數學也可以這樣學

導論

一篇發表於《雪梨晨間先鋒報》（Sydney Morning Herald）的文章（2001年12月20日），引述了服務於家長所經營的教會學校的梅卡飛（John Metcalfe）所說的一段話：「孩子被教導說，數學是一種描述世界的語言――上帝所創造的一種語言……」

這也是我多年來的感受，而且，只要嚴肅以對，我認為這是可以走得非常遠的一條進路。這條進路認為自然這本書（book of nature）有個祕密等著被揭露，還有，我們這個世界遠遠不只是一個長程的、機率般的偶然遇合，也不是透過各種令人不安的推斷過程而可以加以計算的，沒有任何具實務經驗的工程師會夢想可以這麼做。當然，吾人可以提出更多觀點，畢竟任#唯物論式#（materialistic）的科學壟斷了客觀性，是完全沒有道理的。

唯名論或是諸神的語言

有一種觀點主張，數學的世界是一些便利的理念（idea）的一種#唯名論式#（nominalistic）且抽象的集合體。這些理念本身少有（即使有）真實意義，有的只是與理解「外在」（out there）世界有關的便利性與實用價值。這種觀點雖然已經被思慮周延的學者們所批評，不過數學是如此有用的這個事實，我們通常是視而不見。

另一種觀點認為，數學，在多元的意義上，是諸神的一種語言。可以說，我們的心智對數學與幾何概念的理解，是「讓這個世界發生」的那些作用力最後的殘餘。這種觀點並不是假定我們所擁有的思想是知識性的便利，只是心智的影子，而認為它是一種真正的通道，引領我們進一步了解大自然這個工作室（workshop of nature）。吾人可以相信不僅存有諸神，甚至有可能去理解祂們#如何#運作。這一直是我的態度，而且我發現經由大自然所展現的奇蹟，以及我們正在研究的這個主題之美，我更加確定此事。

對我來說，莎士比亞的「思想的蒼白投射」只適用於我們現在淺薄的智性，而非思想生命可以到達的最終境界――正如魯道夫‧史泰納（Rudolf Steiner）在他的《靈性活動的哲學》（Philosophy of Spiritual Activity）一書所指出的：「有了思維活動，我們已經掌握了靈性的一個小小的角落。」

無庸置疑，在這些角落中，還有各種變貌，而這整件事情可以無止境地辯論下去。儘管有著知識論上的精確，數學概念與細心觀察的現象之協合所帶來的驚喜，還是可以讓我們忙於探索、好奇，以及深感興趣――它們無疑也是重要的。

本書包括我教授七、八年級學生的主要課程內容。每一個課程單元都以超過三週的時間完成，其中在我們的學校，澳洲的史泰納學校（Glenaeon Rudolf Steiner School），每天早上都有一個半小時的上課時間。



每位教師都以不同的方式教授這些課程內容，而其成果就學生、教師、地點及時間而言，都是獨一無二的。不過，對我而言，似乎存在著一條我們共同努力打造的「黃金線」。

對每一位老師來說，華德福課程提供了持續的挑戰。挑戰在於為學生發展逐年的課程，也透過它發展我們自己的專業。我常在想，如果我們無法以身作則，又要如何要求學生發展（興趣）、學習以及成長（身心）呢？如果我們做不到，學生如何做到？教師與學生之間，必須是一種等式關係。

這些內容是我們對數學主題的貢獻。

我也要感謝許多學生與友人，他們的作品供我作為書中舉例。我只能在此申謝。倘若我無法親自指明他們的貢獻，在此也要誠摯致歉。

更不用說，這些內容材料只是我個人的選擇，其他許多人會納入其他的選擇。

然而，這是我使用了二十多年的教學材料，也引起許多學生與同僚的興趣，光從我影印的份數就可以看得出來！

約翰・布雷克伍德





第一章 大自然中的數學



從青春期開始，年輕人便有一種越來越強的需求，他們希望能夠連結他們對於這個世界的想法，以及他們實際經驗到的世界。數學，尤其是幾何學，可以在我們周遭許多大自然的奇蹟中被發現。發自我們內在深處的某些東西，呼應了外在於我們的現象。

如果在孩子的教育生活與人文覺察（humanities consciousness）的發長間，有一種對應關係，所反映的（西方）歷史時期，就是文藝復興的早期或文藝復興之前。這種連結生命這兩個面向的個人需求，在那個時代開始出現，也強烈展現在青少年學生身上。這種對自主思想的奮戰，在面對時代的主流信仰時，可謂步步荊棘，因為那時候的人認為如哥白尼、伽利略與克卜勒這些個人的研究成果，對他們的信仰充滿威脅。而在現在這個年代，年輕人的心智啟蒙也挑戰著我們！

此時此刻，我們要#記住#（re-member）：在學生的生活中，他們的作品、進路及探索，才開始要爆炸，如同文藝復興時期的世界震盪與重塑。而我們需要走出原地，才做得到。

以下所呈現的一些教學主題概要，來自我多年前在史泰納學校教過的一個特別的主要課程，我試著涵蓋我認為屬於這個時代的內容。當然，還有其他許多內容可以納入，我並未假裝完備，這只是我在當時所提供的部分內容。

我按照當時授課的順序，選取一些典型的練習。有時候是課堂活動建議，有時候是練習的指引。

導論

一篇發表於《雪梨晨間先鋒報》（Sydney Morning Herald）的文章（2001年12月20日），引述了服務於家長所經營的教會學校的梅卡飛（John Metcalfe）所說的一段話：「孩子被教導說，數學是一種描述世界的語言――上帝所創造的一種語言……」

這也是我多年來的感受，而且，只要嚴肅以對，我認為這是可以走得非常遠的一條進路。這條進路認為自然這本書（book of nature）有個祕密等著被揭露，還有，我們這個世界遠遠不只是一個長程的、機率般的偶然遇合，也不是透過各種令人不安的推斷過程而可以加以計算的，沒有任何具實務經驗的工程...

推薦序/洪萬生

幫助學生體會數學（美）無所不在

這一兩年來，「另類的」數學普及書籍成為出版商的注目焦點。以今年出版的作品為例，除了數學小說（mathematical fiction）文類的繼續風行之外，像《這才是數學》這一類的書寫，高舉數學教育的基進（radical）改革旗號，內容基調卻回歸古典（classical），總是帶給我們一種「今昔時空」疊置，不知身心何所依違之感。不過，也正因為這種既在地又抽離的處境，讓我們可以從容地體會數學的如何有趣，甚至如何有用。

本書《數學也可以這樣學》就是另一本這樣一類的數學普及作品，儘管其中包括作者教給七、八年級學生的主要數學課程內容。作者約翰・布雷克伍德任教於澳洲史泰納學校――華德福實驗教育系統的一環，因而本書也被納入華德福教育資源（Waldorf Education Resources）叢書。平心而論，作者的數學觀點不如《這才是數學》的作者來得基進，不過，堅持數學的某些進路與練習，則並無二致。而所有這些，則都指向數學的有趣面向。譬如說吧，本書的英文原版書名《 Mathematics in Nature, Space and Time》，就是企圖說明數學在天生自然領域、在空間脈絡以及在時間的流變中的無所不在。作者更是利用本書例證，強調「數學是描述世界的一種語言――上帝所創造的一種語言」。對他來說，數學是一種真正的門道或法門，「引領我們走向大自然之工作室（workshop of nature）的漸增理解」，因為「吾人可以相信不僅存有諸神，而且也可以對祂們#如何#運作產生興趣」。換言之，數學在大自然界中的無所不在，都是上帝的神工，而理解或鑑賞它們的不凡與美妙，則是榮耀上帝的一條進路。

數學實作（mathematical practice）可以「接近神蹟」的華德福教育哲學主張，正是十八世紀西方自然神學（natural theology）的現代翻版。顯然，這種主張就是將數學實作類比為一種「靈修」的過程。因為誠如史泰納（Rudolf Steiner）在他的《靈性活動的哲學》所指出，「有了（數學）思維活動，我們已經掌握了靈性的一個小小的角落。」

既然是靈修，那麼，數學實作回歸古典，依循古代哲人的進路，似乎是勢所必然。這或許也解釋了何以作者那麼鍾愛希臘古典幾何學中的尺規作圖。事實上，本書第一章一開始的練習一和二，就依序是（在給定線段上）作垂線，以及二等分角的尺規作圖。而全書的尺規作圖練習，則多達十幾個。可見，作者在繪製幾何圖形時，就十分貼近地呼應希臘古典幾何的「精確」要求。

希臘數學家，比如最具代表性的歐幾里得，就視「精確圖形」與「尺規作圖」是一體兩面。所謂尺規作圖，是指運用圓規與沒有刻度的直尺，在有限多次的步驟中，畫出一個圖形。這是古希臘歐幾里得在他的經典《幾何原本》中，所允許使用的作圖方法。按照他的主張，只要不是運用這種方法所作出來的圖形，就不能稱之為存在，因而也就不是數學研究的合法對象。這種合法性（legitimacy）由於結合了嚴格的邏輯證明，使得圖形的「精確」顯得理所當然，從而它們的「存在」也就無庸置疑了。

現在，讓我們簡要介紹本書內容。按照知識內容來分類，各章主題依序是幾何、數論（number theory）、柏拉圖立體，以及克卜勒三大行星運動定律。 有關最後一章的科學史敘事，作者認為克卜勒的不朽成就，完全在於他「對大自然的節奏理解」，因而可以「成為真正的自然科學」。此外，作者還針對人體（小宇宙）和大宇宙的節奏之對應關係，指出人類可視為巨觀中的微觀，於是，「男人是由上帝的形象造成的」，乃成為數學靈修的最後徹悟。

至於本書前三章內容都曾經在《幾何原本》出現，再度地見證這部偉大經典在作者心目中的地位。事實上，《幾何原本》討論的部份主題如下：第 I、III 及 IV 冊是平面幾何；第 XI-XII 冊是立體幾何；第 VII-IX 冊是數論，還有，第XIII一冊，亦即最後一冊，則是柏拉圖立體。附帶一提，這最後一冊的內容與前面各章幾何學（無論平面或立體）之關連，看起來在融貫性（coherence）方面上較為不足；亦即，這五個柏拉圖正立方體的存在，顯然並非歐氏幾何學知識系統不可或缺的一環，儘管本冊的所有命題之證明，當然還是完全依賴前面（相關）的命題。對於這樣的安排，數學史家猜測這是歐幾里得為了向柏拉圖「交心」，因為在有關知識本質方面，《幾何原本》被認為比較偏向亞里斯多德，他認為數學是被發明的，不過，他的師傅柏拉圖卻主張數學是被發現的，兩者明顯地有所不同。如將柏拉圖在《蒂邁歐篇》（Timaeus）中所塑造的造物主，轉換為基督教的上帝，那麼，作者的數學觀貼近柏拉圖主義，也就不言可喻了。

柏拉圖數學哲學所引伸出來的認知方法當然有其侷限，因為他的《米諾篇》（Meno）基於人生而有知，而認為知識是吾人只需經由「啟發」即可恢復的「前世」記憶（recollecting）。不過，本書所布置的數學練習，卻大大彌補了這個不足。經由摺紙及立體模型之（動手）製作，再輔以本書一再出現的尺規作圖，作者具體呈現了數學知識是吾人經由實作、再發明（re-inventing）而獲得的過程。這種「默合」亞里斯多德的現身說法，對於現代的數學教學現場，其實蠻具有提醒的功用，非常值得我們注意。

以上，我針對柏拉圖 vs. 亞里斯多德在（數學）認識論（epistemology）上的歧異，做了一點起碼的釐清。我的目的之一，無非是想要指出：儘管華德福的教育實驗，是基於他們首重靈性活動的教育哲學，然而，無論他們的認識論是否完備，甚至是否可以讓本書內容來佐證，從教育的所謂成效來看，其實都無關宏旨。這是因為如果第七、八年級階段的數學教育理想，是希望幫助學生體會數學（美）無所不在，從而通過模式（pattern）的掌握來學習它如何有用，那麼，本書內容就可以在我們的學校課程中，佔有一席之地了。

這麼說來，我們又將如何善用本書呢？為了要好好地感受數學那種令人無比驚奇的美，我強烈建議讀者好好地跟隨作者，做那五十八道練習。同時，我也希望讀者好好品味本書插圖，尤其是學生的作品，更是我們老師鼓勵學生在解題之外，應該著力的數學知識活動之範例。總之，本書是一本「另類的」數學普及作品，如果你也能運用另類的眼光來看待它，那麼，你就會有意想不到的收穫。

本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授



推薦序/孫文先

為數學教育提供一條新路

英國數學家羅素（Bertrand Russell, 1872-1970）曾經說：「數學，如果正確地看，它不但擁有真理，而且也具有至高的美……。」更有許多數學家讚嘆數學具有簡潔性、和諧性、奇異性的美，它們以數學的符號美、抽象美、統一美、和諧美、對稱美、形式美、有限美、奇異美、神祕美、常數美等形式體現出來。義大利數學及物理學家伽利略（Galileo Galilei, 1564-1642）也曾經說過：「數學是上帝用來書寫宇宙的文字……它的符號是一些三角形、圓形等幾何圖形，沒有藉諸它們的幫助，我們就不可能理解任何一個字。」意即在宇宙、自然界、日常生活與動植物行為中，處處都存在著數學的蹤跡。

但是在我國的數學課堂中，傳授的內容幾乎只是有名無實的抽象概念、煩悶的計算與公式，老師的講課也是一道題目接著一道題目的解題，只期望學生能在各類型的考試中取得好成績。鮮有老師會花點時間告訴學生：巴特農神殿、人體上的黃金比；葉子在莖上以夾角為137°28” 的黃金角排列，這樣使得通風、採光最好；花瓣的數量通常是3, 5, 8, 13, 21……的斐波那契數，而斐波那契數列前後兩項比趨近於黃金比；蜂房的構造之夾角為 109°28” 與 70°32’，這是最省材料的結構；飛雁飛行成人字形，一邊與其飛行方向夾角是 54°4”8’，這是阻力最小的飛行方式。老師們也很少提及：雅格布伯努利（Jakob Bernoulli, 1654-1705）所謂「雖然改變了，我仍然和原來一樣」的對數螺線；內接於圓的四邊形中，以正方形面積最大，但內接於球的六面體中，體積最大的不是正六面體，而其他面數的多面體都是以正的多面體體積最大；萊布尼茲藉由中國的易經的啟發，發展二進制，成為現代科學、計算機、密碼學等研究的重要工具；德國醫生發現人體潮汐現象、體力週期23天、情緒週期28天、智力週期33天，它們都呈現正弦曲線的變化。更幾乎沒有老師願意利用課堂或課餘時間，指導學生繪製或摺疊正多面體模型。在這樣的教學風氣下，無怪乎我們的學童徒具數學解題知識，而空間想像能力匱乏、動手操作能力笨拙、美學素養貧瘠。

一位好的數學老師要教導學生獲得未來生活上必需的基本計算技巧、思辨能力與時空概念。一位好的數學老師不僅要傳授數學知識與理論，還要講出數學的魅力與樂趣。他應該引導學生們欣賞數學之美，讓他們嚐嚐數學家苦思不解的滋味與解決難題時瞬間迸發的喜悅，啟發學生的想像力，並使他們願意從事及渴望從事長期的科研工作。本書各章節提供許多活動與實作素材，使學生實際觸摸、感受、領悟與推廣許多重要的數學內涵。

很多人可能會質疑如果拿課堂寶貴的時間來做這些看似無益於提高考試分數的活動，對學習數學真的有幫助嗎？在此我要提出九章數學俱樂部的實際經驗與大家分享。聚會時我們從來不教數學解題，而是開拓學員的視野，養成學員自學的態度、動手的習慣、追根究柢的精神。經歷多年來的實踐，九章數學俱樂部的學員不僅在各項考試中都能名列前茅，由於他們長期浸淫在創新的思維中，他們在各領域的學術研究中也都是佼佼者。所以採用本書作者所引領的方式教學，不僅不會使課堂沉悶乏味，更能激發學生探索的精神，可誘導出學生特殊的才藝，建立其自信心，考試分數也自然提升不少，同時分組活動也可培養團隊合作的情誼。

很榮幸洪萬生老師帶領幾位中學數學老師中譯此書，本書是作者從二十多年的教學材料中摘錄成書，尚有許多有趣的數學活動內容可以再添入，希望在職的數學老師們模仿本書作者的教學理念，為本書疊磚添瓦。再者，現今電腦科技發達，許多動態繪畫軟體，如Geometer’s Sketchpad、Cabri 3D 等，提供幾何作圖的方便性與準確性，再加上強大的著色與動態功能，必定可使繪製的作品繽紛璀璨，希望懂得操作電腦的讀者可將本書發揚光大。當現今大家在高唱翻轉教育之際，本書為數學教育提供一條新路。



本文作者為財團法人臺北市九章數學教育基金會董事長

推薦序/洪萬生

幫助學生體會數學（美）無所不在

這一兩年來，「另類的」數學普及書籍成為出版商的注目焦點。以今年出版的作品為例，除了數學小說（mathematical fiction）文類的繼續風行之外，像《這才是數學》這一類的書寫，高舉數學教育的基進（radical）改革旗號，內容基調卻回歸古典（classical），總是帶給我們一種「今昔時空」疊置，不知身心何所依違之感。不過，也正因為這種既在地又抽離的處境，讓我們可以從容地體會數學的如何有趣，甚至如何有用。

本書《數學也可以這樣學》就是另一本這樣一類的數學普及作品，儘管其中包括作...

推薦序
譯者序
導言
第一章 大自然中的數學
．技巧的複習與回顧 ．圓的形式 ．六邊形的形式 ．螺線的形式
．阿基米德螺線 ．等角螺線 ．斐波那契數及其數列 ．斐波那契螺線
． ，斐波那契以及「黃金切割」 ．1.618 或 0.618？

第二章 畢達哥拉斯與數目
．為何畢達哥拉斯？ ．數目 ．質性的數目 ．各種數目系統
．十進位數目，指數寫法（長式）和我們普遍的簡寫形式
．長式和簡式寫法 ．二進位數 ．度量 ．距離與角 ．角的度量
．熟悉的度量工具 ．數目的種類 ．質數和伊拉托森尼斯篩子
．質數的篩子 ．畢氏三數組 ．畢氏定理 ．演示 ．婆什迦羅的證明

第三章 柏拉圖立體
．柏拉圖立體 ．歷史上的柏拉圖立體 ．平面圖形
．三種特殊的直角三角形 ．正立方體摺紙 ．三種三角形的細節
．碗和馬鞍 ．葉面及其孔洞和皺摺 ．中心點與外圍 ．四面體
．正四面體在哪裡？ ．正八面體 ．正八面體展開圖 ．正八面體實例
．正六面體（或正立方體） ．正六面體展開圖 ．正六面體實例
．交錯穿插的正立方體和正八面體 ．正二十面體與正十二面體
．正二十面體展開圖 ．正二十面體的黃金分割結構 ．正十二面體
．再談黃金矩形 ．正十二面體展開圖 ．歐幾里得《幾何原本》第十三冊
．歐拉法則 ．學生作品

第四章 節奏與週期
．旋轉、節奏與週期 ．時間 ．輪子 ．圓和直徑
．圓周與直徑 ．阿基米德應用多邊形的進路 ．用正八邊形來計算
． 的命名 ． 的遞增精確度 ．圓周 ．微小、中等及巨大的尺寸
．圓形 ．白天、夜晚及內布拉星象盤 ．奠基於哥白尼的當代基本圖像
．季節 ．地球繞著太陽的橢圓路徑 ．克卜勒的行星運動定律
．大的和小的連結 ．人類和宇宙的節奏

謝詞
參考文獻
索引

推薦序
譯者序
導言
第一章 大自然中的數學
．技巧的複習與回顧 ．圓的形式 ．六邊形的形式 ．螺線的形式
．阿基米德螺線 ．等角螺線 ．斐波那契數及其數列 ．斐波那契螺線
． ，斐波那契以及「黃金切割」 ．1.618 或 0.618？

第二章 畢達哥拉斯與數目
．為何畢達哥拉斯？ ．數目 ．質性的數目 ．各種數目系統
．十進位數目，指數寫法（長式）和我們普遍的簡寫形式
．長式和簡式寫法 ．二進位數 ．度量 ．距離與角 ．角的度量
．熟悉的度量工具 ．數目的種類 ．質數和伊拉托森尼斯篩子
．質數的篩子 ．畢氏三數組 ．畢氏定理...