毛起來說e

e：一個數字的故事

我第一次接觸到π這個數字，應該是在九歲或十歲的時候。父親的一位朋友有個工廠，有天他邀請我去參觀。屋子裡到處都是工具和機器，空氣裡瀰漫著重重的汽油味。我對五金這類東西從來就沒什麼興趣，父親的朋友必定察覺到我的無聊，於是帶我去看一個上面有好幾個飛輪（flywheel）的大機器。他對我解釋說，不管一個輪子是大是小，它的圓周和直徑都維持一個固定的比例，而這個比例大約是3又1/7。這個奇怪的數激起了我的好奇心，而當他補充說明，從來還沒有人把這個數確確實實地寫下來——只能寫出近似值的時候，就叫我加倍地驚訝了。

可是這個數太重要了，重要到需要用一個符號專門代表它，也就是希臘字母π。我禁不住自問，為什麼像圓這麼簡單的形狀，會跟一個這麼奇怪的數字有關聯呢？那時我還不大知道，就是這個數字迷住科學家將近四千年，而且有些和它有關的問題，到現在都還沒得到解答呢。

幾年之後我讀高二，正修習代數的時候，另一個數字又吸引了我的注意。課程裡面有個很重要的部分，就是對數（logarithm）。那個時候離掌上型計算機的發明還早的很，任何想要學更高等數學的人，都必須使用對數表。別提那些表有多可怕了，封面是綠色的，由以色列教育部發行！我們得做上幾百道的習題，還一邊擔心會不會看漏一列或查錯一行，真可以把人煩死。

我們用的對數叫做「常用對數」（common logarithm），是以10為底的，感覺很自然。但是表裡面竟還有一頁叫做「自然對數」（natural logarithm）。當我提出疑問，怎麼可能會有比以10為底的對數更「自然」的對數時，老師回答說，有一個特別的數，是用字母ｅ來代表的，它的值差不多是2.71828，在更高等的數學裡面是用它當做底的。為什麼會用這麼奇怪的數字呢？這還得等到我高三學微積分的時候，才找得到答案。

這會兒π有個表兄弟了。我們免不了要比較一下這兩個數，尤其這兩個數的值相當接近，讓人更想仔細地推敲。在我讀了幾年大學之後才學到，這兩位表兄弟還真是關係密切，而這層關係由於第三個數，i，的存在而更為神祕。i是有名的「虛數單位」（imaginary unit），也就是-1的平方根。在接下來我要講的數學故事裡的主角，現在都到齊了。

由ｅ開始串連

π的故事已經有很多人說過了，一方面無疑是因為π的歷史悠久，再者也因為不需要懂什麼高深的數學，就可以了解π的故事的大部分。可能沒有一本書比貝克曼（Petr Beckmann）寫的《π的歷史》（A History of π）更好的了。這本書的講解不僅通俗，而且清楚、確實，堪為此類書的範本。

而ｅ這個數字就沒這樣的待遇了。一方面ｅ的歷史出現得比較晚，另一方面它的歷史又和微積分密切相關，而微積分在傳統上被視為通往較高深數學的入門。根據我的了解，在內容上討論ｅ的歷史，而可媲美於貝克曼之《π的歷史》這樣的書，還沒有出現。我希望這本書可以填補這個空缺。

我寫這本書的目的，是用一般數學程度的讀者所能接受的數學水準來講ｅ的故事。在內文中盡量少用數學，還把幾個證明和推導過程「發配」到附錄裡去。我偶爾會偏離主題，去探索一些從歷史角度來看很有趣的課題。當中包括在ｅ的歷史中佔有一席之地的許多人物的生平描述，其中有些人名，在教科書中是難得提到的。最主要的是，我想要呈現與指數函數ex（exponential function）有關的各式各樣現象，從物理的到生物的，再從藝術到音樂，使它們在離數學很遠的好些領域中，也成為有趣的主題。

我對有些主題的表達方式和一般微積分教科書中的傳統方式不一樣。舉例來說，要證明函數y＝ex的導數（derivative）等於它自己時，大部分教科書會先導出d（lnx）/dx＝1/x這個公式，導的過程已經不短了。然後得再利用反函數（inverse function）的導數公式，才能得到所要的結果。我總覺得沒有必要這麼麻煩：我們可以直接導出d（ex）/dx＝ex，而且快得多，方法是先證明一個一般的指數函數y＝bx的導數，是和bx成比例的，然後再找出怎樣的b值會使這個比例常數的值為1（導的過程在附錄4）。

另外，在高等數學裡常出現的式子cos x＋i sin x，我用了一個比較簡潔的記號cis x來代替，希望這個較短的表達式，以後能夠多多流通。在考慮圓函數（circular function）以及雙曲函數（hyperbolic function）的相似處時，最漂亮的結果之一，就是對於這兩個函數，都可以把自變數表示成幾何上的面積；這項結果是瑞卡堤（Vincenzo Riccati, 1707~1775，義大利數學家）在1750年所發現的，使這兩類函數之間的相似程度更突出了。這個事實在教科書中很少被提及，我們會在第12章以及附錄7中討論。

在我探討這個問題的過程中，很快就明白了一件事情：在發明微積分以前至少半個世紀，數學家就知道ｅ這個數字了〔1618年，萊特（Edward Wright）將納皮爾（John Napier, 1550-1617，蘇格蘭數學家，發明對數）在對數上的一些結果翻譯成英文的譯本中，已經提到這個數字〕。

怎麼會這樣呢？有一個可能的解釋是，ｅ這個數字最早出現時，是和計算複利的公式有關。一定是有某個人，我們不知道是誰，也不知什麼時候，注意到這件稀奇事，就是如果本金P以年利率r計息，一年以複利計息n次，總共計算t年時，如果讓n無限制的加大，t年後的總額S，即S＝P(1＋r/n)nt，似乎會趨近某一個極限值（limit）。這個極限值當P＝1，r＝1及t＝1的時候，大約是2.718，這極有可能是從實際經驗觀察來的，而不是嚴密的數學推導結果，而此發現一定讓十七世紀初期的數學家吃了一驚，因為那時他們還沒有極限的概念。所以呢，ｅ這個數字以及指數函數ex的起源，很可能始於一個世俗的問題：金錢隨著時間增加的方式。

然而我們會看到，有些其他問題也各自獨立地連接上ｅ這個數字，其中較熟悉的例子是雙曲線y＝1/x底下的面積，這麼一來，ｅ的真正源起就更神祕莫測了。把ｅ當做自然對數的底，這個大家更熟悉的角色，就得等到十八世紀前半部，當歐拉（Leonhard Euler, 1707-1783，瑞士數學家）在他的數學成果中賦予指數函數在微積分裡擔任重要角色的時候了。

以歷史跳脫公式

雖然資料常有矛盾，尤其是在某些發現到底孰先孰後時，但我還是盡了最大努力，儘可能地提供正確的人名和日期。十七世紀初期是數學活動空前蓬勃的時代，常有好幾個科學家，在不知別人在做什麼的狀況下，在差不多時候發展出類似觀念，得到類似的結果。把自己的結果發表於科學期刊這種做法還不普及，所以有些當時最偉大的發現，是以書信、小冊子或者流通不廣的書的形式流傳於世，以至於很難決定到底誰最先發現了什麼。這種令人遺憾的狀況，在誰先發明微積分的激烈爭論中達到高峰，這個爭論使得當代一些最出色的人士變得對立，對於在牛頓之後，英國的數學幾乎有一世紀的時間進展緩慢，影響不可謂不大。

我在大學裡教過各種程度的數學，所以很清楚許多學生對這門學科的負面態度。理由當然有很多，其中之一無疑是我們教這門課時所用的深奧、枯燥的教法。我們傾向於教給學生一大堆的公式、定義、定理和證明，可是很少提到它們是怎麼「演化」出來的，結果給學生的印象是，這些事實是由某位很神聖的權威交到我們手上的，就像十誡一樣。要更正這些印象，講點教學歷史是很好的方法。在我的課堂上，我總是試圖加入一些和公式或定理有關的數學歷史，或者相關人物的插曲。這本書有一部分就是從這種教法衍生出來的。希望本書能達到我所企盼的目的。

多謝我太太黛麗兒，對我寫這本書的珍貴支持和幫助，也謝謝兒子艾耶幫忙畫插圖。沒有他們，就沒有呈現在您眼前的這本書。

1993年1月7日於伊利諾州

e：一個數字的故事

我第一次接觸到π這個數字，應該是在九歲或十歲的時候。父親的一位朋友有個工廠，有天他邀請我去參觀。屋子裡到處都是工具和機器，空氣裡瀰漫著重重的汽油味。我對五金這類東西從來就沒什麼興趣，父親的朋友必定察覺到我的無聊，於是帶我去看一個上面有好幾個飛輪（flywheel）的大機器。他對我解釋說，不管一個輪子是大是小，它的圓周和直徑都維持一個固定的比例，而這個比例大約是3又1/7。這個奇怪的數激起了我的好奇心，而當他補充說明，從來還沒有人把這個數確確實實地寫下來——只能寫出近似值的時候，就叫我加倍地...

導讀
作者序　　　　　　　　　　　　　

第1章　 納皮爾：對數的創始者　　　　　　　　　　　　 1　　　　　　　　　　　
第2章　 迎接對數　　　　　　　　　　　　　　　　　　13　　
第3章　 財務問題　　　　　　　　　　　　　　　　　　30
第4章　 極限　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　37
第5章　 微積分的源起　　　　　　　　　　　　　　　　 55
第6章　 突破的前奏　　　　　　　　　　　　　　　　　 67
第7章　 求雙曲線面積　　　　　　　　　　　　　　　　 78
第8章　 一門新科學的誕生　　　　　　　　　　　　　　　94
第9章　 大爭論　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 112
第10章　ex：等於自己導數的函數　　　　　　　　　　　　135
第11章　e：神奇螺線　　　　　　　　　　　　　　　　 158
第12章　(ex＋ex)/2：懸著的鏈子　　　　　　　　　　　195
第13章　eix：最有名的公式　　　　　　　　　　　　　　 214
第14章　ex＋iy：想像成真　　　　　　　　　　　　　　　230　　　　
第15章　但它到底是怎樣一個數呢？　　　　　　　　　263　　　　　　　
　　　

附錄一　納皮爾對數的一些補充說明　　　　　　　　　　　 279　
附錄二　當n→∞時，極限值lim(1＋1/n)n存在　　　　　　　282　　　
附錄三　微積分基本定理的啟發式推導過程　　　　　　　　　286
附錄四　當h→0時，lim(bh–1)/h＝1
與lim(1＋h)1/h＝b之間的關係　　　　　　　　　　　288
附錄五　對數函數的另一種定義　　　　　　　　　　　　　 290
附錄六　對數螺線的兩個性質　　　　　　　　　　　　　　 293
附錄七　雙曲函數中的參數如何解釋　　　　　　　　　　297
附錄八　e展開到小數一百位　　　　　　　　　　　　　　　300
參考書目　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 301

導讀
作者序　　　　　　　　　　　　　

第1章　 納皮爾：對數的創始者　　　　　　　　　　　　 1　　　　　　　　　　　
第2章　 迎接對數　　　　　　　　　　　　　　　　　　13　　
第3章　 財務問題　　　　　　　　　　　　　　　　　　30
第4章　 極限　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　37
第5章　 微積分的源起　　　　　　　　　　　　　　　　 55
第6章　 突破的前奏　　　　　　　　　　　　　　　　　 67
第7章　 求雙曲線面積　　　　　　　　　　　　　　　　 78
第8章　 一門新科學的誕生　　　　　　　...