數學是啥玩意？（I）（改版）

《數學是啥玩意？》(I)

第1章 稱重問題

本章將提出一些有關「數」的重要問題。對於懂得簡單算術的人，這些問題很容易算，很容易了解，很像一些好玩的謎題，但事實上，這些問題牽涉到數論的其中一個基本性質。我們在第3章才會說明答案背後的原因，至於本章，目的只是要提供一種無正確答案的開放式問題，讓各位有實驗的機會，看看單純一個數學觀念如何以形形色色的面貌出現。

我們可以用幾個例子來介紹稱重問題。先假定我們手邊有一個天平，就是在一般化學實驗室裡常看到的有兩個稱盤的那種天平。接下來再假定我們有無限供應的5兩重及7兩重的砝碼，並假設馬鈴薯的重量都是整數值，沒有亂七八糟的小數點（當然，真實的馬鈴薯不會這麼乖，稱得的重量什麼值都有）。我們現在要問：用這個天平與這兩種砝碼，可以稱得哪些重量的馬鈴薯呢？

舉例來說，如果只用5兩重的砝碼，可以稱得5、10、15、20、25、30、35、……兩重；只用7兩重的砝碼，則可稱得7、14、21、28、35、……兩重。我們也可以把兩種砝碼各放一個在稱盤上，這樣就可以稱出12兩重，也就是 12 = 5 + 7。或者我們還可以把砝碼分別擺在兩個盤子裡，這樣就可以稱得2兩重，因為這個重量的馬鈴薯與5兩重的砝碼加起來，正好等於7兩重的砝碼。

那麼，我們能稱得3兩重的馬鈴薯嗎？可以，你只要先把兩個5兩重的砝碼放在一邊的盤子裡，另一邊放一個7兩重的砝碼，再加上一個馬鈴薯而平衡，就對了；這個平衡的方程式就寫成 3 + 7 = 2•5。

我們可以量4兩重的馬鈴薯嗎？照樣可以，把馬鈴薯與兩個5兩重的砝碼放在一個盤子裡，另外一個盤子裡放兩個7兩重的砝碼就行了；相對應的方程式是4 + 2•5 = 2•7。或者將馬鈴薯與三個7兩重的砝碼放在一個盤子裡，而把五個5兩重的砝碼放在另一個盤子，讓天平兩邊平衡，也能稱得4兩重的馬鈴薯，這時的方程式就變成 4 + 3•7 = 5•5。

那麼1兩重的馬鈴薯要怎麼稱呢？在讀下去之前，你最好自己試試看。這是可以辦到的；只要把馬鈴薯與兩個7兩重的砝碼放在一邊的稱盤上，另外一邊放三個5兩重的砝碼就行了！當然還有別的方法可以用5兩與7兩重的砝碼稱得1兩重的馬鈴薯，你可以暫停一下，試試看，再繼續往下讀。

《數學是啥玩意？》(I)

第1章 稱重問題

本章將提出一些有關「數」的重要問題。對於懂得簡單算術的人，這些問題很容易算，很容易了解，很像一些好玩的謎題，但事實上，這些問題牽涉到數論的其中一個基本性質。我們在第3章才會說明答案背後的原因，至於本章，目的只是要提供一種無正確答案的開放式問題，讓各位有實驗的機會，看看單純一個數學觀念如何以形形色色的面貌出現。

我們可以用幾個例子來介紹稱重問題。先假定我們手邊有一個天平，就是在一般化學實驗室裡常看到的有兩個稱盤的那種天平。接下來再假定我們有無限供應的5兩重及7兩...

第三版序

斯坦

《數學是啥玩意？》的第二版發行迄今，已經七年了，在這段時間裡，由於受到專業學識發展和社會變遷的影響，數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映了這些演進，同時也表達出我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加了一章，專門討論機率，即反映出現今的社會或個人，可能會應用與機率有關的數學知識，來解決所面臨的難題，而老師與學生在探討相關知識時，也對這些課題愈來愈感興趣。

在我們所處的世界裡，許多事物都是天然生成的，比如水。我們知道，水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的，但對於水分子湊在一起時如何能呈現水的特性，卻一無所知。用原子與分子的概念，很方便就能解析水這種物質，卻又無法掌握水真實的特性，原子與分子真是既方便卻又抽象的天然事物。

相反的，數學就完全是人為的成果，每個定理與每項證明都是人類心智活動的產物；在數學裡，所有的牌都攤在桌上。在這層意義上，數學是具體的，世界反而是抽象的。

我打算藉由這本書，把數學的這種具體特性介紹給一般讀者。我所謂的「一般讀者」，可以是大學生、高中生或喜歡追根究柢的上班族，不管你的主要興趣是什麼，只要有一顆好奇的心就行了。這本書最初是設計為大專課程，幫助不同科系的學生認識數學的美、生命力與包羅萬象。在寫作本書之前我花了好幾年，想找一本合適的教科書，但找到的不是太難就是太專門。

本書所談的主題選自數論、拓樸學、集合論、幾何、代數與分析學，但我希望讓僅有少許數學背景的讀者也看得懂（有些章節只需國中學過的算術），所以針對每個主題，我都會說明主要觀念，讓這些主題的本身很容易實驗或求證。

我建議各位在閱讀每一條定理及證明時，要充分利用數學的具體特性，不要有先入為主的信念，而是要心懷警覺與懷疑，仔細檢查每一個推理的步驟。在碰到像「你可以自己舉個例子」，或「在證明之前，不妨用一些特例檢驗一下這個定理」之類的建議時，最好是能照做。讀這本書時，最好也能把紙、筆放在手邊，隨時可派上用場。

《數學是啥玩意？》的第三版與前兩版有很多不同。在第三版，第1章到第4章是全書的核心，而接下來的六章與新增的第13章，則是用得最多的。第13章〈機遇〉是在介紹機率論的幾個基本知識，在強調機率理論的一般應用及做決策時的重要性；你們由第13章的內容與附帶的練習題可以看出，機率的概念在日常生活裡雖然隱而不顯，卻無所不在。此外在新版的第9章〈數的表示法〉當中，還增添了公制的介紹，這是因為公制與十進位制是不可分的。

全書還有許多較小規模的改變，包括新的結果、更為簡單的證明，以及新的練習題。就像第二版一樣，很多改變只是為了讓觀念闡述得更清楚。大部分習題的解答都附在書後。

「數學健身房」裡的習題依難度分為三類。第一類是一般練習，讓各位自我測驗是否理解相關的定義與基本觀念。第二類習題我用了一隻筆（）與前一類區隔，通常你必須應用那一章所談的觀念才能解答。第三類練習題的前面有兩隻筆（ ），難度最高，解題時你不僅要充分理解那一章的中心主題，還必須能舉一反三，想出其他的方法。

值得注意的是，本書依不同類型的學生及不同的難易程度，做了不一樣的閱讀安排。利用最前面的閱讀地圖與閱讀指南，老師或讀者可以自行決定要如何進行。

第三版序

斯坦

《數學是啥玩意？》的第二版發行迄今，已經七年了，在這段時間裡，由於受到專業學識發展和社會變遷的影響，數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映了這些演進，同時也表達出我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加了一章，專門討論機率，即反映出現今的社會或個人，可能會應用與機率有關的數學知識，來解決所面臨的難題，而老師與學生在探討相關知識時，也對這些課題愈來愈感興趣。

在我們所處的世界裡，許多事物都是天然生成的，比如水。我們知道，水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的...

《數學是啥玩意？》(I) 目錄
閱讀地圖
閱讀指南
第三版序 斯坦
第1章 稱重問題
第2章 質 數
第3章 算術基本定理
第4章　有理數與無理數
第5章　用數學頭腦鋪瓷磚？
第6章　鋪瓷磚與電學
第7章 高速公路巡邏警察與推銷員
第8章 記憶輪
附錄A 算術複習
附錄B 數學寫法

《數學是啥玩意？》(I) 目錄
閱讀地圖
閱讀指南
第三版序 斯坦
第1章 稱重問題
第2章 質 數
第3章 算術基本定理
第4章　有理數與無理數
第5章　用數學頭腦鋪瓷磚？
第6章　鋪瓷磚與電學
第7章 高速公路巡邏警察與推銷員
第8章 記憶輪
附錄A 算術複習
附錄B 數學寫法