如何進入彩虹泡泡中：100個有趣的數學實驗

在德國吉森（Gießen, Germany）的數學博物館，是世界上第一個讓參館遊客動手做數學的實驗館暨科學中心，其成立的宗旨為提供大眾一個進入數學世界的全新體驗。自2002年成立至今，豐富的館藏數學實驗帶來每年約十五萬的造訪人次。

藉由閱讀這本書，來訪數學實驗館的訪客將能從實驗中獲得更多啟發與趣味；而對於未能參館的讀者，這也是一本能讓人體會數學實驗樂趣的好書，讓讀者得以從書中窺見神奇的數學世界，並留下印象深刻的數學體驗。

透過實驗來介紹數學的方式使得數學實驗館進入了全新境界。饒富興味的遊戲實驗，諸如骰子遊戲、造橋遊戲、以及觀察肥皂泡泡表面等等，都引導人們運用不同的觀點來進入數學世界。許多來訪的遊客表示，對這種不設限的動手作展覽感到非常新奇且滿意。從主題展覽「摸得到的數學實驗館」中，我們曾展出了許多主題，包含算數、方程式、機率等等，啟發了無數個數學老師和我們一同重視數學實驗，甚至促成了許多其他類似的機構產生，舉凡德勒斯登數學體驗世界、紐約MoMath、以及巴賽隆納加泰隆尼亞數學博物館等，都能發現與數學博物館類似的展覽精神。

在數學實驗館的展覽理念背後其實有個故事。早在十八、十九世紀時，著名的西方平民教育之父約翰．亨里希．裴斯泰洛齊（Johann Heinrich Pestalozzi），發展了三到理論，強調幼童需「頭、心、手」三方面皆使用，方能有效學習。這也就是今日在英語區科學研究中心所提倡的三項學習程序：「手到、心到、並融入其中」（hands-on, minds-on, hearts-on）

廣泛而論，現今社會大眾普遍認為實驗在數學教育裡所扮演的角色無足輕重，在自然科學裡卻是不可或缺的。人們認為物理，化學或生物學的自然法則驗證以及對假說的證實（或證偽）都需要進行實驗，但另一方面卻認為，數學真理是基於邏輯思辨而得出的。

然而，數學實驗實際上有著與一般自然科學實驗截然不同的功能。廣義來說，數學實驗具備了所有實驗所需的條件：例如在一個軌道上放著許多彩色的木塊，軌道的另一方則有一顆可以在軌道上滾動的球。你可以用繩子來拉動球前進，直到最後所有木塊聚集組成一整個物體。像這類的遊戲實驗就稱為「互動實驗」。

實驗讓參與者感受到，只有在自己動手並與設計裝置產生互動後，才能讓實驗順利進行。即參與者在實際玩過實驗後，會感覺展出的內容和動手前看起來不一樣了，裝置的狀態也改變了，同時參與者的思想也會隨之轉動，並在內心產生疑問：真的是這樣嗎？怎麼會這樣呢？要怎麼解釋這現象呢？等等的疑惑。

如此一來，透過互動，展覽將促使人們在最終獲得知識及自己的見解。就像有個開關突然間啟發了你，讓你意識到這一切是如何發生。像這樣突如其然的「啊哈！原來如此」的感覺，正是數學「在某個絞盡腦汁的瞬間心領神會」的特點。

一項實驗該具備何種特質才算是一個能啟發人們思考的實驗呢？我們在數學實驗館中所追求的實驗主要包含以下兩點：首先，實驗的參與必須是低門檻，讓所有人都能輕鬆參與，同時實驗裝置的硬體也必須符合簡單操作的原則。因此，只有在某些例外情形下，才會在實驗中使用電子設備，因為實驗宗旨是讓人們能看見「現象」，而不是某個電腦處理後的結果。同時實驗希望帶給人們的印象是：這實驗很簡單、很容易進行。簡單來說，就是不需複雜的背景知識也能使任何一個人能理解並輕鬆上手的實驗。

另一方面，卻也要求實驗本身的操作看起來不能太容易，必須要設計成在開始操作後便會遇到意料之外的困難。而正是這樣的困難障礙創造出挑戰性，進而刺激我們的思考。

在嘗試實驗的過程中，人們會自然而然地開始聊天並互相交換意見，共同尋求解決方法。如果想出了解答，感到高興與自豪是理所當然的，因為你獲得了一次成功的經驗而且知道其他人仍然百思不得其解。因為成功是可預見的，像是：「我成功建立了一座金字塔！」「我們蓋了一座拱門！」或是「我破解了密碼！」。

這種類型的數學研究有以下幾個目的：

一、明確指出數學和思路邏輯有關，且透過自己的思考才能獲得結果

二、讓人們改變對數學或自然科學的態度

三、不會讓人感到沮喪，而是加強每個人的自信心

透過實驗來進入數學的世界是適用於任何人的學習方式。無論男女老少、知識背景如何迥異，吉森的數學博物館都非常具有吸引力。在館內你將會看到眾多不同主題的數學實驗，事實上還比學校所教的數學內容更加豐富多樣。因為沒有任何一個領域能自外於數學，除了包含了一般我們所熟知的幾何學，還有代數、數字與分析、方程式等等，更有隨機學、機率學、組合學、拓撲學，以及數學歷史等專業內容，這些都能從數學博物館的實驗中學習。

當然也有很多實驗跟學校課堂中所教的密切相關，比如勾股定理、圓周率的計算、篩豆理論，以及更多其他在學校正規教育中不常被介紹到的內容。每一個實驗都引人入勝，像是肥皂泡泡表面的「極小曲面」條件、最速降線問題、德國之旅（旅行推銷員問題）等等。從這點看來，數學博物館提供了一個比學校數學教育更具代表性的視野。

整個數學博物館以及個別展覽實驗的設計，都致力於使參觀者能有最大發揮空間的自主權。在展館空間裡，你可以去任何你想去的地方，無須遵循中心主題，館內也沒有既定的參展方向。你可以恣意地挑選任何有興趣的實驗，或全神貫注，或隨意瀏覽。總之，展館內沒有秘密課程。同時，儘管有著這樣的自由度，不，也許正因為有著這樣的自由度，參觀者也可以在任一實驗前佇足，盡情地從中體會學習，並靠自己的努力得出對實驗現象的解釋。

數學博物館提供的學習模式是一種徹底建構的方法，將每一位參觀訪客都視為一位「研究者」，讓每位「研究者」在各個實驗中獲得解決問題的能力。每項實驗不會提供答案，參觀者必須靠著單獨或與他人合作的腦力激盪，努力之後，方能獲得解題成功的成就感。

數學博物館提供跨向數學世界的第一步。這意味著兩件事情：參觀者在數學裡跨出了第一步，憑藉著自己的思考來解決問題；然而要記住的是，這也僅僅只是數學的第一步，因為展覽實驗無法提供更深入的探討。

所以這是本什麼樣的書？

這本書並不是參觀數學博物館前必讀的書籍，當然也不是教導讀者該如何做實驗的工具書，因為正如同前面所說的，數學博物館就像其他科學學習中心一樣，是一棟無須事前訓練，也不需事先準備，更不需參館導覽，就可以了解並學習許多知識的地方。

每個優秀的數學實驗都能帶領參與者進入更深一層的思考及探索，不僅限於數學領域的深入探討，也可以是人類歷史的領域... 這些都是本書能提供的知識。書中展示各式各樣的數學實驗，描述這些實驗的意涵，同時建立許多歷史與數學的相互關係。唯有透過了解這些知識，才能在數學博物館中進到下一步的學習。數學博物館裡多數的實驗將在本書的100個章節中作介紹。

當然，在一開始寫這本書的時候我所鎖定的讀者的確是數學博物館的訪客，心裏想著訪客或許在參觀完實驗館後，會想把這本書帶回家做更深入的理解閱讀。當他們翻開這本書時會回憶起一個個曾經做過的實驗，或曾聽過卻沒做過的實驗。如此一來，他們將更有機會發現許多或許不引人注目但同樣極具意義的實驗。

當然我也能想像，若是來拜訪我們的參觀者（尤其是老師們）能在來訪前先瀏覽過這本書，就更可以事先安排好要參觀哪些實驗以及實驗中的哪些技巧或特別處需要注意的地方，這樣一來就可以給學生們及時的指導，使學習更有效率。但也請別忘記，我們的目的是讓學生盡可能地自己去探索知識，所以別洩露太多秘訣給他們喔。

另外值得一提的是，你並不需要將這本書系統性地、從頭到尾詳細閱讀，只需翻閱一下，說不定哪張照片或標題就正好引起了興趣，讓你想瞭解更多。又或是其中的某段敘述能引領你探索某個從未認識過的數學領域。因此，就從這100個實驗中隨意挑一個開始吧，在每一個段落你都會有新發現！

希望我們都能在這本書中找到對數學實驗與知識的熱情，就如同實地參觀數學博物館一樣。從好幾年前數學博物館興建之初，我就開始編寫了這本書，現在真的很高興能看到這本書終於要出版了。

本書的完成要感謝許多人，以不同的方式、在各個部分所做出的貢獻：如校稿、選擇實驗、評比實驗的難度等級等等，並且也沒有一再地催促我趕快完成這本書。在這裡我還要特別感謝以下這幾位同事這幾年來的幫助：Christoph Beutelspacher, Mirjam Elett, Anne Hukel- mann, Carola Kahlen, Elisabeth Maaß, Lisa Peter, Laila Samuel, Sabrina Schneider, Brigitte Strakeljahn, Jonas Wagner, Rosina Weber, Hanni Weller.

Dr. Marc-A. Zschiegner 是在十年以前編輯第一個目錄的人，他甚至特地設計了教學圖紙。此外，這本書也因為有了許多圖片而生動活潑，絕大部分的照片都是來自Rolf K. Wegst，他在拍出了上千張照片之餘還能細心地注意到本書對照片的許多專業要求。

在德國吉森（Gießen, Germany）的數學博物館，是世界上第一個讓參館遊客動手做數學的實驗館暨科學中心，其成立的宗旨為提供大眾一個進入數學世界的全新體驗。自2002年成立至今，豐富的館藏數學實驗帶來每年約十五萬的造訪人次。

藉由閱讀這本書，來訪數學實驗館的訪客將能從實驗中獲得更多啟發與趣味；而對於未能參館的讀者，這也是一本能讓人體會數學實驗樂趣的好書，讓讀者得以從書中窺見神奇的數學世界，並留下印象深刻的數學體驗。

透過實驗來介紹數學的方式使得數學實驗館進入了全新境界。饒富興味的遊戲實驗，諸如骰子遊戲、造橋遊戲...

引言
第一章：數字與算數
1. 最老的數字
2. 羅馬數字
3. 一塊麵包石
4. 畢達哥拉斯與音樂
5. 數字櫃
第二章：數字與無窮
6. 誰最突出?
7. 質數
8. π
9. 從π裡找我的生日
10. 無限多個分數
第三章：從這裡開始計算
11. 算盤
12. 二進位時鐘
13. 疊疊樂
14. π 的二進制
15. 無限計時器
第四章：組合！
16. 字彙沙拉
17. 蜂巢拼圖
18. 音樂骰子
19. 彩色石
20. 幻方
21. 亮燈吧！
22. 五格骨牌月曆
第五章：機率的力量
23. 骰子蛇
24. 紅色骰子出局！
25. 高爾頓板
26. 直線上的雙胞胎
27. 第二個人會贏
28. 聰明豆
29. 混亂鐘擺
第六章：填字遊戲
30. 破解密碼!
31. 模板的秘密
32. 恩尼格瑪密碼機
33. 謎霧中的符號

第七章：絕佳造型
34. 圖形儲存櫃
35. 唐圖(七巧板)
36. T
37. 四邊三角形
38. 索馬立方
39. 康威立方
第八章：畢達哥拉斯
40. 秤出畢氏定理
41. 拼出畢氏定理
42. 證明畢氏定理
43. 四方謎題
第九章：積少成多
44. 袋鼠拼圖
45. 有幾隻熊?
46. 彭羅斯磁磚
47. 圓形堆積
48. 震盪球
49. 消失的孩子
第十章：有稜有角
50. 圓球金字塔
51. 稜錐體
52. 柏拉圖立體
53. 立方體中的稜錐體
54. 感覺形狀
55. 物體的投影
第十一章：魔鏡啊魔鏡
56. 傳真鏡
57. 鏡像字母
58. 看見無窮
59. 旋轉鏡
60. 鏡子書
61. 角落鏡
62. 巨大萬花筒
63. 鏡子漏斗

第十二章：確定比例，至關重要
64. 黃金切割
65. 斐波那契數列
66. 自然界的斐波那契數
67. 藝術裡的黃金比例
68. 維特魯威人
第十三章：角度決定結果
69. 取決於角度
70. 什麼是透視製圖？
71. 大與小
72. 所有三角形都長得一樣
73. 壹
74. 傾斜的房間
75. 不可思議的三角形
第十四章：飆升的曲線
76. 正弦曲線
77. 最速降線？
78. 定寬曲線
79. 懸鏈線
80. 四方形的輪子
第十五章：旅途就是目的
81. 歐拉線
82. 德國之旅
83. 達文西橋
84. 我是一個函數
85. 感受函數
86. 世界人口
第十六章：當錐體遇見面
87. 圓錐體和圓錐曲線
88. 橢圓
89. 旋轉拋物線
90. 拋物線計算法
第十七章：令人驚艷的表面
91. 神奇的泡泡膜
92. 巨大的泡泡
93. 看起來是直的，其實是彎的！
94. 地球上最短的路徑
95. 梅比斯環
第十八章：歷史與傳說
96. 棋盤的故事
97. 諾漢塔
98. 蘇格拉底與他的學生
99. 最傑出的數學家們
100. 數學夢
附件：
參考書目
圖片來源
作者簡介

引言
第一章：數字與算數
1. 最老的數字
2. 羅馬數字
3. 一塊麵包石
4. 畢達哥拉斯與音樂
5. 數字櫃
第二章：數字與無窮
6. 誰最突出?
7. 質數
8. π
9. 從π裡找我的生日
10. 無限多個分數
第三章：從這裡開始計算
11. 算盤
12. 二進位時鐘
13. 疊疊樂
14. π 的二進制
15. 無限計時器
第四章：組合！
16. 字彙沙拉
17. 蜂巢拼圖
18. 音樂骰子
19. 彩色石
20. 幻方
21. 亮燈吧！
22. 五格骨牌月曆
第五章：機率的力量
23. 骰子蛇
24. 紅色骰子出局！
25. 高爾頓板
26. 直線上的雙胞胎
27. 第二個人會贏
28. 聰明豆...