那之前我早就聽聞他結合摺紙與數學的種種事蹟。我是個手上功夫很拙劣的人，很早就放棄美術，有時候還會用電玩裡面，每個人都會有固定點數的想法來安慰自己，我一定是把點數都放在學科上了，所以美術才會這麼差勁啊。政憲老師粉碎了我這個自我安慰的說法。他同時精通藝術與數學。那次見面時，我排在他的下一場活動，我提早到場，只見全場反應熱絡，大家像在上美勞課，可是政憲老師口中說出來的又都是數學名詞。走近一瞧，多數同學都能按照老師的引導，摺出精巧的作品。事隔很久我聽到另一句名言：

數學是要讓一般人，也能做到天才才能做的事。

當然摺紙距離所謂的天才還很遙遠，可是你會發現，政憲老師正是運用數學精準描述的特質，讓每一位學生都能摺出他設定的作品，恰恰落實了剛剛那句格言。

這本書收錄了很多政憲老師自創、或是與他人合作共創的摺紙作品，對老師來說「摺紙教案」或許更精準些，因為每一篇文章裡都有豐富的教學引導。我覺得這是另一個了不起的地方，我自己寫作，深感創作是一件不容易的事情；要創作出有創意的作品，那更需要相當程度的投入；要持續創作出有創意的作品，是職業級的專家才能達到。政憲老師在數學摺紙教育這個領域，就是職業級的專家。他產出質量俱佳的摺紙作品。更了不起的是，他帶著他的熱情，四處演講、舉辦工作坊。我們舉辦兩屆的數感嘉年華，你都可以看到政憲老師的攤位，永遠是最熱鬧的區域之一，政憲老師爽朗的聲音從一群大朋友、小朋友中間傳出來。如果你曾參加過政憲老師的研習，那你讀這本書時，或許會彷彿聽見政憲老師的聲音；如果你還沒參加過，那更該趕快打開這本書，體驗一下這位讓「摺紙」在台灣教育界成為顯學的重要推手的專業、熱情與魅力。

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推薦序──用摺紙玩數學，用數學玩摺紙

賴禎祥（臺灣紙藝大師、2016年奇美博物館「紙上奇蹟」全球特展唯一獲邀臺灣藝術家）

承蒙李政憲老師的厚愛，為《藝數摺學》一書撰寫推薦文，深感榮幸。李老師對數學摺紙不遺餘力，結合數學老師共備資訊，組成「藝數摺學」社團，現在人數已達九千多人，可喜可賀。今年又榮獲教師界之最高榮譽「師鐸獎」，實在是實至名歸，讓人尊敬的一位老師。

李老師的《藝數摺學》一書內容豐富，讓讀者同時體驗摺紙與數學的樂趣，也是所有數學老師課堂上必備的指標之書，讓數學老師與學生互動有所依據，實在是感恩之舉。在摺紙過程中教數學，使得學生對數學產生更高的興趣，上課也比較活潑生動，何樂而不為？

其實一張標準且等距的正方形紙張就是一把尺，它具備了對邊、對角、對數、對稱、等差、等比、等腰、等距的對等關係，能做出三角函數的任一形狀，圓規能夠畫出的圖形，也可以用正方形紙張來證明。摺紙真是一門不用筆不用尺的數學科目，說不完也研不盡。

就讓我們跟著李老師，一起用摺紙來玩數學，用數學來玩摺紙！