博奕數學

博奕產業的評論家長久以來指責這個產業（政治正確地）創造「博奕」（gaming）的名稱來取代「賭博」（gambling）一詞。博奕一詞由來已久，這一名詞更為正確地敘述這產業經營者的觀點，因為賭場經營者通常並不是在賭博，而是依據數學的準則來確保賭場能獲得毛利營收；也就是賭場經營者必須保證博奕遊戲的收入必須足以支付博奕遊戲產業諸如呆帳、營運費用、人事費用、稅賦及借貸利息的營運成本。

賭場的工作人員往往無法提昇他們的本職學能，因為他們不瞭解博奕遊戲背後所牽涉的基本數學原理以及這數學原理與賭場的獲利能力。一個賭場老闆經常會問在賭場中監督博奕遊戲的經理為何賭場能靠21點（blackjack）（即玩家與莊家的點數較靠近21點的人勝出）這遊戲賺錢？典型的答案是賭場維持一個賭場優勢（house advantage），這答案固然不錯，但往往他們不知道賭場優勢有多少？也不知道這遊戲在那些地方造就了這賭場的優勢？

如同其他產業一般，產業的經營者必須瞭解許多事情，當賭場提供各種不同的博奕遊戲時，經營者必須明瞭這些博奕遊戲如何地創造利潤。在博奕這個產業，沒有任何東西比數學扮演更重要的角色。

數學也可用來克服迷信所導致的風險。倘若一個頗具規模賭場老闆連著輸了相當金額給一些擲骰子玩家，若賭場老闆不將這情況視為正常的反覆無常而歸咎於不好的霉運，則他能做的就是花整個晚上的時間在賭場各個角落揮灑鹽巴以驅逐瘟神。

無論對玩家或莊家而言，迷信始終都是博奕的一部分。迷信可能導致賭場獲利能力受損。例如，賭場經理覺得某個發牌者對上某個特定玩家會帶有不好的運氣時，他可能會將發牌者換下牌桌而換上另一個發牌者。此時，若玩家往好的方向想，玩家可能會覺得賭場換下發牌者的目的只是要改變玩家的好運氣。若玩家往壞的方向想，玩家可能會覺得賭場換上一個技術較好的發牌者，並企圖扭轉牌局的結果。更糟的是，甚至玩家可能會聯想起一個老掉牙的故事：賭場專門聘請一些老千來對付運氣特別好的玩家。

瞭解博奕遊戲背後所牽涉的數學對賭場經營者是很重要的，因為經營者可以保證滿足玩家合理的預期獲利。對大多數的人而言，博奕遊戲只是一種娛樂。博奕遊戲提供成年人渲洩在日常生活中來自人際與社會壓力的一個管道。

除了將博奕遊戲當成娛樂選項之外，玩家可能會重視他在玩博奕遊戲時感受到的博奕經驗。例如，有些人可能會面臨一個晚上花幾百元到棒球場看場球賽或去合法的職業賭場賭上兩把兩種選擇。倘若職業賭場中賭場優勢很強，導致玩家很快地輸光口袋中的錢，則玩家可能會留下一個不太愉快的博奕經驗。反過來說，倘若賭場提供免費的餐飲，則賭場可能會讓玩家留下一個勝過於在棒球場看球賽的博奕經驗，從而希望日後再次造訪賭場來回味這美好的博奕經驗。

同理，一個新推出的博奕遊戲能否風行？完全取決於這遊戲能否滿足玩家的預期心理。近幾年來，賭場陸續推出數個新的博奕遊戲，希望藉此引起玩家的興趣，進而擄獲玩家光顧賭場的心。不論一個博奕遊戲是否好玩或有趣，玩家通常更在意的是：會不會很快輸光口袋中的錢，或是幾乎不可能帶著贏來的賭金回家。

數學不僅在滿足玩家預期心理方面扮演重要角色，數學也會影響玩家的博奕行為。例如，當博奕遊戲需要理性決策時，你當然不可能押注於對手有較大獲勝機率的情況。亞當史密斯（Adam Smith）主張所有對莊家有利的博奕遊戲都是不合理的。他在書中寫道：「相較於你所鼓吹彩券的購買張數，倘若找不到更確定的數學論述，則你很可能會是一個輸家。倘若押注於每一張彩券，則肯定是個輸家。若購買的彩券張數愈多，則愈可能是個輸家。」

博奕產業的評論家長久以來指責這個產業（政治正確地）創造「博奕」（gaming）的名稱來取代「賭博」（gambling）一詞。博奕一詞由來已久，這一名詞更為正確地敘述這產業經營者的觀點，因為賭場經營者通常並不是在賭博，而是依據數學的準則來確保賭場能獲得毛利營收；也就是賭場經營者必須保證博奕遊戲的收入必須足以支付博奕遊戲產業諸如呆帳、營運費用、人事費用、稅賦及借貸利息的營運成本。

賭場的工作人員往往無法提昇他們的本職學能，因為他們不瞭解博奕遊戲背後所牽涉的基本數學原理以及這數學原理與賭場的獲利能力。一個賭場老闆經...

前 言 1
原 序 3
第一章 博奕遊戲簡史 9
博奕遊戲早期歷史 10

第二章 博奕遊戲數學理論 15
機率 16
期望值 24
賭場優勢 26
變異性 30
對博奕遊戲的一些錯誤認知 44
公式與法則歸納整理 50

第三章 賭場經營績效量測值 53
牌桌與吃角子老虎機型遊戲 54
投注總金額 55
入袋金 57
毛利 58
理論毛利 59
獲利比例 59
理論獲利比例 60
賭場保有利益的比例 61
賭場保有利益的比例的期望值 62
賭場保有利益比例作為管理工具 62
贏率的不同表現方式 68
賭場經營績效量測指標摘要 74

第四章 機運型博奕遊戲 77
賭場即莊家的博奕遊戲 78
集結賭金的博奕遊戲 123

第五章 需要技巧的博奕遊戲 127
賭場作莊的博奕遊戲 128
集結賭金的博奕遊戲 164
運動比賽簽注 172

第六章 博奕遊戲的賠率與賭場優勢 185
設定博奕遊戲的賭場優勢 186
博奕遊戲的價格與市場需求 190

第七章 統計數據變異與賭場經營 195
高風險博奕遊戲 196
低變異：允許小額押注的賭場 200

第八章 賭場提供的免費招待 203
玩家的價值：理論與實際獲利 204
免費招待 211

第九章 回扣與折扣 217
依據玩家平均輸掉的金額計算回扣 218
禁止轉讓籌碼方案 219
玩家輸錢總金額的折扣 234
其他的回饋方案 239

第十章 法規問題 241
關於公平性的法令規章 242
最高下注金額 248
制訂最低價格 249
關於誠實性的法令規章 249
技巧高超與詐賭 253

參考書目 263

前 言 1
原 序 3
第一章 博奕遊戲簡史 9
博奕遊戲早期歷史 10

第二章 博奕遊戲數學理論 15
機率 16
期望值 24
賭場優勢 26
變異性 30
對博奕遊戲的一些錯誤認知 44
公式與法則歸納整理 50

第三章 賭場經營績效量測值 53
牌桌與吃角子老虎機型遊戲 54
投注總金額 55
入袋金 57
毛利 58
理論毛利 59
獲利比例 59
理論獲利比例 60
賭場保有利益的比例 61
賭場保有利益的比例的期望值 62
賭場保有利益比例作為管理工具 62
贏率的不同表現方式 68
賭場經營績效量測指標摘要 74

第四章 機運型博奕遊戲 77
賭場即...