數學是啥玩意？（Ⅱ）（改版）

第13章 機 遇



本章將指出，加法與乘法也是機率理論很重要的工具。機率理論是數學的一支，用來檢驗機遇的法則。



機率理論的起源可以回溯到十五世紀，當時國際貿易剛開始發展，在漫長的航程當中，有些價值不菲的貨物需要保險。因為自古以來，一些有錢人對於這種需求往往會訂立契約，先收取一筆保險費，所以當發生契約規定的貨物損失時，貨主可以得到補償。不過在文藝復興時期及海上探險時代開始之前，有關的風險評估及保險費的計算都是非正式的。



第一位研究機遇理論的是卡丹諾（G. Cardano, 1501–1576），他是十六世紀義大利的醫師、數學家與賭徒。

如今，機率理論除了應用在賭博之外，也用在很多地方，例如它構成了保險業的基石，也是製造業的可靠度控制以及預防醫學的基礎。同樣的，機率理論也暗藏在下列問題當中，例如私人問題：「我應該為三、四千元的腳踏車付三百五十塊錢的保險費嗎？」或公共安全問題：「一個核反應器發生意外事故的機遇是多少？」



本章首先要介紹機率理論的基本觀念，分析一些簡單的賭博遊戲，如骰子和輪盤賭，接著就會把基本的觀念，應用到某些有風險的決策過程上。



在很多重要的應用裡，基本的機率數值只能靠實驗來獲得，比方說棒球選手的平均打擊率。例如二十世紀初的美國棒球名將貝比．魯斯（Babe Ruth），他在8,389次的上場打擊中，共擊出2,875支安打，平均打擊率就是2875/8389≒0.343。換句話說，他安打的機率是0.343，大約是34%。



當氣象預報員說「明天的降雨機率是40%」，也是同樣的意思。這表示依照以往分析數據的經驗，明天有40%的可能性會下雨。事實上，對熟練的天氣預報員所做的研究指出，在做出這種預報之後，第二天降雨的機率真的差不多是40%。



在棒球比賽中，第一局結束時領先二分的球隊，最後獲勝的機率是多少？林賽（George R. Lindsey）曾研究過這個問題。依據很多美國大聯盟的比賽資料，他算出機率大約是0.71。同樣的，在第六局結束時領先三分的隊伍，最後獲勝的機率會增加到大約0.84。若在第一局結束時的勝分是三分，最後贏球的機率也稍微增加，大概在0.79。

根據這些數據，可以決定一個球隊的勝算，並評估應該採取什麼策略。例如，一支球隊在第一局結束時落後一分的情況下，獲勝的機率是多少？由於在第一局領先一分的球隊，獲勝的機率約為62%，因此落後球隊反敗為勝的機率就是38%。因此落後球隊的勝算比是38比62，大約是5比8。



當然，對某一場實際的球賽，勝算比會受到許多因素的影響，例如投手是誰，全隊的士氣與表現如何等等。

第13章 機 遇



本章將指出，加法與乘法也是機率理論很重要的工具。機率理論是數學的一支，用來檢驗機遇的法則。



機率理論的起源可以回溯到十五世紀，當時國際貿易剛開始發展，在漫長的航程當中，有些價值不菲的貨物需要保險。因為自古以來，一些有錢人對於這種需求往往會訂立契約，先收取一筆保險費，所以當發生契約規定的貨物損失時，貨主可以得到補償。不過在文藝復興時期及海上探險時代開始之前，有關的風險評估及保險費的計算都是非正式的。



第一位研究機遇理論的是卡丹諾（G. Cardano, 1501–1576），他是十六世紀義大利...

第三版序

　　《數學是啥玩意？》的第二版發行迄今，已經七年了，在這段時間裡，由於受到專業學識發展和社會變遷的影響，數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映了這些演進，同時也表達出我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加了一章，專門討論機率，即反映出現今的社會或個人，可能會應用與機率有關的數學知識，來解決所面臨的難題，而老師與學生在探討相關知識時，也對這些課題愈來愈感興趣。

　　在我們所處的世界裡，許多事物都是天然生成的，比如水。我們知道，水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的，但對於水分子湊在一起時如何能呈現水的特性，卻一無所知。用原子與分子的概念，很方便就能解析水這種物質，卻又無法掌握水真實的特性，原子與分子真是既方便卻又抽象的天然事物。

　　相反的，數學就完全是人為的成果，每個定理與每項證明都是人類心智活動的產物；在數學裡，所有的牌都攤在桌上。在這層意義上，數學是具體的，世界反而是抽象的。

　　我打算藉由這本書，把數學的這種具體特性介紹給一般讀者。我所謂的「一般讀者」，可以是大學生、高中生或喜歡追根究柢的上班族，不管你的主要興趣是什麼，只要有一顆好奇的心就行了。這本書最初是設計為大專課程，幫助不同科系的學生認識數學的美、生命力與包羅萬象。在寫作本書之前我花了好幾年，想找一本合適的教科書，但找到的不是太難就是太專門。

　　本書所談的主題選自數論、拓樸學、集合論、幾何、代數與分析學，但我希望讓僅有少許數學背景的讀者也看得懂（有些章節只需國中學過的算術），所以針對每個主題，我都會說明主要觀念，讓這些主題的本身很容易實驗或求證。

　　我建議各位在閱讀每一條定理及證明時，要充分利用數學的具體特性，不要有先入為主的信念，而是要心懷警覺與懷疑，仔細檢查每一個推理的步驟。在碰到像「你可以自己舉個例子」，或「在證明之前，不妨用一些特例檢驗一下這個定理」之類的建議時，最好是能照做。讀這本書時，最好也能把紙、筆放在手邊，隨時可派上用場。

　　《數學是啥玩意？》的第三版與前兩版有很多不同。在第三版，第1章到第4章是全書的核心，而接下來的六章與新增的第13章，則是用得最多的。第13章〈機遇〉是在介紹機率論的幾個基本知識，在強調機率理論的一般應用及做決策時的重要性；你們由第13章的內容與附帶的練習題可以看出，機率的概念在日常生活裡雖然隱而不顯，卻無所不在。此外在新版的第9章〈數的表示法〉當中，還增添了公制的介紹，這是因為公制與十進位制是不可分的。

　　全書還有許多較小規模的改變，包括新的結果、更為簡單的證明，以及新的練習題。就像第二版一樣，很多改變只是為了讓觀念闡述得更清楚。大部分習題的解答都附在書後。

　　「數學健身房」裡的習題依難度分為三類。第一類是一般練習，讓各位自我測驗是否理解相關的定義與基本觀念。第二類習題我用了一隻筆（✎）與前一類區隔，通常你必須應用那一章所談的觀念才能解答。第三類練習題的前面有兩隻筆（✎✎），難度最高，解題時你不僅要充分理解那一章的中心主題，還必須能舉一反三，想出其他的方法。

　　值得注意的是，本書依不同類型的學生及不同的難易程度，做了不一樣的閱讀安排。利用最前面的閱讀地圖與閱讀指南，老師或讀者可以自行決定要如何進行。

斯坦

第三版序

　　《數學是啥玩意？》的第二版發行迄今，已經七年了，在這段時間裡，由於受到專業學識發展和社會變遷的影響，數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映了這些演進，同時也表達出我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加了一章，專門討論機率，即反映出現今的社會或個人，可能會應用與機率有關的數學知識，來解決所面臨的難題，而老師與學生在探討相關知識時，也對這些課題愈來愈感興趣。

　　在我們所處的世界裡，許多事物都是天然生成的，比如水。我們知道，水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成...

閱讀地圖
閱讀指南
第9章 數的表示法
第10章 同餘式
第11章 奇怪的代數
第12章 正交表
第13章 機 遇
第14章 方形數字盤
附錄C 代數入門
附錄D 數學教學

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第9章 數的表示法
第10章 同餘式
第11章 奇怪的代數
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第13章 機 遇
第14章 方形數字盤
附錄C 代數入門
附錄D 數學教學