另類數學教室

5 數學燈謎

──數學與生活語言的另類連接

另有所指

話說有位數學老師，雖然平時授課、備課異常忙碌，但在閒暇之餘，喜歡翻閱古代詩詞歌賦。有次，他無意間找到一首宋詞，如下（第四行的「詈」字，讀作ㄌㄧヽ）：

下樓來　金簪卜落　　　　問蒼天　人在何方

恨王孫　一直去了　　　　詈冤家　言去難留

悔當初　吾錯失口　　　　有上交　卻無下交

皂白何須問　　　　　　　分開不用刀

從今莫把仇人靠　　　　　千里相思一撇消

由此詞的文意觀之，好像是一位女詞人與男友分手，此男人以人間蒸發的方式告別之後的哀怨之作。但她填完這首詞後，似乎也放下了這段情緣，因為「千里相思一撇消」！

數學老師拿這首詞到辦公室和同事分享，還跟鄰座的音樂老師開玩笑，叫他配上樂曲變成流行歌曲。音樂老師看完此詞後說：「不行，文字太古老，沒人會喜歡。」剛進門的國文老師問：「怎樣的文字太古老？」於是他也來看這首詞。

國文老師學過拆字，他說：「由拆字的角度看來，這首詞另有所指，是藏著訊息的謎句，譬如說，最後一句『千里相思一撇消』，把『千』字上面的『一撇』消去，就變成了『十』字。」這下大家都感到有興趣了，全辦公室的老師都圍過來「解謎」。

有人湊興的泡了一壺咖啡，大家一邊喝咖啡，一邊玩味討論詞中文句。在「三個臭皮匠，勝過一個諸葛亮」的群力合作下，終於破解了此詞中隱藏的謎團，發現是與數學相關的。讀者要不要自己先推敲推敲，再看下文解說？

這群老師的解讀，讓我們逐句說明如下：

第一句「下樓來，金簪卜落」中，把「下」字的「卜」部落去，就得到「一」字；

第二句「問蒼天，人在何方」中，若「天」字不見了「人」，則變成「二」字；

第三句「恨王孫，一直去了」中，將「王」字的「一直」行去掉，就看到「三」字；

第四句「詈冤家，言去難留」中，「詈」字不留「言」，留下的是「四」字；

第五句「悔當初，吾錯失口」，「吾」字錯失「口」字，剩下「五」字；

第六句「有上交，卻無下交」中，把「交」字下面的「乂」擦掉，得到「六」；

第七句「皂白何須問」中，把「皂」字抹去「白」字，餘下的是「七」字；

第八句「分開不用刀」中，把「分」不用「刀」，就成為「八」；

第九句「從今莫把仇人靠」，把「仇」字中的立「人」部分拿走，得到的是個「九」字；

第十句上面解釋過了，這裡不再重複。

照這群老師的解法，這首詞中隱藏的訊息，竟然只是簡單的數字一、二、三、四、五、六、七、八、九、十，這十個數字，不免令人大失所望。親愛的讀者，你能認同他們的解法嗎？還是另有自己的見解？

5 數學燈謎

──數學與生活語言的另類連接

另有所指

話說有位數學老師，雖然平時授課、備課異常忙碌，但在閒暇之餘，喜歡翻閱古代詩詞歌賦。有次，他無意間找到一首宋詞，如下（第四行的「詈」字，讀作ㄌㄧヽ）：

下樓來　金簪卜落　　　　問蒼天　人在何方

恨王孫　一直去了　　　　詈冤家　言去難留

悔當初　吾錯失口　　　　有上交　卻無下交

皂白何須問　　　　　　　分開不用刀

從今莫把仇人靠　　　　　千里相思一撇消

由此詞的文意觀之，好像是一位女詞人與男友分手，此男人以人間蒸發的方式告別之後的哀怨之作。但她填完...

培養孩子的數學能力，值得我們好好努力

這是一本集子，收在裡面的十二篇文章，都是筆者退休後的這幾年陸續寫成的。文章中的許多材料和想法，其實不完全是我自己的，而是和幾位已退休的中、小學數學老師討論出來的。這裡先謝謝他們，他們是

戴寶蓮　許文化　林志忠　張凰蕙　陳彩鳳　蔡淑英

李和淑　宋立忠　楊守容　呂玉英　李信仲

我們小組的每兩週見面一次，並非每次大家都到。比如說，本書形成的期間，上排的六位老師來得較勤快。討論成熟後，由我寫成文章。所以，文章掛名的著者雖然常只我一人，但他們都是不可或缺的合作者。

我們這些都已退休的人，說不肯每天被孫子女綁住也好，說不甘寂寞想證明自己還有被利用價值也好，總是高高興興的相約見面，討論台灣中小學數學教育改進之管見。

說「管見」，是因為有自知之明，清楚我們沒能力提倡牽扯許多人的重大改革措施，只能談簡單易行的小方案。比如說，設計一些有趣的活動（遊戲、魔術類的），老師若有意願可以立即執行，運用的時間也不會太多。

本書的每篇文章，都在介紹這樣的活動。而且，這些活動都經過我們親自實驗教學過（在大台北地區的中小學，或是一些數學才藝班之類的教室），證實它們確實是受學生歡迎的，有助於引發他們對學習數學的興趣。

〈制式課程外的另類數學活動〉是本書最早的文章。當時有聽到一些年輕的數學老師抱怨，他們的數學課肯好好聽講的學生不到一半，很洩氣之類的話。所以寫此文給他們打氣，順便分享我們的經驗。

與此同時，筆者應邀到台北市某小學去當「燈謎」（也含自然科的題材）小組成員。此次活動的成功，令我印象深刻，立即動手蒐集更多資料，寫成〈數學燈謎──數學與生活語言的另類連接〉這篇文章。

「數學步道」則是在1991年秋，筆者和朱建正、林福來由加拿大的魁北克市開會回來後，開始推動的。許多學校在設置時，順便做了數學老師的進修培訓，效果不錯。開發中正紀念堂的數學步道時，在他們行政單位的建議下，寫了〈漫談數學步道〉這篇文章，來說明它在數學教育上的功用。

〈籃球場數學步道〉一文，記錄了某校學生在走此步道時的實際狀況。意在讓老師知道，學生會發生的錯誤和迷思，以及可能的因應之道。希望他們由這些事實，回頭反省他們的平常教學，有什麼可以改進之處。

「數學偵探」很受學生歡迎，每次玩這個活動，他們總是從頭high到尾，大家都想當小柯南。在活動中被選出來當謎底的數學物件，都會在學生腦海裡留下細節鮮明的刻印，得到最佳的學習效果。

「數學魔術」是最近學生很瘋迷的活動，本書有兩篇文章討論到。〈芳齡五問〉介紹了「猜年齡」的五種方式：兩種用到某些數的特性，因數分解和乘、除；一種用代數手法；一種用坐標概念；另一種用到「二進位」的定位法。用到的數學內容都有點深度，但〈數學魔術又一則〉只用到簡單的邏輯及「單、雙」的概念，是低年級小朋友也可以學到的魔術。小朋友一再要求重複玩，欲罷不能。

「國旗國旗我愛你」深獲老師認同，因為他們覺得學生會得到額外的學習（世界上其他國家的介紹）。而且此活動的數學教材如長度、面積、形狀和比例等，都是制式課程中很重要的。加上有動手畫國旗的機會，學生也喜歡。

〈從一條算則談起〉一文中，法國農夫比手勢輔助記住部分（六到九）九九乘法事實的材料，令大多數的師生感到驚豔。但很遺憾的，其中許多人對文中所討論的，為什麼這個算則為「恆真」，以及它沒有繼續被沿用而流傳的理由，並沒有什麼興趣。

教室裡的主角是學生，不是老師

其實，我團隊中的老師和我之間，對於出「怎樣的書」一直有很大的歧見。我們都同意讀者群是中、小學數學老師，和高中以上對數學有興趣的學生以及家長或一般大眾，其中以數學老師為主。但是怎樣的書，才會對老師有最大的幫助呢？

我團隊中的老師，都是常被全台灣中、小學校邀請去幫忙該校週三進修的優秀老師。根據他們的經驗，老師們都很忙，故如果能拿到準備好的學習單，他們會比較肯改變教學方式（照著學習單的流程）。若要他們自己設計學習單，一方面沒時間，另一方面不見得有能力。

他們曾經拿我寫過的文章，給學校老師讀，並要求把文章中的材料，改寫成學習單。結果是吃力不討好，最後常以提供事先準備好的學習單收場。由此可證，我們的書所含的內容及其表達方式，跟目標端的老師（還是有心想進修改變的老師）有一段不小的距離。

我承認這段距離的存在，但對一般老師的成長有不同的看法。我認為一個人的改變，一定起自意識型態。若非如此，則只是表面上的教學法技術層面的改變，他（或她）不會變成更好的老師。譬如說，〈從一條算則談起〉中介紹了各種的乘法，老師們很高興，這符合了目前制式課程中，要求多元解題的原則。但是，課程為什麼這樣要求？他們大多說不出話來，也懶得去理解！

2012年4月，我應邀到杭州大學去參加「千課萬人」的活動。這是個大型的數學教育秀場，大陸各地報名參加的小學數學老師（在大陸是專任，即這些老師只教數學課）就有四千多人。演講結束後的Q&A時段，有人問我為什麼需要多元解題（他們的課綱中也如此要求）？

我反問他怎麼想？他愣了一下後說：「『現』過後發現學生很佩服我。」我說：「你實在很幽默。」這恐怕也是許多台灣老師的想法。他們把上一堂數學課，當作一場秀，自己是個數學藝人。若是這樣，很難上好數學課。

教室中的主角是學生，而非老師。教學的目的，是要讓學生因學到而成長為一個未來社會中的人才，至於老師的形象如何，一點也無關緊要。內人常嫌我出門上課或演講時穿得邋遢（不肯穿她幫我買的名牌衣服），我向她保證在開講5分鐘後沒有人會記得我穿什麼衣服。有次我在演講中間脫了鞋襪，講完才有聽眾發現我光著腳丫子。

問題有兩個，即如何選擇適合的教材，以及如何的教學才會讓學生學到。這兩個都是值得花很多篇幅討論的課題，這裡也不想討論。只想指出，要成為一個好的老師，是要稍微想深一點點。比如說，多元解題的課題會被提出來的原因，可分成下面幾點來說：

教育最後的目的，是使每個學生變成一個健全的公民，這包含會思考。即若他對某議題有興趣，就要能思考後有他自己的意見。所以，數學教育的第一步，是老師在提出問題（當然要讓學生感興趣）後，要求每位學生想出解法。

初期，學童提出的想法會南轅北轍，甚至離譜，此時一定要加以鼓勵（不然他以後都不想了），再來討論改進之道。這樣子，兒童想法就會百花齊放，百鳥爭鳴，多元解法紛紛出籠。

兒童的解題想法，和老師或其他人提供的民俗算法，以及解一些特殊題目非常有效的「撇步」，都只是過渡性的。老師一定要花時間，將之慢慢引導到制式的想法──這些都是比較形式而抽象的。這些制式的想法很重要，因為等到後來在我們腦袋中堆疊、建構數學知識時，這樣的想法之延伸性才夠強。

1991年左右，台灣的小學數學課程修訂的時候，剛好是1988年解嚴、台灣步入民主時代的關鍵時刻，提出多元解題想法為教材一部分，意在強調「任何人的意見都應該被尊重」，是有其時代意義的。

數學科是各級考試都很被重視的科目，老師都認為解題效率較高的制式解題想法是得分的必要，所以對學生學習有嚴重的強制性（對非制式解法，有很多老師不給分），讓一些學生覺得像是傀儡（不能有自己的想法），而討厭數學。現在，這種狀況已有改善。

鼓勵兒童勇於發表「另類的解題想法」，有助於發散性的運思或創作，但也一定要有收斂於制式解法的社會化歷程（不然，很多小孩將來恐怕變成跟社會格格不入的怪物），其起點就是傾聽，並想辦法理解別人的想法，然後透過質疑、澄清、討論、辯難各種解法之優缺點的過程，來形成社會共識。

這種過程雖然很花時間，卻是培養〈從一條算則談起〉一文中談到的「知識之上層結構」最好的方法。教育（把小孩變成對複雜的人類社會有用的人）本來是漫長的路程，許多家長卻常期望教學有立竿見影的效果，而很多老師也跟著這種想法起舞，真是怪事。下面，提供一個案例。

孩子的成長，是需要時間累積且急躁不得的

蔡聰池退休前是台北市建國中學的數學老師，曾因忙碌（也許是接太多家教學生）而病倒。病癒後，參加了筆者和好友朱建正教授（已過世）合開的「數學老師聊天會」，每週二晚上見面三小時（此聊天會維持了五年，產生了多位早期師鐸獎數學組的得主），討論

老師對數學或數學教學方面的疑難問題；

老師想做的教案設計，執行後的檢討；

若沒人提出問題或想做什麼事，則由朱教授和我講些外國的教育見聞和理念。

在這樣的氛圍下，蔡老師啟動了在建中的幾輪教學實驗，每次都由高一帶一班學生到高三（兼導師）。數學課的教學法類似上述，重視自學和討論。這樣的學習進度，開頭當然很慢（學生需要時間適應）。所以，該班高一上的數學考試成績，在同年級35班中排名殿尾，不足為奇。

學生慢慢適應後，高一下成績升到二十幾，高二上又升到二十左右，高二下躋到第十附近，高三就進入前十名以及前五名了。大專聯考的成績更炫，他的班總平均約430分，這相當於拿到台、清、交、成等大學的入學證書。

蔡老師說，這有點像信教。「老師對自己的教育理念要有信心，學生和家長也信任我，給我三年，我當然可以做出成績。頭一輪較難，但第一輪的亮麗成績單，使第二、三輪的學生和家長都無條件信任，目標就更容易達成。」

當然會有讀者質疑，建中學生本來就很優秀，能如此不見得能證明什麼。老實說並非如此，建中畢業生的聯考成績平均歷年都不到400分。蔡老師在最後一輪，特別去接一班含許多加分後才進到建中的學生，三年後也可以達到相同的效果。可見，這樣的教育理念，是正確的。

鄔瑞香老師（已逝世多年）是台北市東園國小的教務主任（後來是輔導主任），曾擔任過我國科會研究計畫的助理，也是「數學老師聊天會」的成員。她在1989年起帶了一班做教學實驗，由一年級到六年級。

該年的一年級級任老師中，有一位是代課老師，她表明不擅長教數學，鄔主任遂和她換課，教該班的數學課。後來該班的幾任級任老師都和她換課，讓她教了該班六年的數學課（該班也因此實驗教學，沒在二年級升三年級，及四年級升五年級時和別班的學生重新組合分班）。

在該班一年級的尾巴，六月中有外國的數學教育學者來台開會，堅持要看我們小學數學的教學現場。沒有人願意的狀況下，我拜託鄔主任教一堂課 ，才使這個實驗班曝光。

她的教學令人驚豔，學生的表現更是搶眼。課堂中充滿了對學生的挑戰，和師生、生生互動。之後陸續有許多人請求觀摩，全台九所師院（現在都已改成教育大學）數理系學生，更視此觀摩為畢業前的朝聖之旅。

到了四年級，這班學生已經都很成熟了，故能自主學習。班內的合作互動也很棒，校內班際的競賽如整潔、合唱、班級接力賽跑、躲避球等比賽，也在該年級的十多班中每次奪冠。鄔主任說，這班已成為很有自律的小社團，不需要太多外力的介入，就可以自行運作得很好，各種成績自然會變得比別的班級好很多。這不正是我們的教育需要的嗎？

這兩個案例告訴我們，小孩的成長是需要時間累積的。不但家長急躁不得，老師和整個社會也應該有耐心，鼓勵教育界的正向作為。

正向作為包含許多事務，譬如老師做些小型的教學實驗，嘗試一些新的教材教法。本書各篇文章所討論的材料，都適合老師這方面的運用。當然，老師們一定要花時間，消化這些材料，自行將之改編成可用的教材。

這裡順便把本書中尚未介紹的兩篇文章加以說明。〈切成幾個小正方形〉記錄了四位老師，在尋求自行開發適當教材的過程，思考和解題時碰到的困難，以及他們的解決之道。希望將來面對學生時，這段歷練（的反省檢討）能幫忙他們，來協助學生度過難關。

另一篇文章〈閒話費米問題〉，介紹了滿另類的題型──費米問題。其特徵是解題者不容易切入，因此被認為是培養學生創造能力的最佳題目（若學生沒被嚇跑），故運用時要先想清楚：學生是否能承受挫折？老師何時介入？如何介入幫忙？筆者在幾班數學資優班上課的狀況，學生可是鬥志高昂（小組合作解題），效果不錯。

由此筆者聯想到，據說近期就要開辦的十二年國教，以及有人想要保留的特色班級。筆者接觸到一些著名高中的一些數學老師，還有一些國中的數學老師，他們都想要從我口中聽到這方面的訊息。我已退出江湖多年，不會有官方人士找我。但顧名思義，「數學特色班」應該是培養高超數學能力的學生之班級。數學能力，除了擁有廣博的數學知識之外，還要有運用這些知識來解決問題的能力。

這裡所說的「解決問題」，當然包括例行性和非例行性的問題。解決後者的能力，一方面需要收斂性的分析能力，另一方面又得有發散性的連接能力。這兩種能力看似相反的極端，但卻可以調和存在於一些人身上。培養的方式可能有多種，但偷學大師費米的手法也可能是一條路。

數學考滿分 ≠ 數學能力最好

講到這裡，筆者忍不住聯想到韓國的「諾貝爾學院」。韓國人是很強悍的民族，近年來經濟發展快速，汽車、電子、文創，連電玩都由國家出資開發而得到很好的成績。但最傷他們民族自尊心的是，韓國人到現在為止，尚未產生一位「諾貝爾獎」得主。

於是，韓國政府投資大錢開辦了「諾貝爾學院」，從小學開始到大學，把有潛能的資優小孩收進來培養。教師全是博士，高薪聘用，希望有一天能開花結果，補足韓國的這個大缺憾。這個訊息令我感觸良多。

我不清楚「諾貝爾獎」得主是否可以特意培養得出來？在我心目中，當社會富足，可以讓一些教授自由的做研究（美國的情形）時，諾貝爾獎得主比較有機會產生。當然有人說，跟對老師和做對題目，也很重要。大陸請了許多諾貝爾獎得主到那裡兼課，應該就是這個道理。但如此執意的去做，個人覺得不會形成好的學術風氣。

韓國政府和台灣政府的作為，是兩個極端：韓國政府做太多，而台灣政府做太少。近年來經濟發展的差異由此可見。教育上該如何？多做好？還是不做好？讀者可以自己想想，提出自己的看法。

不管是多做還是少做，我的意見是，我國的教育制度有問題，需要改革。最致命的是考試主導了教學，許多教室變成「只有考試，沒有學習」的場所。這種現象，是由奇怪的社會價值觀導致的，「萬般皆下品，唯有讀書高」！

目前的台灣社會，許多博士、碩士找不到工作，變成了靠父母養的「啃老族」，不過水電工、木工等黑手工人奇缺。但如此還不能讓一些家長覺悟，小孩的教育，適性最好：真的，「男怕入錯行」。別的行業我不太清楚，學術圈存在著許多不適合走這行的人，他們真的很痛苦。

現在的升學考試有一個大的缺點，即需要「滿分才能進到最好的學校」。筆者不相信有「最好的學校」，但若假設有，他們收到的學生也不是「最好的」。因為數學考滿分的學生，通常數學能力都是次等的！

數學思考的特質在理想化，即在思考時要「去其枝葉，留住主幹」。例如在〈制式課程外的另類數學活動〉中，筆者在討論「河內塔」時，說其解題關鍵在看出「3盤的過程中，看出2盤的過程；……；n  1盤的過程中，看出n盤的過程」，其他細節都要暫時捨去，才能看到這個主流。在複雜問題的解題中，若不如此則很難找到解題的關鍵。數學能力最好的學生，永遠如此思考；細節的忽略，會使他沒辦法考滿分。

在國家的領導人才中，上述的數學能力是很重要的；只要抓住正確的大方向，細節就交給幕僚去處理！如此看來，數學教育的正常化，是培養國家領導人才的正途，值得我們好好的去努力！

嘮嘮叨叨講了許多話，是老人的語重心長，謝謝讀者有耐心看到這裡。若覺得我撈過界，討論的事項超過數學教育的範圍太多，還請見諒。

培養孩子的數學能力，值得我們好好努力

這是一本集子，收在裡面的十二篇文章，都是筆者退休後的這幾年陸續寫成的。文章中的許多材料和想法，其實不完全是我自己的，而是和幾位已退休的中、小學數學老師討論出來的。這裡先謝謝他們，他們是

戴寶蓮　許文化　林志忠　張凰蕙　陳彩鳳　蔡淑英

李和淑　宋立忠　楊守容　呂玉英　李信仲

我們小組的每兩週見面一次，並非每次大家都到。比如說，本書形成的期間，上排的六位老師來得較勤快。討論成熟後，由我寫成文章。所以，文章掛名的著者雖然常只我一人，但他們都是不可或缺的合作者。

我...

0. 引言 培養孩子的數學能力，值得我們好好努力
1. 制式課程外的另類數學活動
2. 漫談數學步道
3. 國旗國旗我愛你
4. 數學偵探
5. 數學燈謎──數學與生活語言的另類連接
6. 芳齡五問
7. 也算是一種大陸經驗
8. 數學魔術又一則
9. 從一條算則談起
10. 切成幾個小正方形
11. 閒話費米問題
12. 籃球場數學步道

0. 引言 培養孩子的數學能力，值得我們好好努力
1. 制式課程外的另類數學活動
2. 漫談數學步道
3. 國旗國旗我愛你
4. 數學偵探
5. 數學燈謎──數學與生活語言的另類連接
6. 芳齡五問
7. 也算是一種大陸經驗
8. 數學魔術又一則
9. 從一條算則談起
10. 切成幾個小正方形
11. 閒話費米問題
12. 籃球場數學步道