微積分

　　這是一本紮實與精準的教科書，力圖呈現微積分的驚心動魄與美。微積分的求切線斜率與求面積問題，一舉解決於相對容易的微分正逆演算。微分的正算解決了函數的遞增、遞減、臨界點、極值、凹口向上、凹口向下、反曲點、函數圖形的樣貌、泰勒展式；而微分的逆算 ( 不定積分 ) 解決了求面積問題與解微分方程的問題等。

　　微積分可用一個口訣來描寫：一法二念二義一理。一法就是一個方法，指的是本義的無窮步驟之分析與綜合法 ( 即無窮步驟的分割與連續求和 )；二念就是兩個概念，即極限與無窮小量；二義就是兩個定義，即微分與積分的定義；一理就是一個定理，即微積分學根本定理，它是連結微分與積分的橋樑，以四兩撥千斤的巧妙，解決求面積的千古難題。

　　微積分是整個近代科學與工藝的基礎。若沒有微積分，就沒有物理學，沒有電磁學，沒有近代的科學革命，更沒有現代的電腦資訊文明。學習微積分雖然有點困難，但是努力用心去學，太值得了。深信天下沒有學不會的東西。

　　微積分可能是每一位初學者第一次接觸到的最抽象，也最具挑戰性的數學，因為它結結實實遇到了「無窮」，落實於取極限的操作或無窮小量的論述法。「無窮」讓微積分具有深度，困難且迷人。本書願盡所能幫助讀者克服這個「無窮」的難關。「大道無門，千差有路，透得此關，乾坤獨步」，加油！

第1章　函　數
1.1　函數及其圖形
1.2　函數的結合：平移與尺度伸縮
1.3　三角函數
1.4　指數函數
1.5　反函數與對數函數

第2章　極限與連續性
2.1　變化率與曲線上的切線
2.2　函數的極限與極限的操作規則
2.3　極限的精確定義
2.4　單側極限
2.5　連續性
2.6　涉及無窮的極限；圖形的漸近線

第3章　微　分
3.1　在一點的切線與導數
3.2　一個函數的導函數
3.3　微分的規則
3.4　導數的變化率解釋
3.5　三角函數的導函數
3.6　連鎖規則
3.7　隱函數的微分法
3.8　反函數與對數函數的微分法
3.9　反三角函數
3.10　相關的變化率

第4章　微分法的應用
4.1　函數的極值
4.2　平均變率定理
4.3　單調函數與一階導數檢定法
4.4　凹凸性與函數作圖
4.5　不定型與羅必達規則
4.6　極值的應用問題
4.7　牛頓逐步逼近求根法
4.8　反導函數

第5章　積　分
5.1　面積與有限項求和的估計
5.2　求和記號Σ與有限和的極限
5.3　定積分
5.4　微積分學根本定理
5.5　不定積分與變數代換法
5.6　定積分的變數代換法與兩曲線之間的面積

第6章　定積分的應用
6.1　利用橫截面積來求體積
6.2　柱殼法求體積
6.3　曲線的長度
6.4　旋轉體的側表面積

第7章　積分與超越函數
7.1　透過積分定義對數函數
7.2　指數變化與可分離變數型的微分方程式

第8章　積分的技巧
8.1　分部積分法
8.2　三角函數的積分
8.3　三角代換法
8.4　有理函數的部分分式法
8.5　數值積分
8.6　瑕積分

第9章　無窮的數列與級數
9.1　數　列
9.2　無窮級數
9.3　積分檢定法
9.4　比較檢定法
9.5　比值檢定法與根式檢定法
9.6　交錯級數、絕對與條件收斂
9.7　冪級數
9.8　泰勒與馬克勞林級數
9.9　泰勒級數的收斂
9.10　二項級數與泰勒級數的應用

第10章　偏導函數
10.1　多變數函數
10.2　多維空間的極限與連續
10.3　偏導函數
10.4　連鎖規則
10.5　方向導數與梯度向量
10.6　切平面
10.7　極值與鞍點
10.8　Lagrange乘子法

第11章　多重積分
11.1　在長方形上的兩重積分與逐次積分
11.2　一般領域上的兩重積分
11.3　兩重積分求面積
11.4　極坐標之下的兩重積分

附錄1　極限定理的證明
附錄2　常見的極限式
附錄3　連鎖規則的證明
附錄4　二階檢定法的推導
附錄5　極坐標與極坐標方程式
附錄6　向量及其運算

習題簡答
英中文索引
簡要積分表