生活中無所不在的數學：解決問題的最佳工具

買了彩券卻沒中

——如果把它想成是捐贈行為的話…

【關鍵字】期望值

一到了JUMBO彩券發行的時期，東京西銀座的某個彩券販售處就會大排長龍，很多人都覺得在這裡買比較容易中獎。雖然理論上，不管在哪裡買彩券，中獎機率應該都一樣才對。如果彩券行賣出很多彩券，中獎的彩券數自然會比較多，不過沒中獎的彩券也會很多。

先不管在哪裡買比較容易中獎，讓我們稍微聊聊彩券的機制吧。

首先，在當期彩券販售期間結束以後，彩券發行單位會用公正的方式（像是在許多人面前，以飛鏢射向旋轉中的圓板之類的）抽選出中獎號碼。接著再支付對應的中獎金額給擁有中獎彩券的人。

所以如果運氣好、剛好買到中獎彩券的話，只要花少少的錢（一張彩券300日圓），就能夠獲得高達數億日圓的高額獎金。

不過，在這之後才是重點。彩券的營業額並不會全部都當作獎金。做為獎金發還給購買者的金額佔營業額的比例，又叫做獎金比例，日本彩券的獎金比例皆在二分之一以下，其餘則歸彩券發行商所有。其中一部分會用於印刷與販賣彩券時的費用，此外還會用在其它地方上。

另外，一般人不可以自行販賣彩券，這麼做的話會被當作犯罪行為取締。日本法律規定，只有地方自治機構，或者有政府許可的特殊團體才能發售彩券，且彩券的獎金比例不可超過50%＋加算金（如LOTO 6*的過去累積獎金等）。而將獎金發給中獎者後，剩下的錢必須用於地區醫療發展等公共事業。所以基本上來說，彩券就是從金錢上有餘裕的人身上蒐集金錢，再將其投入公共事業的活動。

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當然，我們買彩券的時候，並不曉得付出去的錢會有多少變成獎金還回來。因為彩券可能會中獎，也可能不會中。在這種不確定會不會中獎的狀況下，若想知道我們花一筆錢買彩券後，大概能拿回多少比例的獎金，可以將所有買彩券的人拿到的獎金平均後做為參考。這個數值又稱作「期望值」。而彩券獎金的期望值，就是購買彩券的金額乘以獎金比例。

由於日本獎金比例為50%以下，故購買一張300日圓的彩券時，獎金的期望值在150日圓以下。

有錢人捐錢給公共事業的活動

也就是說，平均而言，買彩券時會減少一半的財產。這其實就是一開始發行彩券時的目的，如前所述「將有錢人多餘的錢投入公共事業」，所以這也無可厚非。換言之，購買彩券的人也可以說是「捐贈金錢」給公共事業。所以，如果是為了變有錢而買彩券，從根本上就用錯方法了。

再來要談的仍是對期待「獎金」的人來說不怎麼中聽的話。一等獎的獎金非常多，得獎者卻非常少。這是將許多人的錢集中起來交給極少數人的過程，是一種極度不公平的分配方式。雖然我們前面有提到，獎金的期望值約為購買彩券時花費之金額的一半，但這其實是統計了數不清的彩券購買者後所得到的平均數值。大多數購買彩券的人根本拿不到購買彩券時所花費之金額的一半，只能拿到幾乎等於沒有的獎金。假設有人花3000日圓購買十張連號的300日圓彩券，由於連號的十張彩券中必有一張會中300日圓，故通常只能拿回300日圓，也就是花費金額的10%。

說到這裡，應該可以了解到以獎金為目的去購買彩券是多可笑的事了吧。彩券這種東西，讓那些金錢上很有餘裕，「想捐錢給公共事業」的人去買就好了（真希望在報稅的時候，可以將購買彩券所花的錢拿來抵扣所得）。

想靠彩券發大財——這種想要不勞而獲的心態本身就不正確了，應該被矯正。若他們看到期望值，甚至是花3000日圓只能拿回300日圓的實際情況時，應該會覺得「還是得腳踏實地努力才行」吧……。

買了彩券卻沒中

——如果把它想成是捐贈行為的話…

【關鍵字】期望值

一到了JUMBO彩券發行的時期，東京西銀座的某個彩券販售處就會大排長龍，很多人都覺得在這裡買比較容易中獎。雖然理論上，不管在哪裡買彩券，中獎機率應該都一樣才對。如果彩券行賣出很多彩券，中獎的彩券數自然會比較多，不過沒中獎的彩券也會很多。

先不管在哪裡買比較容易中獎，讓我們稍微聊聊彩券的機制吧。

首先，在當期彩券販售期間結束以後，彩券發行單位會用公正的方式（像是在許多人面前，以飛鏢射向旋轉中的圓板之類的）抽選出中獎號碼。接著再支付對應的...

——數學真的很有用！

我們日常生活中，常有機會用到數學與數理邏輯，筆者將在本書中一一介紹這些數學。故本書的重點放在數學的「用處」，說明如何利用數學來解決各種讓人困擾的狀況。寫作本書時，我盡可能不去收錄那些單純很好玩、滿足數學愛好者的好奇心的例子，而是以能夠解決問題的例子為主。只要是能夠讓人覺得「這也會用到數學嗎？」的例子，我都會盡量蒐羅進本書。這使得本書主題變得相當發散，難以整理成一個完整的系統。不過相對的，不管讀者讀到哪一章，應該都會有「數學真的很有用耶！」的感覺。

筆者在以小學生、國中生為目標讀者的月刊雜誌《孩子的科學》中有一個名為「押忍！！數學道」的專欄，並連載了七年半。本書就是以這個專欄的文章為基礎寫成的。我在學生時代時曾參加過空手道社，編輯部聽說之後，便提議取「數學道」這種有武道風格的名字。但我在寫這本書的時候，卻時時提醒自己不要寫出只有數學愛好者才有興趣的話題，而是要努力跨過學術障礙，讓一般人也能夠瞭解這些有用的數學方法。在這個精神下，我試著從連載的文章中嚴選出某些對大人也很有用的話題，改寫整個內容，完成本書。

想必有不少人覺得數學這種東西和自己沒什麼關係，讓那些喜歡數學的人自己去玩就好；或者覺得數學是一門類似藝術或知識性的學問，如果以後有時間的話再來試著研究看看。

不過，本書所介紹的數學既不藝術也不學術。雖然沒有藝術之美，但本書的數學卻有著接地氣般的實用性，讓我們能將數理邏輯應用在平時的生活中。與其說本書在談數學，不如說是在談「數理工具」，或者說「將數學當作碰上麻煩時用來解決問題的工具」。

本書任一個主題所談的數理思考方式，都能幫助我們解決日常生活上的問題，這就是本書各主題的共通點。我希望各位讀者在讀過本書之後，能夠體會到我們的周遭其實隱藏著許多數學，數學真的很有用。

二〇一七年一月

作者

——數學真的很有用！

我們日常生活中，常有機會用到數學與數理邏輯，筆者將在本書中一一介紹這些數學。故本書的重點放在數學的「用處」，說明如何利用數學來解決各種讓人困擾的狀況。寫作本書時，我盡可能不去收錄那些單純很好玩、滿足數學愛好者的好奇心的例子，而是以能夠解決問題的例子為主。只要是能夠讓人覺得「這也會用到數學嗎？」的例子，我都會盡量蒐羅進本書。這使得本書主題變得相當發散，難以整理成一個完整的系統。不過相對的，不管讀者讀到哪一章，應該都會有「數學真的很有用耶！」的感覺。

筆者在以小學生、國中生為目...

第一章 工作時會用到的數學技巧
如何增加「勝率」 賽局理論
為什麼有時候多數決的結果卻不能代表「多數人的意見」？ 心理悖論
沒有最佳策略的話，就選擇次佳策略！ 網路與配置問題
冗長的資訊反而能減少失誤？ 資訊的冗長性
本質不同的東西要如何比較呢？ 常態分配、偏差值
不要讓關係不好的人坐在一起 圖論
太早也不行，聰明的佔位法 用數理模型解決

第二章 解決日常生活中所碰到的麻煩
如何正確、簡單地調出想要的水溫 倒數比的應用
迅速找出想聽的CD 二分搜尋法
如何改善「字醜」的問題 平衡的幾何學
如何選到比較不會搖晃的座位 模擬
冰箱裡的果汁變冰的過程 解讀圖表
雖然想捐錢，但捐錢後錢會變少… 邊際效用

第三章 數學讓你享受到興趣的不同面向
電影院和液晶電視的差異，原來震撼感是來自這裡！ 雙眼立體視覺
如何由照片判斷攝影位置 作圖計算
在凹凸不平的雪面上滑行的訣竅 用向量思考
教孩子怎麼盪鞦韆 單擺運動
打棒球時利用力學跑壘 速度與離心力

第四章 這種情況下，要怎麼利用數學解決問題呢？
三個箱子中，哪個箱子會中大獎呢？ 蒙提霍爾問題
真的計算不出正確的海岸線長度嗎？ 碎形幾何學
如果有八個選擇的話，怎麼用骰子決定要選哪一個？ 非六面骰
挑戰計算形狀複雜的水池面積！ 阿基米德的逼近法
證明一件事「做不到」也是數學的一大用途 最大公因數的效果
漫無目的的問卷調查可以得到什麼結論呢？ 資料探勘

第五章 有效運用「幾何力」解決問題
為什麼人們常會弄錯方向呢？ 大腦的誤解
循環賽的賽程 用點與線連接
有辦法讓神轎剛好走過市內每一條路嗎？ 一筆畫問題
由照片正確計算出兩點間的距離 射影變換
游泳池的水要花多久才能放完？ 分成不同區間

第一章 工作時會用到的數學技巧
如何增加「勝率」 賽局理論
為什麼有時候多數決的結果卻不能代表「多數人的意見」？ 心理悖論
沒有最佳策略的話，就選擇次佳策略！ 網路與配置問題
冗長的資訊反而能減少失誤？ 資訊的冗長性
本質不同的東西要如何比較呢？ 常態分配、偏差值
不要讓關係不好的人坐在一起 圖論
太早也不行，聰明的佔位法 用數理模型解決

第二章 解決日常生活中所碰到的麻煩
如何正確、簡單地調出想要的水溫 倒數比的應用
迅速找出想聽的CD 二分搜尋法
如何改善「字醜」的問題 平衡的幾何學
如何選到比較不會搖...