神奇酷數學（7）：面積與體積的測量絕招

別惹上測量！

是的，竭誠歡迎你來到數學中最最要命的部分——測量的奇妙世界！

即使你才出生十分鐘，測量已經開始控制你的世界，因為你立刻就被抱去測量

體重了（也就是這個時候，所有的三姑六婆全都滔滔不絕的說著傻話，像是「噢！你們看，她的鼻子和馬克叔叔的多像啊！」等等）。測量會持續不斷的干涉你的生活，直到你被放入一個長長的木箱子那一天為止。

你沒辦法逃避測量，也無法忽略測量，更重要的是：你不能隨隨便便對待測量！就像以下這個警局檔案中的故事所給我們的啟示：

* * * * * * *

城市：美國伊利諾州的芝加哥

地點：浮華大飯店的閣樓套房

日期：1930年3月13日

時間：深夜11：23

「你們不要用那種眼光瞪著我看，好像我是個怪胎或什麼的。」一位頭戴著長長兔耳朵的女士說：「我必須在三分鐘之內回去，快點行動！」

「你可別忘了，在這裡誰才是老大。」刀鋒波伽利慢條斯理的說。其他六個男人分散在黑暗中的各個角落，一句話也沒說。雖然桃莉的臉頰上還黏了幾根抖動的長鬍鬚，但是她這個人可不是好欺負的。

「你也別忘了是誰搞定這整個行動的！」她像連珠砲一樣的說：「是誰得到這個機會，可以在史東尼基金會的晚宴中扮演復活節的兔子？是誰偷到了這個房間的鑰匙？是誰擬定帶著價值一百萬美元名畫脫逃的計畫？」

「我還是看不出為什麼一張這麼差勁的圖畫會值一百萬美元。」黃鼠狼喃喃的說。

「對啊！」鏈鋸查理也跟著說：「如果圖畫這麼值錢，為什麼我們要用偷的，而不自己畫？」

「因為你不是三百多年前死在歐洲。」桃莉說：「你們知道現在要怎麼做。收藏圖畫的房間在比這裡低六層樓的地方，而每一層樓有四公尺高。」

「總共是二十四公尺。」一位瘦小的男人說。

「阿數計算得沒錯。」黃鼠狼說：「可惜，我們不知道一公尺有多長。」

「那是巴黎的法國人最新制定的長度單位。」桃莉拋出一條軟尺，並且說：「這條軟尺有一公尺長，你們利用它剪出一條二十四公尺長的繩子，然後派一個人從窗口沿著大樓的牆壁垂降下去，爬進房間裡，把畫偷出來。」

「你是說繩子嗎？」單指吉米問。

「沒錯，我說的是繩子。」桃莉說：「你們有帶繩子吧？對不對？」

六個人全都轉頭看著刀鋒波伽利，刀鋒很高興大家又注意到他了。

「我們不需要用到繩子啦！」刀鋒堅定的說，希望能表現得聰明一點。

「喔，是不需要啦！」桃莉嘲笑著說：「而且我猜呀，你們當中有人可以不靠繩子就能從人行道飛到半公里高。哼！我倒要瞧瞧！」

「你現在是不是該端甜點出去了？」刀鋒冷不防的說。

「差不多了。」桃莉說：「記住，無論你們有沒有帶繩子，等一下我們在路易吉餐廳碰頭時，你們最好是帶著那幅價值一百萬美元的名畫。」

桃莉說完話，便端著一大盤甜點，扭著兔子尾巴，趾高氣揚的走了。

* * * * * * *

「那麼，刀鋒，我們之中有誰會飛呀？」豬仔問。

「一定不是你。」黃鼠狼嘲笑的說：「憑你的體型，想把你垂降下去，還不如把窗戶拉高到你面前。」

話才說完，短短不到一秒的時間，豬仔已經把黃鼠狼的頭塞進垃圾桶裡了。

「那麼，老大，你怎麼會忘了帶繩子？」單指吉米問。

「我什麼也沒忘記。」刀鋒說：「如果我們被警察攔下來搜身，他們會找到什麼？」

「十幾把槍、一些飛刀、一顆手榴彈、半瓶毒藥、一把鏈鋸，和足以把芝加哥炸飛到加拿大去的炸藥。」鏈鋸說。

「是啊，但是如果他們發現我們帶了一條繩子，那會怎麼樣？」刀鋒接著說：「我們就會變得很可疑！」

「那現在要怎麼辦？」豬仔問。

「每個人都把褲子的吊帶和腰帶解下來，」刀鋒說：「然後綁成一長條。」

經過一陣抱怨以及手忙腳亂之後，一條由五顏六色的服飾綁成的長布條平放在地板上。

「阿數，你用軟尺量量看。」刀鋒說：「總共有多長？」

「剛好二十四公尺。」阿數說。

「太完美了！」刀鋒說：「現在只剩一個問題要解決——誰要從窗戶垂降下去？」

「哦……哦……」從垃圾桶裡傳來一陣聲音。

「我想，他是說『我，我』。」單指吉米說：「大家認為怎麼樣？」

「當然，就是他！」大家立刻異口同聲的回答，並急忙把垃圾桶拿開。

幾分鐘之後，黃鼠狼坐在窗台上，布條最末端的腰帶緊緊綁在他的腋窩下。

「現在有誰要幫助這隻小鳥離巢呀？」刀鋒說。

由於有「六」臂之力的推動，黃鼠狼落入黑暗的夜空中。

「啊——！」啪噠！

六張臉全探出窗外，看到小個子停在離他們下方很遠的一個窗台邊。

「好了。」黃鼠狼說：「我要怎麼打開窗戶？」

「你不會把它踢破嗎？」刀鋒向下喊。

「它看起來滿堅固的，」黃鼠狼說：「但是如果你們能拉緊一點，我就可以擺盪身體，然後撞破它。」

可惜此刻黃鼠狼沒有辦法看到其他人的臉，在他悲慘的一生當中，就只有這麼一次，他們對他的敬意升高到接近英雄崇拜的地步。

「每個人都用雙手緊緊抓住布條。」刀鋒下令。

「但是我們必須空出一隻手抓緊褲子啊！」笑面煞星說：「因為我們的腰帶和吊帶全都綁成布條了。」

「聽好了，我說用雙手，就用雙手！」刀鋒強忍著淚水說：「下面有個勇敢的人，而現在他只能依靠我們。」

慢慢的，一個接著一個，每個人都伸出另一隻手抓住布條。當他們這麼做時，他們的褲子便靜靜的滑到腳踝邊。這真是一個莊嚴神聖的時刻！

「好了，黃鼠狼！」刀鋒大喊：「盡力試試看！」

用力一蹬之後，黃鼠狼把自己晃離大樓的牆邊，等他晃回去時，他勇敢的把腳伸在前面……

* * * * * * *

地點：上主街的路易吉餐廳

時間：3小時又17分鐘之後

「我實在不想聽這些。」桃莉說：「但無論如何，再說一次給我聽。」

圍在桌邊的七個男人，死氣沉沉的瞪著他們面前的義大利麵，經過兩個小時，麵條幾乎老到快變成橡皮了。鏈鋸查理甚至認為，他寧願自己三百年前就手握畫筆死在歐洲──這樣至少他就不必呆坐在這兒，聽一個鬍鬚下垂、耳朵又皺成一團的女人訓話。

「你確定你做的測量正確嗎？」刀鋒歎了一口氣。

「當然！」桃莉斷然的說：「到底為什麼這隻長得像人的狒狒會撞破比預定侵入的地方低兩層的窗戶？到底為什麼他會直直落在警察局年度餐會的餐桌上？到底為什麼明天早上我們全都要上法院？」

「可不可以不要一直問問題！」吉米咕噥著說。

「好啊，當然可以。」桃莉爽快的說：「只要你們開始回答問題。嘿！餅乾臉，你要到哪裡去？」

「我要上厠所。」笑面煞星一邊提著褲子一邊邁開步伐。

「天啊，賈博亞尼先生，」服務生班尼小聲的問：「你的腰帶到哪兒去了？」

「它被拉壞了。」笑面煞星說。

「拉壞了？」桃莉問：「為什麼會拉壞？借給這位屁股像水牛的人嗎？」

「我才沒有借腰帶。」豬仔說：「我們的腰帶和吊帶全都拿去綁成一條長長的布條了。」

「布條？」桃莉驚訝的問：「什麼布條？」

「嗯，你知道的，」刀鋒開始說明：「就像這樣……」

但是桃莉比他搶先一步。「你是說，你們這些呆瓜把你們的腰帶和有彈性的吊帶綁成一條長布條，測量出總共有二十四公尺長，然後叫老鼠臉吊掛在它的末端？如果我猜錯了，請糾正我。」

「布條測量出來絕對是二十四公尺沒錯。」阿數說：「我懂得怎麼看尺。」

「布條測量出來當然是二十四公尺沒錯，」桃莉深深的歎了一口氣說：「直到因為他的體重而拉長。你們這些笨蛋一點都不懂測量！」

（待續……）

別惹上測量！

是的，竭誠歡迎你來到數學中最最要命的部分——測量的奇妙世界！

即使你才出生十分鐘，測量已經開始控制你的世界，因為你立刻就被抱去測量

體重了（也就是這個時候，所有的三姑六婆全都滔滔不絕的說著傻話，像是「噢！你們看，她的鼻子和馬克叔叔的多像啊！」等等）。測量會持續不斷的干涉你的生活，直到你被放入一個長長的木箱子那一天為止。

你沒辦法逃避測量，也無法忽略測量，更重要的是：你不能隨隨便便對待測量！就像以下這個警局檔案中的故事所給我們的啟示：

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城市：美國伊利諾州的芝...

推薦序

曹亮吉

大數學系退休教授‧大學入學考試中心顧問

學數學不必板著臉

小朋友開始學數數目時，通常是抱著遊戲的心情，可以順著數、倒著數，或跳著數……身體也會跟著往前走、倒退走，或跳著走……這樣簡單的小遊戲，不僅讓小朋友學會如何數數，也享受了愉快的心智活動。

然而一旦進入國小，學習的氣氛往往有一百八十度的轉變——數學變成了嚴肅的課程，有一定的範圍和解題過程，不容有狂野的疑問與探索。

如果有學童在學習分數時，看到26/65的分子、分母各有一個6，於是突發奇想，把共同的6「約分」掉，剩下2/5，結果竟然是正確的：26/65恰好等於2/5！老師會怎麼解釋呢？

一派正經的甲老師可能會說：這不是約分，因為6不是26和65的公約數，你這樣亂來會出錯的。學問大的乙老師可能會說：照你的規矩「約分」，還有好幾組兩位數除以兩位數的分數有同樣的性質，例如49/98＝4/8，可惜要想找出所有這樣的分數，要用代數的方法，遠遠超出你的能力範圍。臉上總是掛著微笑的丙老師則可能會說，要找出所有這樣的分數，的確超出你的能力範圍，不過你可以用嘗試錯誤的方法，看看有什麼發現。

多數學童在求學過程中，遇上的都是一派正經或學問大的老師，會微笑看待「非正統」數學的老師，則相對較少。至於家長呢？大概絕大多數會告訴兒女，別浪費時間做太多無謂的嘗試。

那麼「神奇酷數學」呢？我們來看看它如何證明三角形的三個內角和是一百八十度。書裡說，你可以在紙上任意畫一個三角形，再拿剪刀把三角形剪下來，然後撕下三個角並湊在一起，看看會不會產生一直線。這樣的實做經驗，比起正經八百的證明，更能震撼學童的內心。這套書中還有許多經由實做就可以領會的幾何定理，就算複雜如巴斯卡定理，小讀者都可以在愉快的閱讀中領略幾何之美。

我常說我們的數學教育有個毛病：不能精準算出的不教、不能嚴格證明的不學，於是許多好的數學，包括有用的估算、深具幾何美的許多定理，就被踢出學習的範圍。

「神奇酷數學」這套書之所以吸引人，就因為它所營造的氣氛，可以讓讀者在輕鬆的心情下，學到許多一般人認為應該是嚴肅的數學內容。建議學生、老師還有家長快來欣賞這套書，不必板者臉，只要臉上帶著笑容，就能體會數學的好玩、好用和無窮樂趣！



洪萬生

台灣師範大學數學系退休教授

老少咸宜的英式數普經典

英國一向具有多元化的數學普及讀物，學院派有伊安．史都華（Ian Stewart）與馬庫斯．杜．桑托伊（Marcus du Sautoy）兩位，專業的科普作者有羅伯．伊斯特威（Robert Eastaway），還有像查坦．波斯基（Kjartan Poskitt）這種工程背景的數普作者與電視科普節目製作人。這些數普作者營造出不同的風格，滿足了不同階層讀者的需要，讓數學普及的意義充分彰顯，這種英倫特色，值得台灣效法。

而在眾多的英國數普作品中，波斯基的著作閱讀起來是最沒有壓力的。雖然按照內容與編寫方式，他的作品主要是為了8歲以上的學童所撰寫的，不過不少英國的成年人普遍上也有計算能力的問題，譬如一位英國教育部長曾經在電視台的現場訪問節目中，背錯了7與8的乘積（他的答案是54，而且非常堅持）。所以，波斯基的著作也有助於成年人釐清數學概念，可以說是老少咸宜。

儘管這套書的閱讀沒有壓力，但內容可一點也不鬆散。事實上，這套書幾乎含括了國小中年級以上所有的數學單元，包括加減乘除四則運算、分數與小數互換、位值、估算、時間、重量、角度、面積與體積的度量，甚至統計學的基本常識等等。其次，作者十分強調數學推理或論證的重要性，設計了很多數學謎語、魔術把戲與速算絕招，並引進一些高等數學問題，在在呼應數學教學與普及的價值與意義。再者，這套書編選了許多重要且有趣的數學故事軼聞，希望藉由數學家的思考歷程，激發學童的無限創意。最後，插畫者將數學元素的趣味性表露無遺，畫龍點睛的將內容做了更活潑生動的呈現，成為這套書最迷人的特色。

對於國內學童來說，這套叢書中的計算技巧，也許根本不構成問題，但是卻可以從中釐清許多數學概念上的混淆之處；家長可以趁此機會了解目前國際數學教育的改革趨勢與教學理念，在居家陪讀時有所憑藉與參考；而小學（數學）教師一定可以從中獲得一些教學的靈感或啟發；即使對於計算技巧嫻熟的成年人，也有溫故知新的效果。

本套書的編輯方式相當有創意，這表示作者在期待讀者「彎曲」（bend）並「逗弄」（mash）心靈之前，已經事先將他自己的心靈「彎曲」且「逗弄」過了。所以雖然老少咸宜，但是絲毫不減其「新奇酷」之特色，值得大力推薦。



楊美伶

現任臺北市國語實驗國民小學校長

現任臺北市國小數學輔導小組主任輔導員

現任臺北市公私立國小校長協會理事長

一連串會心一笑的「啊哈！」

「神奇酷數學」是一本讓你看了不禁想繼續把它讀完的數學故事書，它真的很神奇！

大多數的人，在書架上一看到「數學」，多半就跳過它。而本書作者深入淺出地將各種數學知識以非常自然、巧妙且幽默的串連方式，呈現在讀者面前，讀起它來，沒有負擔，不用擔心自己的數學好不好，因為它真的太有趣了！它時而充滿懸疑、時而穿越古今、時而讓你動動腦筋、時而讓你玩玩遊戲、時而讓你哈哈一笑，就這樣，讓你了解了「喔！原來一天、一年是怎麼命名的？」、「喔！原來0這麼有威力？」、「喔！原來計算機也不是萬能的？」、「喔！…？」等，一連串會心一笑的「啊哈！」等著你來發掘！

這一系列的套書不僅兼具數學性、故事性和趣味性，更難得的是它有別於數學教科書循序的邏輯安排，帶領讀者對數學知識有更廣泛、宏觀、統整性的了解，讓孩子們對「數學」的看法產生改變——數學不再只是加減乘除、計算與應用題；數學不再是每天寫不完的參考書和測驗卷。本書拓展孩子們對於數學知識的源起、數學與生活及其他面向關聯的視野，而整合的數學視角，讓孩子對數學更有感覺。雖然書中談及如指數、球體體積的算法等看似是國中的數學學習範疇，但是由於能夠和小學的數學知識產生連結，而且文字敘述淺顯易懂，一般而言，中年級以上的孩子都有能力閱讀它。小學生讀這一系列的書，可以從感到有興趣的篇章讀起，如果文中提到沒有學過的數學內容，就放膽讀下去無妨，它不會阻礙任何探索數學的樂趣。

本系列同時也是值得數學教師閱讀的教學參考書。數學，總是讓人望而卻步，如何讓孩子們對數學產生興趣、對數學的知識掌握意義、感受數學的美與威力，本書提供了許多值得補充與參考的資料與做法。身為家長的又如何陪伴孩子經歷這一趟探索數學之旅呢？其實很簡單，不要催促、不要指定，只要陪著孩子一起閱讀、一起分享、一起討論，就能共同享受這一趟閱讀數學的美好！



房昔梅

國立臺北教育大學附設實驗國民小學數學教師

驚喜連連的數學之旅

每當聊起自己的工作，最常得到的反應是：「你是數學老師哦？」「是啊！」「真是太可怕了！那是我最差的科目，我從小就最害怕數學。」無論男女，不分職業，反應都很一致。也聽過很多學生問：數學是誰發明的啊？為什麼有這麼討厭的東西？什麼時候才可以不要學數學呢？這樣的心聲發人深省，然而回顧邂逅數學的歷程，從幼兒時期父母親牽著小手上樓梯開始，「1、2、3…」自然的琅琅上口，猜拳、玩撲克牌……學齡前兒童幾乎沒有不喜歡數學的。然而從進入小學開始，繁複冗長的計算，帶來愈來愈多的挫折感，孩子們與數學的感情便日益淡薄。

學校裡的課本，基於沈重的教學份量及有限的上課時數，必須有結構有效率的組織章節，內容嚴謹，卻顯得不夠活潑，導致孩子們興趣缺缺。如果課本像漫畫，數學課可以玩遊戲，那麼孩子們一定更樂意上數學課！這樣的心聲，我們聽到了。這一系列的「神奇酷數學」，將帶領孩子們進入一段令人驚喜的數學旅程。透過說故事的活潑筆法，呈現豐富的知識，孩子們不但可以溫習學校所學，還可以補充課堂沒有教的知識，體會數學與科學、藝術結合的奧妙，更輕鬆愉快的學習數學。

閱讀這一系列的書籍，孩子們可以經由數學家的故事學習畢達哥拉斯、歐幾里德的思維，認識各種數學符號與常用的記數系統，知道0的發明過程；也可以學習一天的由來與日期時間的計算；無縫隙拼排與阿基米德，分別結合了藝術與科學領域，拓展孩子們的視野。書本中猜謎與推理的情節，以及有趣的小魔術，滿足了孩子扮演小偵探和魔術師的想望，想不愛數學都難！

這套書適合三年級以上的孩子們閱讀，不需要受到教材的限制，故事的情境能夠充份配合孩子們的生活經驗。讀到已經學過的段落，可以當成教材的延伸學習；學校沒有教的知識，就當成最佳的補充教材；遇到小學還沒教的內容（例如：等差、等比數列）時，也不要緊張，跟隨著故事情境閱讀，你會發現：其實並不難，原來你也可以輕鬆學會國中數學。

透過生動的故事情節，融入豐富的數學知識及多樣化的數學素材，讓孩子們體會數學柔軟、親和的一面，無論親子共讀或個人閱讀都很適合，當然，跟同學一起探險會更刺激！現在，就讓我們準備好心情，一起出發吧！



陳偉民

本書譯者

數學喜劇開鑼了！

　

這絕對不是一套「正常」的數學書。

初次接觸這套書時，覺得它的內容非常無厘頭，作者也很喜歡拿數學家、出版社和插畫家開玩笑，但一路讀來，卻令人愛不釋手。這套書把國小中年級以上的數學主題改頭換面，以一個又一個「要命」的故事串連起來，可能是兩大黑道家族的火拼，或是一項拯救公主的任務，也可能是邪惡教授所設下的圈套……透過這些驚險刺激的故事，讓讀者了解到：不懂數學的後果可能會很「要命」！但儘管內容就像一連串嘻笑怒罵的短劇，轉眼間就可以看完一本，但是孩子卻能在其中學到扎實的數學概念與解題本領！

就主題來說，本套書包羅萬象，包括算術、錢幣制度、級數、平均值、分數、質數和幾何，囊括了國小數學最簡單的內容（如加、減、乘、除）和最複雜的概念（如拓撲）。因為設定的讀者是小學中年級到高年級的學生，內容必定是以基本的概念為主，並力求說明清晰簡單；但即使是像我這樣的大人，也可以由書中獲益。例如我在小時候學習算術時，只知道照著老師教的方法依樣畫葫蘆，知其然而不知其所以然，但是本書作者對每一個計算步驟都做了詳細的解釋，使人真的了解其中的用意，也讓我對以前學過的數學主題有了不同的體悟。對於複雜的概念，當然不可能對小讀者們介紹太困難的內容，但在作者的精心設計下，小讀者們仍可以在玩遊戲和變魔術的過程中「享受」這些數學概念。

作者在編寫本叢書時，一直把握幾個原則：不使用複雜的計算，不使用精巧的儀器，盡量動手做。像書中要證明三角形內角和為180∘，用撕紙的方式就完成了。小讀者們長大後，對於書中所提過的數學名詞必定毫無畏懼！

什麼樣的人才能寫得出這樣的奇書？作者波斯基先生的經歷非常豐富，他在大學讀的是工科，畢業後曾在電視目裡跑過龍套，在俱樂部演奏過鋼琴，甚至還當過脫口秀的諧星。因為「神奇酷數學」在世界各國造成轟動，所以他目前致力於兒童數學的推廣工作，有時一天要到英國各地對學童進行兩三場演講，聽眾人數最多可達1200人。最特別的是，他的演講不單單是「用嘴巴講」，還會「動手示範」精彩的數學遊戲和魔術，難怪叫好又叫座；而這些又酷又神奇的動手做，大多數都收錄在你手上這套「神奇酷數學」；因此請繼續閱讀本書，你就能了解這些遊戲和魔法的祕訣以及背後的原理了。

推薦序

曹亮吉

大數學系退休教授‧大學入學考試中心顧問

學數學不必板著臉

小朋友開始學數數目時，通常是抱著遊戲的心情，可以順著數、倒著數，或跳著數……身體也會跟著往前走、倒退走，或跳著走……這樣簡單的小遊戲，不僅讓小朋友學會如何數數，也享受了愉快的心智活動。

然而一旦進入國小，學習的氣氛往往有一百八十度的轉變——數學變成了嚴肅的課程，有一定的範圍和解題過程，不容有狂野的疑問與探索。

如果有學童在學習分數時，看到26/65的分子、分母各有一個6，於是突發奇想，把共同的6「約分」掉，剩下2/5，結果竟然是正確的...

別惹上測量！ 5
究竟有多長？ 14
配克、掌寬、品脫和英錢 28
萬物的「尺」度 53
大東西、滾輪和十公噸的尺 62
針頭可以容納幾公尺長的線？ 71
封盒難題 77
你有發憤「圖」強嗎？ 84
從正方形到咖哩汙漬 90
重量以及為什麼大家都犯了「重」大錯誤？ 109
尖銳、優美和晃動的角 113
油桶、王冠和原理問題 125
你的密度有多大？ 143
為什麼時間會失控？ 156
各種神奇的測量 166
最遺憾的測量 173

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重量以及為什麼大家都犯了「重」大錯誤？ 109
尖銳、優美和晃動的角 113
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最遺憾的測量 173