無限小：一個危險的數學理論如何形塑現代世界

名人推薦：〈專文推薦〉新想法的成功之道──有智慧、有策略地說服舊秩序歷史評論家／公孫策

萬物皆由無限小的成分（粒子）構成，這是現代人的常識，不會有人覺得奇怪，更不會有人認為難以接受。

可是，「無限小」這個數學觀念，差一點就被威權扼殺了。而你無法想像，如果沒有「無限小」這個觀念，人類文明會停滯在哪個階段！

所以，這本書講的是歷史，而不是數學。說得更明確一些，這本書告訴我們，科學家不能永遠屈服於威權之下，可是他們除了勇於堅持、勇於抗拒威權之外，仍必須有智慧、有技術（甚至謀略）的進行說服——殺身成仁絕...

〈前言〉出國的大臣1

1663年冬，法國大臣山謬．索必耶（Samuel Sorbiére） 出席了新成立的科學組織皇家學會（the Royal Society of London）舉辦的一場會議。

根據學會優秀的秘書亨利．奧登柏格（Henry Oldenburg）的說法，他和索必耶在議會黨與保皇黨戰爭（the civil war） 的黑暗時期就已是朋友，當時國王被逐出英國，將宮廷設於巴黎。查理二世重新在倫敦登上王座的三年後的現在，奧登柏格驕傲地在自己真正的家鄉招待老友，並與他分享皇家學會那些令人振奮的新研究。接下來的三個月，索必耶在英國土地上旅行，與政治領導人物、重要知識權威見面，甚至謁見了英王。這段期間，這位熱愛交際的法國人，把皇家學會當成了自己的家，不但參與學會的會議，還與會員交流。至於學會會員，也對他極為禮遇，並授與他最高的榮譽：讓他成為皇家學會的一員。

索必耶是否有資格接受這份榮耀的爭議不斷。儘管他在當代是位著名的醫生，並多少稱得上是個學者，但他自認不是個有原創性的思想家。根據他自己的說法，在「論戰」中，他是個「號角手」，而非「軍士」，換言之，他並非推廣自己想法的人，只是藉由自己廣大的人脈以及通信，大肆宣傳其他人的獨創發明。他的人脈確實令人印象深刻，其中包括了好幾位法國最偉大的傑出人物，還有義大利、荷蘭共和國（Dutch Republic）與英國的哲學家與科學家。時至今日，我們也常會在學識圈見到像索必耶這樣交遊廣闊的人，卻未必需要對他如此禮遇。只不過對招待他的主人而言，需要掛心的不只是索必耶的至交情誼，還有他是湯瑪斯．霍布斯（Thomas Hobbes）法文翻譯的身分；在學會會員的眼中，湯瑪斯．霍布斯是個威脅到宗教與國家的危險顛覆分子。

皇家學會的當權者寧可漠視這些不當作法，邀請索必耶進入他們的圈子，理由其實很簡單：他是明日之星。索必耶在被放逐至荷蘭生活了好幾年後，於1650 年回到法國；四年後，他放棄了自己的新教信仰，皈依天主教。有鑑於當時新教在法國的地位愈來愈不穩定，索必耶的這個決定很睿智。索必耶歸附在路易十四第一內務大臣（chief minister）馬薩林樞機主教（Cardinal Mazarin）的門下，並獲准成為法王親信。索必耶被授予一筆年金且得到了皇家史官頭銜後，想要利用自己高階大臣的影響力，在法國成立一個科學學會。他的英國之旅，其實有部分目的是為了研究皇家學會，確認回國後設立類似組織時可否借鏡皇家學會的模式。初出茅廬的皇家學會顯貴，一直都在尋找贊助者與庇護者，因此索必耶這位來自路易十四顯赫宮廷的使者，理所當然受到極高的禮遇。

如果奧登柏格與學會同僚期待自己如此禮遇索必耶能獲得回報，那麼很快就要大失所望。索必耶回國後，不出幾個月就發表了一份他在英國的經歷紀要，文中對這個他新近拜訪的國家，幾乎毫無感激之意，令他的前東道主大為驚愕。在索必耶眼裡，英國因為過多的宗教自由與過度的「共和政體精神」，正在飽受折磨，國教與皇家威信也因此受到損害。索必耶寫道，在英國多如江鯽的教派中，官方的英國國教可能是最好的一個，因為這個教派的「神職階級制度不但鼓勵人敬重高於自己的最高權威者，也是君主政體的支持之力。」 可惜其他如長老、獨立、桂格、索奇尼、門諾等教派—全是過度寬容下的「有害」結果，在和平的國度沒有任何地位。

平心而論，索必耶其實也有慷慨讚美皇家學會，在提及學會會堂中進行的實驗，以及會員辯論時談吐舉止的得體，全都語帶讚揚。他甚至預測「皇家學會的先進計畫，若不是因為各種不同的因素結束」，「我們必定會看到大家全都由衷讚佩這樣優秀學習組織的一個世界。」可惜索必耶這份遊歷紀要的詳細內容，完全稱不上恭維。他聲稱皇家學會的會員因笛卡兒與伽桑狄（Gassendi）兩位法國哲學家而分裂，而這個言論同時觸怒了英國忠貞愛國與堅守原則的兩大派人士，因為皇家學會一直以謹遵自然、不觸及任何系統化哲學自傲。除此之外，索必耶在紀要中還寫道他只了解法則的形式，對其他幾乎一無所知，而且「對文獻完全沒有認識」。這樣的描述，侮辱了學會的贊助人查理二世時期的英國大法官克拉倫登伯爵（Earl of Clarendon）。

至於牛津的數學家約翰．瓦里斯（John Wallis），也是學會創始人兼學會中最具影響力的重量級人物之一，索必耶這樣寫：這個人的出現總是讓人想捧腹大笑，他的口臭也讓「對談時毒氣四溢」 。根據索必耶所寫，瓦里斯唯一的願望就是藉由「倫敦宮廷的氣氛」得到淨化。不過提到令學會頭痛的人物，同時也是瓦里斯個人仇敵的湯瑪斯．霍布斯，索必耶就只剩下讚頌了。他寫著，儘管霍布斯自小即接受新教的教化，但他優雅又「英勇」，是「皇室王者」之友 。更有甚者，索必耶

聲稱霍布斯是已過世的英國大法官與新科學先知培根爵士（Sir Francis Bacon）這位知名人士的真正繼承者。這個消息在皇家學會重要人物的眼中簡直罪無可逭。培根廣受學會尊敬，是學會的指引之神，而且也是學會實際上的守護神。把培根的光環罩在霍布斯身上，真的是孰不可忍。一如學會的歷史學家湯瑪斯．史伯瑞特在一份徹底反駁索必耶的文章中寫道，霍布斯與培根就如同「聖喬治 與馬車夫」那般天差地別。4英國這位東道主認定了索必耶的忘恩負義，他最後為此付出了慘痛的代價。他或許可以不在意史伯瑞特遠自倫敦傳來的惡言侮辱，卻無法忽視巴黎宮廷中不愉快的分歧意見。法國當時與英國站在同一陣線，一起在戰爭中抵禦荷蘭共和國，因此法王路易十四對於麾下朝臣製造出有力盟友與自己之間的外交摩擦，深表不悅。他很快撤掉了索必耶皇室歷史學家的身分，並將他逐出宮廷。驅逐令雖然在幾個月後撤銷，但對索必耶來說，一切已人事全非。他不斷試圖討好國王，始終沒有成功，結果他轉向羅馬尋求教宗的保護。索必耶於1670 年辭世，死前一直沒有重新拾回他在英國之行前的地位與聲望。

儘管從索必耶的前程大業看來，《英國紀行》出現的時間實在糟透了，但在許多方面，他的見解卻透露出了大家認為他這種地位的人應該有的看法。畢竟，他是路易十四的大臣，而法國絕對君權的建立，又以路易十四功勞最大。他的治理哲學充分涵蓋在他那句（很可能為誤傳的）「朕即國家」（L’etat c’est moi）的名句中。1660年代，路易快速將國家權力集中於國王手中，並穩健邁向建立單一宗教的國家之途，這個過程在1685年新教的胡格諾教徒（the Protestant Huguenots）遭到驅逐後畫下句點。如果法國宮廷的野心是要建立「一王、一法、一信仰」（un roi, une loi, une foi）的國家，那麼索必耶在英國當然看不到任何這種跡象。英國人雖然大力抑制真正的天主教信仰，卻無法用他們自己的宗教將天主教取而代之。不勝枚舉的教派侵蝕了已經建立起來的國教基礎，也因此對王權造成了損傷。內戰期間，那些以行動支持危險共和政體的大人物，如今都在教會與國家中，坐上了令人敬重的位子，而霍布斯這個以支持「國王」為人生哲學的堅貞保皇分子卻遭到了排擠。5

說起英國人的個人禮儀，也好不到哪裡去。在法國，宮廷社會中的地位，是所有迫切想要出名的男女最高的社會與政治渴望。這個上流社會的成員，以他們時尚的穿著和優雅的舉止著稱，言行衣飾的設計，全是為了與眾不同，建立起社會優越性。然而招待索必耶的那些英國人士，全無接納法國規矩的意願。其中一些高貴的貴族—包括皇家學會的會長布朗克爵士（Lord Brouncker）與出身貴族的羅柏．波以耳（Robert Boyle），教養的確堪比任何一位法國大臣，但是其他人卻沒有這樣的涵養。但就像瓦里斯事件一樣清楚可見的是，缺乏宮廷高度的優雅，並不會讓人在最崇高的學識圈失去受人敬重的資格。霍布斯與此相反，他一輩子都是貴族世家的一員，習於貴族禮儀，所以深得索必耶之心。索必耶藉由嘲弄瓦里斯與讚美霍布斯，不僅表達了個人的感受，也批評了英國社會缺乏宮廷教養，同時還為英國宮廷並未如法國般樹立起國家文化風氣的事實，表示惋惜。一旦底層人民與高層貴族來往交際，如瓦里斯這種鄉巴佬獲准進入上流社會，宮廷與國王怎麼有希望建立起自己的權威？太陽王（le Roi Soleil）的宮廷絕對不會允許這樣的交流，但這樣的交流也正好證實了索必耶認為危險的「共和政體精神」，正隱藏在英國社會表層之下的想法。

在索必耶眼中，霍布斯是文化人的楷模：舉止優雅，結交或來往的都是皇土之上的偉大人物、秉性堅貞的皇家子民，同時又是位倡導支持王權（索必耶如此認為）的哲學家。瓦里斯則完全相反：舉止粗野蠢笨，是個曾向自己國王宣戰的前議會派分子，還被復辟君王授予不配得到的地位。難怪在瓦里斯與霍布斯長期的論戰中，法國的君主主義者全都支持霍布斯。

然而索必耶在闡述瓦里斯與霍布斯的爭辯時，並沒有對兩人政治或宗教的差異著墨太多，反而完全把焦點放在其他議題上：「這場論戰，」索必耶如此解釋，「是關於數學家的不可分量線之爭，這純粹是個怪異荒誕且完全不知所云的議題。」 對索必耶而言，整件事簡單來說，就是：瓦里斯接受數學不可分量的概念；霍布斯（還有同一陣線的索必耶）不接受。而這就是兩人之間的差異。6

一名政論作家在評論外國組織時，把重點放在隱晦不明的數學概念上，這種作法對今天的我們來說，不僅令人訝異，更讓人感覺莫名其妙。高等數學的概念在我們眼中是如此抽象卻又放諸四海皆準，因此不可能跟文化或政治生活有任何關係。那屬於受過高度訓練專家的範疇，與現代的文化評論家甚至沒有任何交集，遑論政客。然而在早期的現代世界，情況並非如此，因為索必耶絕非唯一一個關心無限小的非數學家。事實上，在索必耶那個年代，隸屬不同宗教或政治陣營的歐洲思想家與知識分子，都曾奮力運作，試圖從哲學與科學的角度壓制與消滅不可分量的理論。霍布斯與瓦里斯在英國因為不可分量線而論戰不休的那幾年，耶穌會也在天主教國度領軍進行對抗無限小的宣傳戰爭。在法國，霍布斯的友人笛卡兒剛開始還對無限小表現出興趣，後來卻改變了心意，最後在他包羅萬象的哲學領域中，全面封殺了無限小的概念。即使到了1730 年代，英國國教高派教會的主教喬治．柏克萊（George Berkeley）依然嘲弄數學家運用無限小的概念，他還稱這些數學物件（mathematical object） 為「消失量的亡魂」。聯合對抗這些反對者的陣營中，有些是當代最知名的數學家與哲學家，他們全都擁護無限小的運用。除了瓦里斯外，這些人包括伽利略與他的支持者、納德．雷．波維爾．德．豐騰內爾（Bernard Le Bovier de Fontenelle）與艾塞克．牛頓。

為什麼這些早期現代世界最有頭腦的人士要為了無限小而激戰？因為這不僅是個難以理解的數學概念，還有太多東西因為這個概念面臨威脅：這場戰事其實是為了現代世界的樣貌而爭。兩個陣營在無限小這件事上彼此對立。一邊是要擴大階級與體制的勢力—耶穌會、霍布斯信徒、法國皇家大臣，以及英國國教的高派教會，他們堅信在自然與人類的世界中，有一種統一且穩定的秩序，激烈反對無限小。另一邊則是相對的「自由派」，如伽利略、瓦里斯，以及牛頓的追隨者，他們相信一種更多元化、更有彈性的秩序，一種可以將一系列的看法以及不同中心的權力全容納於其中的秩序，這些人擁護無限小的理論，也將之運用在數學上。界線已畫，屬於這邊或那邊的勝利，將於未來的世紀中，在世界上留下印記。

無限小的問題

要了解不可分量這個議題的戰爭為什麼會變得如此重要，我們需要近距離了解這個表面上看起來會讓人誤會很簡單，事實上問題卻非常麻煩的概念本身。用最簡單的說法來說，這個理論明言每一條線都是由一連串的點，意即「不可分量」（indivisible）所形成，這些點是線的基石，本身不可分。這個說法乍聽之下似乎很有道理，卻也留下了許多疑問。舉例來說，若一條線是由不可分量構成，那麼有多少不可分量？不可分量有多大？有一種可能是一條線上的這種不可分量點是個「極大數」（very large number），姑且說有千萬兆的點好了。在這樣的情況下，每一個不可分量點的大小就是原來那條線的千萬兆分之一，這真的是一個非常小的量。問題是，每一個確實的量（positive magnitude），即使非常小，仍然可以永遠繼續分下去。譬如，我們可以把原始的那條線分成兩等分，然後把每一個等分再分成千萬兆份，結果就是每個分段都是我們原來「不可分量」的一半。這表示我們假設的不可分量，其實還是可以再繼續分，也因此最初我們把不可分量當成連續線條上不可再分的原子，這個假設是錯誤的。

另外一種可能是一條線上的不可分量根本沒有「極大數」，而實際上是無限個不可分量。但如果每一個不可分量都有一個確實的量，那麼無限個不可分量並排起來就會有無限的長度，這又違背了我們原來線條長度有限的假設。所以我們的結論就是不可分量沒有確實的量，或換言之，不可分量的大小為0。遺憾的是，我們都知道0 ＋ 0 ＝ 0，也就是說不論我們把多少個大小為零的不可分量加在一起，加起來的量仍然是0，總和永遠不會是原有線條的長度。所以，連續線條是由不可分量構成的假設，再次引發矛盾。

古希臘人很清楚這些問題，（西元前五世紀的）哲學家伊里亞的芝諾（Zeno the Eleatic）就在一系列名稱有趣的矛盾問題中整理出了這些問題。以「阿奇里斯與烏龜」悖論（Achilles and the Tortoise）為例，阿奇里斯首先得追上他與烏龜之間距離的一半，接下是追上四分之一的距離，然後是八分之一的距離，以此類推，飛毛腿阿奇里斯永遠追不上緩慢的烏龜。但是我們從經驗得知，阿奇里斯一定會趕上他的慢動作對手，所以這個問題就引生了矛盾。另外，芝諾的「飛矢」悖論（“Arrow” paradox）聲稱一個填滿與自己體積相同空間的物體是靜止的。這個說法在箭矢飛行的每一個瞬間都成立，但這又導致了箭矢根本沒有移動的矛盾結果。芝諾的這些問題，源於不可分量本質上的矛盾，看起來雖然簡單，卻極難解決。

麻煩不只如此，有些量無法用公度量來比較，而不可分量理論卻與此相違背。舉例來說，假設兩條線的長度各為3 與5。顯然較短的這條線中有整整3 倍的長度1，而較長的那條線中有5 倍的長度1。因為兩條線都是長度1 的整倍數，我們稱長度1 為長度3 與長度5 兩條線的一個公度量（common measure）。同樣的，若有兩條線，長度各為3 1/2 與4 1/2 。兩者的公度量為1/2 ，也就是3 1/2 裡有7 倍的1/2 ，而4 1/2 有9 倍的1/2 。然而你若以正方形的邊長與其對角線為例，這個規則就不成立了。以現代的詞彙來說，我們會說這兩條線的比例是無理數√2。古人以不同的方式表達，他們有效地證明了這兩條線之間沒有公度量，或者可謂「不可公度量」（incommensurable）。這表示不論你將這兩條線各自分割多少次，抑或把這兩條線各自切得多細，你永遠都無法可以找出兩者的公度量。不可公度量為什麼會成為不可分量的問題？因為線條如果是由不可分量構成，那麼任何兩條線的數學原子量就會有一個公度量。但是兩條線若不可公度量，兩者就沒有共同的構成要素，也因此根本沒有數學原子、沒有不可分量。

西元前六至五世紀，由伊里亞的芝諾與畢達哥拉斯追隨者所發現的這些古代難題，改變了古代數學的發展。從那時開始，傳統數學家就揚棄了無限小這種令人不安的思考方式，轉向聚焦於幾何清楚與系統化的演繹。在柏拉圖（約西元前428~348）的帶領下，幾何成為他的系統中正確理性思考的模範，並且（根據傳統）雕刻了「不知幾何者不得進入此殿堂」幾個字，懸掛於學院門口上方。他的學生亞里斯多德（約西元前384~322）儘管在許多事情的看法上，都與他的恩師相左，卻也同意應該避開無限小。亞里斯多德在自己的《物理學》（Physics）第六卷中，詳細且權威地討論有關連續統（continuum）的矛盾，得出無限小的概念是錯誤的，而連續的量可以被無限分割的結論。若不是因為古代最偉大數學家塞拉庫斯的阿基米德（約西元前278~212）那令人讚嘆的作品，無限小最後的結果很可能就是遭到漠視。

阿基米德非常清楚自己所冒的數學風險，然而他依然選擇或至少暫時不去理會無限小的矛盾，也因此證明無限小的概念被當成數學工具時，是多麼有力。他為了計算圓形或球體的體積，把圓形或球體切割成無限個平行的面，然後再把這些平面的面積加總在一起，得出正確的結果。為了論證，阿基米德假設連續的量事實上就是由不可分量所構成，而他也因此能夠得到其他方式幾乎不可能得到的結果。

阿基米德謹慎地不去過度依賴他這個創新卻問題多多的方式。他藉由無限小得到結果後，又回頭用傳統的幾何方式證明每一個結果，避免使用到任何無限小的概念。儘管小心謹慎，在古代世界也擁有偉大智者的聲名，但阿基米德在數學上卻沒有繼任者。他之後的數學世代，都避開了他的創新方法，轉而仰賴幾何的實驗證明法（tried-and-true）以及幾何無可辯駁的真理。一千五百多年來，阿基米德對於無限小的研究成果，始終都是一個異例，是一條無人涉足之路的驚鴻一瞥。直到1500 年代，才有一群新世代的數學家重新踏上無限小的道路。

法蘭德斯（Flanders）的賽門．史蒂文（Simon Stevin）、英格蘭的湯瑪斯．哈瑞亞特（Thomas Harriot）、義大利的伽利略．伽利萊（GalileoGalilei）與柏納文圖拉．卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri），以及其他重新發現阿基米德無限小實驗的人士，開始重新檢視這些實驗的可能性。他們和阿基米德一樣，計算幾何圖形的面積與體積，之後更超越了這位古代大師，進而計算物體移動的速度與曲線的斜率。相較於阿基米德當時謹慎解釋自己的結果在以傳統幾何方式驗證之前，都只是暫時的，這些新銳數學家的態度要大方多了。他們藐視那些眾所周知的矛盾，公開將不可分量當作是連續統的構成物，然後在這個基礎上繼續發展。他們的果敢獲得了回報，因為「不可分量法」顛覆了早期現代數學的應用，讓面積、體積、斜率這些之前難以計算的數值，都有計算的可能。好幾個世紀都沒有大變化的嚴肅學科，成了一門生氣勃勃的學問，不斷發展，得到了史無前例的新結果。後來，於十七世紀後期，無限小的方法在牛頓與萊布尼茲的手上定形，成為今日我們稱為「微積分」的可靠演算法，一種精準且簡潔應用於無數問題上的數學系統。根植於無限小矛盾理論的不可分量法，成為所有現代數學的基礎。

〈前言〉出國的大臣1

1663年冬，法國大臣山謬．索必耶（Samuel Sorbiére） 出席了新成立的科學組織皇家學會（the Royal Society of London）舉辦的一場會議。

根據學會優秀的秘書亨利．奧登柏格（Henry Oldenburg）的說法，他和索必耶在議會黨與保皇黨戰爭（the civil war） 的黑暗時期就已是朋友，當時國王被逐出英國，將宮廷設於巴黎。查理二世重新在倫敦登上王座的三年後的現在，奧登柏格驕傲地在自己真正的家鄉招待老友，並與他分享皇家學會那些令人振奮的新研究。接下來的三個月，索必耶在英國土地上旅行，與政治領導人物、重要知識...

〈導讀〉無限的矛盾，無限的力量
長庚大學電子工程學系助理教授與數學作家　賴以威

「我把這扇門掩上一半，再掩剩下的一半，不斷重複下去，這扇門也永遠不會被關上。」

國中時，老師站在教室前門旁解釋無限的概念。

對現在的我來說這不難回答—

「不對，造成永遠的錯覺是『會重複無限次的掩門』，但到後來每次掩門的幅度都是無限小，門最終還是會被關上。」

但我永遠記得當時對老師的這項譬喻有多麼困擾，順著老師的邏輯，彷彿可以看到門就算被關上了，依然存在一道微微的縫隙。在那之前的數學課儘管複雜，可是只要遵循規則，按部就班就能理解。直到無限的出現，是第一次我覺得數學課裡也有「無法理解，只好先記起來」的觀念。

現在，儘管能破解無限的矛盾，能解釋阿基里斯為什麼能追上烏龜，能知道一尺之棰，日取其半，必然有取完的那天。但那樣的理解就好像回答「為什麼天空是藍色的？」、「因為空氣折射的緣故。」

只是拿了一個名詞、一套道理來解釋，並沒有真正理解背後的原因。甚至可以說，是因為相處久了，在課本、考卷裡面出現夠多次，就習以為常，覺得無限的概念是理所當然了。

不是的，無限小一點都不理所當然，他是個在歷經了上百年激辯後，才正式被引入的數學概念，背後還牽扯了超出數學之外的宗教、政治糾葛。

本書從馬丁‧路德的宗教改革開始，當時羅馬教廷勢力衰退，作為教廷忠誠部屬的耶穌會趁勢興起。以菁英份子組成的耶穌會在各地辦學，他們推崇階級與秩序。在克里斯多佛．克拉維烏斯（Christopher Clavius）的努力下，服膺於邏輯性的數學地位逐漸提高，作為耶穌會宣揚紀律性的強而有力工具。握有數學知識，他們便能宣稱握有真理。數學也沒辜負他們的期待。

曆法過時一直是古人面臨的問題，西元500年左右，中國有祖沖之與祖恆父子兩代努力，推行大明曆。西元1700 年左右，日本有澀川春海改良中國曆法，製成大和曆。曆法的制定需要豐富的天文、量測以及不可或缺的數學知識。不論是祖氏父子或是澀川春海都是一時的數學名家。在西方，則由耶穌會的克里斯多佛．克拉維烏斯領銜，協助教廷制定了全新的格里高里曆法。這套曆法相當精確，逼得歐洲各地儘管已經因為宗教改革而與教廷漸行漸遠，甚至反對教廷，但還是得乖乖接受格里高里曆法，變相承認了頒布曆法的教宗權威性。

數學可以強行讓人接受真理，並擊潰謬誤，建立起取代混亂與困惑的穩固秩序與確定性。

耶穌會以數學做武器，在宗教改革上打了一場漂亮勝仗，從此也更重視數學。正確地說，他們認為數學是個最好的例子，代表一切都該從定理出發，現實生活中的每件事都必須遵循一定的規則。數學提供了一個完美的理性模型，讓人們看清宇宙真理是如何統治世界。

然而，當時的數學世界裡尚未存在能夠解釋無窮小的定理，但數學家們已經從愈來愈多的地方發現這個無可迴避的概念。於是，數學家想從現實生活的觀察，反過來歸納出一個新的定理。推崇數學的耶穌會卻毫不猶豫地站到了打壓新知的那側。

從不同教派的宗教之爭，在一方執起數學獲得勝利後，手中的數學卻反噬主人，展開了另一場數學之爭。

※

許多耳熟能詳的科學家、數學家都參加了這場數學之爭， 被尊為現代科學之父的伽利略（Galileo Galilei）帶領他的兩位徒弟卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）與托里切利（Evangelista Torricelli），前仆後繼地提出對無限小、不可分量的詮釋。課本裡的托里切利是以發明了氣壓計而聞名，在這本書裡我們看到了他另一個偉大的貢獻，他發表了一篇「拋物線面積（De dimensione parabola）」，裡面極其華麗地用上了21種不同方式去證明拋物線與一條直線相夾的面積，其中有10種用上了不可分量的概念。這篇論文的重點根本不在拋物線面積，而是在介紹不可分量、無限小。

儘管數學家看到了無限小的廣泛用途（有一半以上的證明需要靠引入無限小的概念才能完成），但耶穌會堅決反對。他們設立了「總校訂（Revisors General）」這個最高地位的學術審查機構，扮演著類似那個時代的「金盾」腳色，把所有對教會帶來混亂與不安的知識排除在耶穌會主導的教育機構之外，無限小是數學界的新概念，他甚至推翻了一些傳統幾何的想法；從這個角度來看，他就像數學界的宗教改革，耶穌會無論如何都要將他的聲浪壓下來。

這次對決中，耶穌會佔了上風，哪怕面對的是伽利略與銳眼協會（L'Accademia Nazionale dei Lincei，現今的義大利國家科學院），那個時代最強的宗教團體成功地馴服了數學，讓數學依然作為宗教秩序而存在。

然而，如果把格局拉大，這場數學的戰爭還沒結束，只是換了一個戰場，到英國重新開始。在差不多的時間，英國也上演了一場關於無限小的學術論戰，場上的選手更是赫赫有名。站在否定無限小那方的是政治哲學名著《巨靈論》的作者霍布斯（Thomas Hobbes）。身為那個時代最有名的哲學家之一，他在過世前的自傳裡認為自己最偉大的成就竟然是解開了一題經典數學難題—化圓為方，畫出一個和圓一樣面積大小的正方形。

可惜的是，他解錯了。

連同這條錯誤的解答，他否定無限小的立場遭受到英國皇家學會（Royal Society）創辦人之一，約翰．瓦里斯（John Wallis）的猛烈抨擊。當時英國學術界在培根的倡行下，實驗是驗證、發現科學知識的重要途徑。也因為這種想法，從現實狀況觀察到的無限小概念，自然能較被接受，並且透過歸納法，成為了數學領域新的一分子。在瓦里斯發明了「∞」的無限符號後，這個符號被他的晚輩牛頓（Isaac Newton）開花結果，建立出了微積分，成為現代許多科學、科技的基礎。

當然， 在微積分的身上同樣少不了戰爭， 屬於牛頓跟萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）的發明人之爭，不過那又是另一件故事了。

※

我想，這本書其實就很像托里切利的21 道拋物線面積證明，名為介紹拋物線，實則宣揚無限小概念；名為介紹數學概念，實則介紹了整個中世紀錯綜複雜的學術、宗教、信念之爭。我們現今認為很多理所當然的觀念，其實背後往往都有一長串故事，一群遠比我們聰明的人在努力。我有時候會想，如果說我們覺得課本裡的數學無趣，那很可能不是知識本身的問題，而是我們學習的方法，將前人所有的努力濃縮成一行結果、一條式子，讓知識失去了靈魂，只剩下冰冷的軀殼。

這本書重新替無限符號「∞」注入了靈魂。

〈導讀〉無限的矛盾，無限的力量長庚大學電子工程學系助理教授與數學作家　賴以威

「我把這扇門掩上一半，再掩剩下的一半，不斷重複下去，這扇門也永遠不會被關上。」

國中時，老師站在教室前門旁解釋無限的概念。

對現在的我來說這不難回答—

「不對，造成永遠的錯覺是『會重複無限次的掩門』，但到後來每次掩門的幅度都是無限小，門最終還是會被關上。」

但我永遠記得當時對老師的這項譬喻有多麼困擾，順著老師的邏輯，彷彿可以看到門就算被關上了，依然存在一道微微的縫隙。在那之前的數學課儘管複雜，可是只要遵循規則，按部就班...

〈導讀〉賴以威
〈專文推薦〉公孫策

前言：出國的大臣
法國大臣索必耶拜訪英國，也受到倫敦皇家學會的熱情招待，但是索必耶卻盛讚皇家學會的敵人霍布斯，並害得自己遭路易十四驅出宮廷。幕後隱情其實跟當時的數學理論戰爭頗有關連。

第一部 對抗失序的戰爭：耶穌會與無限小的對立

第一章 聖羅耀拉的弟子
耶穌會創建在一個天主教開始沒落的時代，依納爵的羅耀拉和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動，但其中最耀眼的成就，卻是在各地區建立的教育學院。

第二章 數學秩序
耶穌會的教育體系中，原本並不特別注重數學，但在克拉維烏斯神父持續努力下，終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學，因為數學是一種以邏輯步驟說出真理、無人能否定其證明結果的學科，但這時的數學，仍以歐幾里得數學原則為主。

第三章 數學失序
虔誠的教徒伽利略，也是當時最偉大的科學家。他為了自己的學說，槓上了耶穌會和教廷，最終被送進宗教審判所，人生最後十幾年都在軟禁中度過。伽利略的弟子卡瓦列里與托里切利持續提出不可分量和無限小的理論證明，更持續增強耶穌會想要壓制這個矛盾理論的決心，無限小的戰爭即將引爆。

第四章 你死或我亡：「無限小」的戰爭
耶穌會總校訂決議整個耶穌會體系都不得教授與討論無限小。耶穌會和支持伽利略的銳眼學會之間，為了維持歐幾里得幾何學理論或迎接新的無限小方式而開戰。

第五章 數學家的戰役
支持歐幾里得幾何學論點的耶穌會數學家古爾丁、貝蒂尼與塔凱，與支持無限小與不可分量學說的耶穌教團卡瓦列里、托里切利和安潔里。表面上是數學論戰，實際上耶穌會數學家還為了護衛神學上的論點。

第二部 《巨靈論》與無限小

第六章 《巨靈論》的出現
英國內戰和空位期當時的民不聊生與內部動亂，令卡文迪許家族的家臣霍布斯，寫下哲學傑作《巨靈論》。

第七章 幾何學家湯瑪斯．霍布斯
幾何學中，每一個結果都是建立在另一個較簡單的結果之上，因此可以一步步符合邏輯地向前推進，從不證自明的真理，朝著愈來愈複雜的真理邁進。霍布斯因此認為數學應該沒有解不開的難題。

第八章 約翰．瓦里斯是何方神聖？
在數學家瓦里斯的眼中，數學毫無貴族氣息，徹頭徹尾就是一個得到有用結果的實用工具。也因此，他和「隱形大學」（後來成為「皇家學會」）的夥伴對數學的使用方式與霍布斯大相逕庭。

第九章 新世界的數學
歸納法和實驗數學，讓皇家學會的會員與英國菁英分子逐漸將這種開放討論與有彈性的態度應用到學術與政治立場上，於是英國邁上君主立憲之途，各種科學研究也不斷開花結果，於是英國成為歐洲最先現代化的國家。

後記：兩個現代
隨著無限小戰爭的開打，義大利的尖端數學停滯不前，英國的數學卻快速成為主導歐洲的國家傳統之一，僅有法國可與之匹敵。

人物表
大事記
致謝辭

〈導讀〉賴以威
〈專文推薦〉公孫策

前言：出國的大臣
法國大臣索必耶拜訪英國，也受到倫敦皇家學會的熱情招待，但是索必耶卻盛讚皇家學會的敵人霍布斯，並害得自己遭路易十四驅出宮廷。幕後隱情其實跟當時的數學理論戰爭頗有關連。

第一部 對抗失序的戰爭：耶穌會與無限小的對立

第一章 聖羅耀拉的弟子
耶穌會創建在一個天主教開始沒落的時代，依納爵的羅耀拉和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動，但其中最耀眼的成就，卻是在各地區建立的教育學院。

第二章 數學秩序
耶穌會的教育體系中，原本並不特別注重數學，但在...