大域微分幾何（上）：Riemannn幾何基礎

大域微分幾何引言──細談整部書的脈絡（節錄）

像這樣多達八百多頁，分上、中、下三卷的專業數學書，很難想像有人會埋頭讀完整部書。寫這篇引言，是為了鋪陳全書的脈絡，讓讀者看到一連串自然而有趣的提問，像一幕幕風景一樣，沿路開展。是這些自然的風景，帶進來嚴謹的數學理論。讀者閱讀這部書時，不妨隨時來回翻閱這篇引言。若心中存著這條脈絡，讀起書來或許會更有動力，也不容易在這部大書的理論中迷失方向。

Sect. 1 較早的脈絡

1.1 白話

寫這部書時，我力求脈絡清晰，直接切入問題，減少「不那麼必要」的形式語言。與經驗連結，是引入抽象概念的前提。雖然這部書是專業研究的書籍，我仍然盡量把它寫得白話。

什麼是白話？白話就是鋪陳要自然：以自然的提問作為背景，一層層引入數學概念，使數學概念與人的感覺聯繫起來，讓人發生興趣，一步步深入數學未知的、複雜的抽象世界。

以「上卷」的脈絡，作為例子，來說明我力求白話的意義。微分幾何要處理的主要對象是「彎曲的空間」。空間如何彎曲？1860年代，Riemann的重要貢獻，就是引入Riemann曲率張量，來描述空間的彎曲。因此後人把彎曲的空間，稱為Riemann空間，或進一步叫Riemann流形。

一般幾何書籍都直接定義Riemann曲率張量[Ch.3(26)式；Ch.6(19)式]。但我們寧可回溯Riemann最早的思路：從詢問

「什麼時候空間是平直？」

而發現：「某個張量是否等於0？」為空間是否平直的關鍵。其中某個張量，就是後來的所謂Riemann曲率張量，以下簡稱Riemann張量。

「什麼時候空間是平直？」必須借助坐標來描述。換句話說，Riemann空間的坐標，什麼時候可以換成平直的新坐標？這牽涉到「新坐標該滿足的微分方程組，可否積分？」的問題。因此，我們必須先討論可積分條件。為了處理這樣的問題，我們證明了更普遍的Frobenius可積分定理——有時普遍反而變得自然。見Ch.2 sec2。

根據Frobenius可積分定理，便不難找到用來描述曲率的Riemann張量。一旦有了Riemann曲率張量，測地線的二階變分[Ch.7(21)式，有時稱為第二變分式]，就容易看出意義，因為計算出來的那一大堆式子，整併起來，原來就是Riemann曲率張量。

為了考慮二階變分等於$0$的情況（這相當於在初等微積分中找inflection point：亦即找x，使f''(x)=0），所謂的Jacobi場出現了。

如果測地線上，首度出現非零的Jacobi場[Ch.10(02)式]，我們說兩端點互為共軛(conjugate)。等到熟悉測地線與Jacobi場的遠方行為[Ch.9, 10, 11]之後，例如知道：「兩共軛點之間的測地線，若往外延長一點，便不再穩定(stable)，當然也就不是最短路徑」，我們便能夠利用測地線與Jacobi場，去了解Riemann空間（或稱Riemann流形）的整體樣貌，切入大域微分幾何的內核。譬如，我們可以控制正曲率流形的直徑[Bonnet-Myer定理，Ch.12]，也可以掌握負曲率空間的形狀[Hadamard定理，Ch.12]。

所有的概念，像Riemann張量、Frobenius可積分條件、Jacobi‬場、共軛點、cut point、…都不是空穴來風，而是為了瞭解彎曲空間的形狀，沿著一層層問題的思路，而發展出來的重要概念。這一切都很自然，而且整條脈絡清晰易明，一氣呵成。如此「上卷」忽忽結束。這就是白話的意思。

當然，發展這條脈絡的路邊，有很多花草，像共變微分、平行線、Riemann尺度、指數映照、凸鄰域、…，都必須一一引介。這整條脈絡，加上周邊的花草，就是「上卷」的主要內容。

1.2 零四講稿

這部書（以下有時稱本書）有：

上卷　前篇A、B、C三章

篇一到篇三，含Ch.1--Ch.12

中卷　篇四到篇六，含Ch.13}--Ch.21

下卷　篇七到篇九，含Ch.22--Ch.30

衍篇　三文}

它最早的形式是1998-2004年春，我多次在台大數學研究所，開幾何課的講稿——以下稱為「零四講稿」。

零四講稿的內容是：現今前篇的章C、上卷三篇、及中卷到篇五。前篇的章C簡述可微流形。有了可微流形，加上Riemann尺度(metric)，才成為Riemann流形。

可微流形最根本的出發點是維數(dimension)。從日常的生活經驗，一維、二維、三維、…等維數的概念，似乎明白易辨。但1890年Peano曲線的出現，使數學家對維數這樣司空見慣的概念，開始感到不安。在前篇章~\ref{chc}，開始定義可微流形之前，我們也證明了維數的拓撲不變性。

很多數學者都相信，維數在拓撲變換之下不變，但一生從來沒讀過或做過證明。這部書主張人進入幾何專業之前，總要讀過一遍維數拓撲不變性的證明（當然，能自己證明出來更好。這是流形概念的基礎，它的證明是nontrivial。對數學專業者來說，nontrivial是數學品味的判準之一。

一旦確認維數的拓撲不變性，並引入坐標鄰域疊合延拓的概念，可微流形的簡介也就結束。我們跳過可微流形最有趣也最nontrivial的內容：Poincaré-de Rham-Hodge的理論，這是令人遺憾的事。但de Rham的理論龐大而深刻，篇幅相當於一本書。我們不得不略過，為了早點進入本書的主題「彎曲的空間」。就這樣，本書談過前篇的章C之後，我們依剛剛1.1所說，一路討論完上卷。

零四講稿的後面兩篇[即中卷篇四、篇五]，在2004春的課堂中，並沒來得及討論，因為講過前篇章C及上卷到Ch.12、一個學期已匆匆過去。

1.3 大域與局部

大域微分幾何，經常在考慮局部與大域之間的辯證問題。曲率是由局部幾何（而且是infinitesimally local）決定的，那麼局部的曲率如何影響空間大域的形狀？前述1.1提到的Bonnet-Myer與Hadamard定理，便是這樣的兩個例子。

關於這層辯證關係，古典的Gauss-Bonnet定理，是最早出現的重要成就：「在封閉的曲面上，高斯曲率的總積分決定曲面的拓撲！」[前篇章A§8}]。

Gauss-Bonnet定理的證明，主要的觸媒是Hopf-Poincaré的標數定理。後者把整體拓撲，歸結到向量場在一個奇異點附近的標數(index)，這使得大域與局部的幾何聯繫起來。Hopf-Poincaré的標數定理意義深刻，卻不難理解，我們提早在前篇章A，便加以詳述，雖然那裡所考慮的，還只是二維曲面。這個利用標數的精神，可以延伸到後來高維的情況，完成高維Gauss-Bonnet定理的證明[中卷篇六，Ch.19}]，揭開最早局部與大域之間的辯證關係。

其實這層辯證關係（亦即聯繫曲率與拓撲），可以說是大域微分幾何的主要課題。Gauss-Bonnet之後，我們看到Synge-Frankel類型的大域定理。

在上卷中，我們注意到一個有趣又重要的事實：「曲率越大，測地線也不穩定。」[Ch.7§3}]。這個事實可以從測地線的二階變分得到。利用它，我們容易得到Synge與Frankel等幾個定理的證明[Ch.7]。

Synge定理說的是：封閉的Riemann流形，若為偶數維、可定向而且正曲率，則必為單連通。在這裡「正曲率」如何影響流形的整體樣貌？這又是局部與大域辯證關係的另一個好例子。

我們注意到透過測地線的二階變分，局部性的曲率起了作用，影響到測地線是否穩定的大域行為，亦即：封閉測地線在正曲率流形中的不穩定性，使得任何封閉測地線必須越縮越小，終至變成一個單點，所以流形必然是單連通。

這類利用測地線的變分，是切入大域幾何的第一道重要方法。

事實上，前言1.1談到Bonnet-Myer與Hadamard定理，也都是這方法的例子。

這方法的延伸，我們稱為「幾何變分學」。幾何變分學(calculus of variations in geometry)是這部書下卷的主題。在上卷中我們利用測地線的變分；測地線是一維的。到了下卷，我們會提升幾何變分學的層次，把一維的測地線，提高成二維以上的最小曲面，或常均曲率的曲面，而得到更多、更複雜、更深刻的大域定理。

大域微分幾何引言──細談整部書的脈絡（節錄）

像這樣多達八百多頁，分上、中、下三卷的專業數學書，很難想像有人會埋頭讀完整部書。寫這篇引言，是為了鋪陳全書的脈絡，讓讀者看到一連串自然而有趣的提問，像一幕幕風景一樣，沿路開展。是這些自然的風景，帶進來嚴謹的數學理論。讀者閱讀這部書時，不妨隨時來回翻閱這篇引言。若心中存著這條脈絡，讀起書來或許會更有動力，也不容易在這部大書的理論中迷失方向。

Sect. 1 較早的脈絡

1.1 白話

寫這部書時，我力求脈絡清晰，直接切入問題，減少「不那麼必要」的形式語言。與經驗連結...

校訂序

黃振芳（中研院數學所退休研究員）

鄭日新（中研院數學所研究員）

這是一本構思五十年的書。半世紀前，黃教授剛返國到台大任教，當時科學中文化的口號滿天飛，但什麼是科學中文化呢？只是把外文科學書翻譯成中文書嗎？如果這樣，那大陸做得不錯。市面上簡體中文科學書還真不少，也有很多十分專門的書，但這並非黃教授此書目的。黃教授半世紀所想寫的書，是白話數學，數學還有文言白話之分？沒錯，不過這是全世界面臨的問題，楊振寧說過：「有那麼兩種數學書：第一種是你看了第一頁就不想看了，第二種是你看了第一句就不想看了。」這是因為現在數學書，往往從頭到尾都是定義、定理，推論式的、純粹抽象式的演繹，原本生動活潑的背景淹沒在形式或邏輯的海洋之中，使人摸不到頭腦。如果要避免如此，可讀胡適的八不主義「寫文章要言之有物」，「不用典」。

談微分幾何，要言之有物，就要了解微分幾何是三維歐氏空間中曲線和曲面的推廣，要把曲線和曲面確實弄清楚，才能談其他，這是根本。所以前篇談大域曲面論，先把基礎打好了，接著往上推廣到黎曼幾何，自然言之有物。黃教授早期出版過白話數學《初等微分幾何講稿》：第一卷「曲線篇，曲面篇」。我們曾拜讀過部分內容，尤其談Gauss-Bonnet定理，Hopf-Poincaré標數定理及組合觀點看曲率的章節，令人印象深刻，比一般初等微分幾何（不管是英文或中文）書都要精采，也提升了讀者對幾何與拓樸關聯性的第一步認知。這次黃教授大作，內容涵蓋甚廣，除了基本大域幾何語言的介紹外，並論及活動標架法，幾何變分學，之後運用於常均曲率方程的研究。在長期修訂過程中，我們儘量要求證明的嚴格性，又不失黃教授生動活潑的觀念解讀，希望這本用本國文字接地氣的鉅著，在未來能造成傳統，在本地產生像俄羅斯Grigori Perelman（解決Poincare猜想）或巴西Fernando Marques（解決Willmore猜想）那一等級的數學家。最後祝這本新書能暢銷於數學學術界的中文書市場。

校訂序

黃振芳（中研院數學所退休研究員）

鄭日新（中研院數學所研究員）

這是一本構思五十年的書。半世紀前，黃教授剛返國到台大任教，當時科學中文化的口號滿天飛，但什麼是科學中文化呢？只是把外文科學書翻譯成中文書嗎？如果這樣，那大陸做得不錯。市面上簡體中文科學書還真不少，也有很多十分專門的書，但這並非黃教授此書目的。黃教授半世紀所想寫的書，是白話數學，數學還有文言白話之分？沒錯，不過這是全世界面臨的問題，楊振寧說過：「有那麼兩種數學書：第一種是你看了第一頁就不想看了，第二種是你看了第一句就不想看了。...

大域微分幾何引言
校訂序
中文譯名說明

上卷　Riemann幾何基礎

前篇　基礎背景

章A　大域曲面論概要
章B　活動標架法初步及其應用

篇一　Riemann幾何的背景

第1章　切向量與Lie微分
第2章　Frobenius可積分定理
第3章　Riemann曲率的誕生
第4章　曲面論基本定理

篇二　測地線的變分

第5章　向量場的共變微分
第6章　Connection, metric與曲率
第7章　測地線的變分與Synge定理
第8章　變分學中的Direct Method

篇三　Jacobi場與大域幾何

第9章　Exponential map與最短測地線
第10章　Jacobi場
第11章　測地線的大域行為
第12章　Bonnet-Myers定理與Hadamard定理

全書參考文獻
全書索引

大域微分幾何引言
校訂序
中文譯名說明

上卷　Riemann幾何基礎

前篇　基礎背景

章A　大域曲面論概要
章B　活動標架法初步及其應用

篇一　Riemann幾何的背景

第1章　切向量與Lie微分
第2章　Frobenius可積分定理
第3章　Riemann曲率的誕生
第4章　曲面論基本定理

篇二　測地線的變分

第5章　向量場的共變微分
第6章　Connection, metric與曲率
第7章　測地線的變分與Synge定理
第8章　變分學中的Direct Method

篇三　Jacobi場與大域幾何

第9章　Exponential map與最短測地線
第10章　Jacobi場
第11章...