一生受用的統計學思維

一開頭就先勸學？
　　「在學校學到的東西，一出了社會就完全沒用了。」討厭學習的孩子或大人，每當想找逃避學習的藉口時，就必定會脫口說出這句話。在旁人看來，這些話聽起來像是強詞奪理，但也並非毫無道理。
　　當然，從整體角度來看，學校成績優秀的孩子，將來長大成人後有一番了不起的成就，像這樣的例子確實不勝枚舉。功成名就的大人當中，許多人年輕時的在校成績都很優秀，這也是不爭的事實。然而，其中也不乏在校成績馬馬虎虎，長大出社會後卻意外闖出一番名堂的黑馬。相對地，也有在校成績優秀，出社會後卻無法出人頭地的人，像這種所謂「小時了了，大未必佳」的例子，在社會上可以說並不罕見。
　　之所以出現這種情況，原因究竟出在哪裡？我想有可能是因為，學校教給學生的東西，有些屬於真正對生活有幫助的知識，有些卻對日常生活完全沒有幫助。

對數學的反思
　　國語、數學、理科、社會這四科可說是小學最重要的學習科目，到了中學、高中之後，重點就會放在英語、數學、國語上。英語和國語在生活中很常用到，但數學呢？這裡先請會在生活中用到這兩種科目的人把手舉起來。數學中的四則運算（加法、減法、乘法、除法）確實在日常生活不可或缺，但更進階的計算，譬如「分數除法」、「圓周率」、「一次方程式」等等，每天在實際生活中用到這些算法的人，麻煩請把手放下！好的，我猜現在閱讀這本書的各位，手也依然舉得高高的吧？記得把書拿好，小心別讓它掉到地上了。對一般人而言，即使弄錯圓周率，不小心把它記成4.13，也幾乎不用擔心會因此造成生活上的不便。
　　之所以會有如此誇張的現象，全是中學和高中的數學所導致。雖然中學教育以上有不少比小學數學更進階的內容，在解題方面更富有趣味性，但也有許多根本就和現實生活全然脫節的內容，例如「全等三角形」、「畢氏定理」、「一元二次方程式」⋯⋯。即便只計其中一項，我想長大後至少「曾經用過」或是「派上用場」的人，也應該少之又少吧。
　　儘管如此，數學成績優秀的中學生和高中生，和英語或國語成績優秀的人一樣，仍然廣受大家的尊敬，甚至有機會進入不錯的大學和公司，這究竟是為什麼呢？從很久以前開始，數學能力就一直備受人們的重視，這難道是因為中學和高中的數學中，隱含著某種對生活特別有幫助的內容嗎？
　　沒錯，這個內容就是──機率與統計。

即使學會偏差值，排名也不會增加
　　各位今天早上出門之前，應該都有透過電視、廣播或報紙，大致確認過「今天的降雨機率」，再根據獲得的資訊來決定是否帶傘、需不需要穿雨衣吧？無論是小學的數學，還是中學、高中的數學，都一直不斷重複出現像這樣涉及「機率」的思考方式。高中畢業以後，舉凡圓周角定理或微積分這些內容，（大多數的人）再也不會用到。不過，從上小學前開始，一直到出社會工作，甚至到了退休之後，幾乎所有的人，每天仍然會用到機率，它可說是日常生活中不可或缺的常用工具。
　　既然如此，各位不覺得數學學科對於機率的介紹，比重似乎過少呢？以數學教科書和上課時數來看，提到機率的比例最多只有一成左右，可是它卻是從學校畢業後每天都會用到的知識，堪稱是數學當中對生活最有幫助的領域。

　　「統計」與機率密不可分，重要性大概僅次於機率。
　　說到這裡，我想大家第一個就會先想到「偏差值」吧。偏差值可說是一種優秀的統計概念，以實際考試中取得的分數作為原始分數，再調整為平均值50，標準差10的分數，即是所謂的偏差值。
　　除此之外，例如大部分的人每年都會接受健康檢查。如果在健康檢查的過程中發現異常，有時還會再複查，像這種異常的判斷也是利用統計來進行。
　　然而數學教科書中針對統計的敘述，所占的比例甚至比機率還要悲慘。中小學姑且提到的「統計」，充其量只有表格的整理和圖表的描繪方式，這些內容只能算是簡單的資料整理，離一般定義的統計還有一段差距（話雖如此，這些圖表其實也很重要，相關內容留待正文第一章詳細說明）。到了小學四、五年級的時候，學生為了提高偏差值，無不努力學習，以期擠入偏差值較高的名校窄門；等到考上之後，又得繼續在中學認真學習三年。諷刺的是，這段期間若沒有學習到真正的統計，學生依然是在不瞭解偏差值的情況下，一味地追求提升偏差值。在高中數學的最後，教科書上才以機率的補充內容形式，讓學生稍微接觸到統計的基本概念，之後就沒有下文了。
　　在我就讀高中的昭和50年代之前，統計是在高中三年級的第三學期，才首度在數學課上亮相。這表示學生接觸到統計的時間，和大學入學考試的時期重疊，所以有關統計的題目幾乎不會出現在入學考試當中，這已然成為考試界的常識。對於高三學生來說，英語、「除了統計以外的數學」、國語這三門學科，可以說是最重要的科目。現在的數學教科書比起當年確實有所進步，可是現在的中學生、高中生的父母，和大學入學考試的出題老師，幾乎都是過去學習昭和教科書長大的世代，即使沒有養成將機率和統計視為「最重要科目」的習慣，也完全不足為奇。

機率與統計的勸學篇
　　為了不讓學生把「唸書沒有幫助」當成逃避學習的藉口，我決定試著以機率和統計為中心，將數學的教材重新編寫製作，希望能透過本書達到我要的效果。各位猜猜後來改成什麼樣子？小學生學會四則運算（+−×÷）之後，也就是差不多到了小學後期，就必須開始學習機率和統計；無論中學或高中，一說到數學當中最有幫助的部分，不錯，就是機率和統計。
　　看到這裡，可能有人會不禁懷疑，只偏重學習這方面的數學，難道不會導致學校成績一落千丈嗎？不會影響考試成績嗎？這一點還請各位不用擔心。因為現在的教科書內容，和入學考試有很大的差距，如果把寶貴的上課時間都浪費在沒有多大用處的教學內容上，反而會導致最有幫助的機率和統計的上課時間受到壓縮。不久前，日本教育界發現從前的「寬鬆教育」無法發揮作用，導致學生的學習能力低下。同樣地，過去輕忽機率和統計課程的教科書，在不久的將來，人們一定會發現這樣的教科書對於學生來說一點幫助也沒有。應該這麼說，很久以前就有不少人注意到這個問題，但就是遲遲沒有糾正過來，箇中原因恐怕是因為，日本的數學老師和文部科學省的官員，是制定學校教科書和決定教科書內容的學習指導綱領的主要操刀者。很顯然，把數學和統計「用於實務工作方面」這類人的心聲，並沒有傳達至數學的教育現場。
　　機率和統計還帶來一個意想不到的收穫，哪怕是從結果來看，仍對於學校成績和考試準備都有幫助。究其原因，對於學生和考生來說，最強的應試策略，莫過於瞭解「老師、出題者和評分者的思維邏輯」。但是，在傳統的學習方法中，學生和大人（老師）使用的是兩種截然不同的教材，因而導致這個必勝戰略未必能充分發揮作用。
　　一般「教師用」版的教科書中，所刊載的授課、出題、閱卷方面的資訊，本書會在篇幅許可的情況下公開，並刻意不在教師用vs學生用的版本上加以劃分。我希望能藉由這個方式，試著與一般的教科書、參考書作出區隔。
　　也正因為捨棄其他許多沒有幫助的內容，將重心集中在機率和統計上，才使我得以更有餘力地深入介紹以往教科書中沒有涉及的內容。希望透過本書，和各位讀者一同體驗機率和統計所帶來的樂趣和意外驚喜，如果能夠成為大家一輩子難以忘懷的美好經歷，那就是我最大的榮幸了。

一開頭就先勸學？
　　「在學校學到的東西，一出了社會就完全沒用了。」討厭學習的孩子或大人，每當想找逃避學習的藉口時，就必定會脫口說出這句話。在旁人看來，這些話聽起來像是強詞奪理，但也並非毫無道理。
　　當然，從整體角度來看，學校成績優秀的孩子，將來長大成人後有一番了不起的成就，像這樣的例子確實不勝枚舉。功成名就的大人當中，許多人年輕時的在校成績都很優秀，這也是不爭的事實。然而，其中也不乏在校成績馬馬虎虎，長大出社會後卻意外闖出一番名堂的黑馬。相對地，也有在校成績優秀，出社會後卻無法出人頭地的人，...

◎前言
一開頭就先勸學？／對數學的反思／即使學會偏差值，排名也不會增加／
機率與統計的勸學篇

▍序章　日常生活與機率和統計
0.1　天氣預報「降雨機率20％」卻下雨，其實根本就不準？
0.2　彩券行為什麼不會關門大吉？
0.3　身體明明硬朗，健檢報告卻紅字滿滿？難道是醫師想打發時間？
0.4　嘴裡高喊反對核能、守護家園，同時又一手吸菸的人
0.5　學校的學習評量成績，究竟是用來評量什麼？
0.6　飛機降落第一時間就解安全帶，你是這類高風險族群嗎？

◉基礎篇　機率和統計的素養
▍第1章　國小數學的「統計」——表格和圖表
1.1　隨時間變化的「時間序列」與描繪其變化的「折線圖」
1.2　描繪「分布密度」的「直方圖」
1.3　縱軸和橫軸，說明兩個變數「聯合分布」的「散佈圖」
1.4　縱向與橫向相加的「交叉資料表」和「邊際分布」
1.5　練習題

▍第2章　敘述統計——利用數值觀察資料的性質
2.1　表示資料的廣度⋯⋯「範圍」＝「最大」−「最小」
2.2　相加再除以人數⋯⋯「平均」
2.3　偏差值如何計算？⋯⋯「變異數」與「標準差」
2.4　正中央的人在什麼位置？⋯⋯「中位數」和「分位數」
2.5　社會上的行情是多少？⋯⋯「眾數」
2.6　「偏度」（分布的不對稱）和「峰度」（分布的兩翼厚度）
2.7　數學成績不錯的學生，國語成績也不錯？⋯⋯「共變異數」與「相關係數」
2.8　數學成績不錯，國語成績會有幾分？⋯⋯「迴歸係數」與「迴歸方程式」
2.9　練習題

▍第3章　中小學的「機率」——事件的數量和集合
3.1　什麼是「機率」？⋯⋯用來表示「確定性」的數字
3.2　發生「什麼」的機率⋯⋯「事件」與「基本事件」
3.3　事件的數量與機率⋯⋯加法法則、乘積法則、排列、組合
3.4　集合與機率⋯⋯「聯集」與「交集」
3.5　事件與機率⋯⋯「和事件」與「積事件」
3.6　無法計算機率的時候⋯⋯估計機率
3.7　【數學迷專欄】機率空間的定義
3.8　練習題

◉理論篇　透過機率和統計，洞見事物面貌
▍第4章　高中數學以後的「統計」——機率與統計的橋梁
4.1　骰子的點數、硬幣的正反面⋯⋯「隨機變數」
4.2　當下記錄的「資料」和產生該資料的「生成過程」
4.3　什麼點數出現的機率是多少？⋯⋯「機率分布」
4.4　增加資料，就能得知真正的機率分布⋯⋯「大數法則」
4.5　隨著時間變化的隨機變數⋯⋯「隨機過程」
4.6　時間變化的記錄⋯⋯「時間序列資料」
4.7　中央粗厚、兩翼細薄的鐘形分布⋯⋯「常態分布」
4.8　常態分布的過人之處⋯⋯「中央極限定理」
4.9　練習題

▍第5章　根據資料，還原事實——估計
5.1　資料的函數⋯⋯「統計量」和「估計量」
5.2　既不誇大也不過低評價⋯⋯「不偏估計」
5.3　最具說服力的估計⋯⋯「最大概似估計」
5.4　精確的「點估計」和存在範圍限制的「區間估計」
5.5　還原資料生成過程的「結構估計」，只進行預測的「誘導型估計」
5.6　練習題

▍第6章　利用資料，鑑別假設的真實性——檢定
6.1　「虛無假設」（不顯著）與「對立假設」（顯著）
6.2　「單尾檢定」（X>Y）與「雙尾檢定」（X≠Y）
6.3　有多強的證據才會採用？⋯⋯「顯著水準」
6.4　「型一錯誤」（冤獄）vs.「型二錯誤」（錯放）、「檢定力」
6.5　檢驗證據的強度⋯⋯「檢定統計量」
6.6　練習題

◉應用篇　機率與統計的實際運用
▍第7章　利用機率和統計，解釋現實——計量分析
7.1　「母體」（全數）和抽出的「樣本」
7.2　根據單變數資料，推估分布
7.3　根據時間序列資料，預測未來
7.4　根據多變數資料，還原變數⋯⋯「迴歸分析」
7.5　練習題

▍第8章　根據機率和統計，採取行動——決策理論
8.1　兩種思考語言：「展開型」vs.「正規型」
8.2　使用「樹狀圖」的展開型決策
8.3　使用「策略」的正規型決策
8.4　「理性決策」如何定義？
8.5　練習題

◎後記
◎練習題略解
◎參考資料、註解

◎前言
一開頭就先勸學？／對數學的反思／即使學會偏差值，排名也不會增加／
機率與統計的勸學篇

▍序章　日常生活與機率和統計
0.1　天氣預報「降雨機率20％」卻下雨，其實根本就不準？
0.2　彩券行為什麼不會關門大吉？
0.3　身體明明硬朗，健檢報告卻紅字滿滿？難道是醫師想打發時間？
0.4　嘴裡高喊反對核能、守護家園，同時又一手吸菸的人
0.5　學校的學習評量成績，究竟是用來評量什麼？
0.6　飛機降落第一時間就解安全帶，你是這類高風險族群嗎？

◉基礎篇　機率和統計的素養
▍第1章　國小數學的「統計」——表格和...