數學也可以這樣學（2）：跟大自然學幾何

第一章 導論

本書的假設是，如果我們對事物能有一番思維（thoughts），那必定是該事物內秉的。這不是一個新的概念。要看出這些思維到底是什麼或許並不容易，但問題未必出在事物或思維本身，可能是我們自身的不足。

與某個現象有關的思維，可能過了一天、一年、甚至一個世紀，我們都還未必會發現它，但這並不意味它不在那裡。有某種重要的東西引導、構建、設計與支持著我們所見的事物，無論我們要不要去確認它。物理學家尤金‧維格納（Eugene Wigner）和許多人一樣，對於數學觀念與現實世界之間的奇妙關聯感到驚訝，他在一九六○年寫了一篇文章，名為〈數學在自然科學中不合理的有效性〉（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）。對我來說，如果數學不是有效的，那才是不合理！魯道夫‧史泰納（Rudolf Steiner, 1861-1925）在《自由哲學》（The Philosophy of Freedom）中表示，唯有當我們真正找到這樣的思維時，才會開始尋找真實（reality）。克拉克‧馬克士威爾（Clerk Maxwell, 1831-1879）憑借他的數學才能發現光傳播的定律，然後才是實驗驗證。然而，康德（Immanuel Kant, 1724-1804）卻認為這種真實永遠無法被找到。

1.1 機械中的思維

對於我們自己製造出來的機械裝置，了解其內含的思維一點也不困難，因為那是我們一開始就放進去的，不然它就無法運作。這世界的其他部分也是這樣子運作的嗎？如果不是，為什麼不是？我們可以藉由自己的心智想像來改變這個世界的一些面貌，不就證明了我們內在之物可以在外在世界找到一席之地。

我相信，我們不需要受限於莎士比亞所謂的「蒼白的思維」（pale cast of thought）。思維或許會開始黯淡，且持續一段很長的時間，但不必然就是我們的處境。有時候，一個想法就可以讓我們振奮起來――人們甚至會為了一個想法或理想而死。現今有蒼白的思維嗎？當然。只要看看某些人對於以「智能」（intelligent）一詞指稱世界時所爆發的狂怒，更不用說大自然裡有難以言喻的智慧。多麼「蒼白」啊！

教宗本篤十六世說：「世界是一個智能計畫（an intelligent project）。」就此而言，我恰好與他意見一致。但這不表示著我有絲毫認同基要主義者（fundamentalist）的創世論觀點或唯物主義的意識形態。非常不幸地，「科學」一詞（如同許多詞彙一樣）被獨占與箝制了。「科學」意指知曉，而非單指物質知識。我們每天經常使用的數學，計數與幾何，就屬於「非物質」的知識。「科學」一詞已經被物質的自然科學綁架了。這種人為的劃分，最好的情況就僅是一種限制，但最壞的情況就成為一種沒有絕對可信度的意識形態，如同其他信念體系一樣。喬思‧韋呂勒（Jos Verhulst）在他的生物學研究中煞費苦心地指出，許多標榜為科學的，其實只不過是一種潛在有害的意識形態。談及「許多專家熟知的達爾文學說的內在問題」時，他說：「在我看來，這種系統性漠視正當的反對意見，就等同於集體填鴨。」（維呂勒《發展動力學》〔Developmental Dynamics〕，頁360）

這本書並不是要討論認識論的細節，然而在我們想的與能感知到的兩者之間，似乎有某種聯結，這就是本書試著去探索的領域。誠然，這是真正的科學。我的信念是，科學是概念世界與現象世界的交織，這也是我在書中採用的認知模型。儘管概念與現象存在著本質上的差異，但它們必須要被適當權衡，原因很簡單，它們就是事物的一體兩面。

本書的出發點是幾何學――純粹概念的國度。我們從射影幾何學（projective geometry）開始，不同於歐幾里得幾何學，它並不依賴測量；測量和形式會從射影幾何的簡單變換中出現。在本書中，我們將針對大自然中發現的形式，探究其是否正確反映這些幾何形式。

幾何學的基本元素是點（point）、線（line）、面（plane）。我們每天觀看世界時，傾向將點視為最重要的，至於線和面則是由一系列的點構造出來。然而，我常常在想，我們能不能不要把我們的世界想成只由點構成，換句話說，不是只有點，而是「點與線」、「線與面」這種成對的元素，或是「點線面」這種三元一組的元素。如此一來，我們就不難理解如何使用這些複合元素及其運動來描述一個面（surface）。比方說，圖1.4中展示的「體」（field），就是由「點與線」自身有序的運動建立的，而不單單只有點。（在第八章關於路徑曲線中有更詳細的介紹。）

1.2 大自然的形式

本章接下來的目的是描述一些大自然形式的特徵。儘管我們十分熟悉周遭所見到的許多形式，但正因為熟悉，讓我們錯過了一些基本的東西。僅僅是知道並非真正的認識和理解。那麼，有理解自然結構的方法嗎？我們能從看到的各種形式中找出系統性嗎？

這裡有一些例子提醒我們有許多各式各樣的形式。例如，是什麼引導大葉南洋杉的枝葉生長成那種形式？是什麼安排棕櫚樹開展成那樣的形式？

同樣地，是什麼把哺乳動物的頭部構造成具有兩側對稱性？這種對稱性怎麼會在動物、植物和礦物界中無所不在？在人類世界中，我們亦視其為理所當然。白蟻的體型與大部分昆蟲一樣，呈現出腹部、胸部和頭部，這背後是否存在一個基本的模式？這是否證明了生物界內在的原始結構？除了顯而易見的五角星形，海星的形式是否有其打算？它的幾何是什麼？抑或，海膽的幾何是什麼？這些具有從嘴到背後縱向生長棘刺及節點的海膽，真的是蛋形而不是螺旋形嗎？

那葉子呢？葉子有什麼樣的葉脈？它們的各種分叉是否讓人聯想到混沌理論的概念？這是大自然如何從葉子節點（或莖節）走到葉子邊緣的足跡嗎？竹節上是否有什麼機制？如果有的話，它趨向什麼？那帝王花（protea）更迭出現的葉子呢？這種情況常見嗎？是典型的、可以解釋的嗎？那雞蛋的形式呢？松果與蘇鐵錐體上的神祕雙螺旋有值得探索的地方嗎？在這兩種顯然不同的物體上，有什麼本質上的相似之處嗎？

此外，一定有某種有規則的性質對應石英的美麗形式。從微觀的角度，科學對這些形式有非常充分的認識，然而是否仍有被忽略或未被談論過的觀點？例如，石榴石晶體是如何形成一個完整而清晰的菱形十二面體（即使有一點破損），而不只是許多雜亂的小菱形十二面體聚集在一個分子堆中？是不是因為平面與多面體形成的關聯比我們知道的還多？

還有，動物的華麗外觀、器官形式、循環系統、多樣細胞、外表圖樣、器官配置和交互作用之中，是不是有個支配一切的引導原型（guiding archetype），包含所有的形式、物種及其特化過程（specialisation）。這裡正好有兩個代表例子︰一隻漂亮的紅綠鸚鵡與（塔朗加）西部平原動物園裡的雄偉老虎。有沒有某種形式，所有動物世界的物種都由它發散而出，但又趨近於它？

我們能大膽地認為這種動物想要趨近卻已發散的形式，就是人類的形式嗎？這是其他動物想要達到卻都失敗的形式？或許這想法會被咒罵，但科學界從沒認真考慮過它。

每個人都有名字，每個人都是他或她自己的特有種，但每種動物卻都是透過其物種名稱才被認識。我不相信我們是動物，而且我也不相信我們曾經是：我們一直處於人類發展的階段，而不僅僅是一個倖存的動物。

1.3 自然界的方向（大標）

大自然裡的每個界域似乎都與特定方向（或賦向）有著密切的關係，這些方向又在許多重要方面彼此關聯。幾何學的核心元素是線，線與自然界有什麼關係呢？

線的幾何就是成對的連結（a paired articulation），無論是靜態的還是動態的，這反映在大自然之中。儘管礦物界仍然讓我費解，但是在生物界中，有兩個焦點位於一條像脊椎般的線上。在植物界裡，它們是鉛直線的兩端（冠層和下胚軸）；而在動物界中，則是一條傾向水平的線的兩端（頭部和尾部）。

接下來，則是關於平移、鏡射和旋轉這三種主要對稱的祕密。它們是如何散佈在自然界之中？在植物界，平移消失了，剩下鏡射（葉子）與旋轉（分支節點上）；而在動物界，平移和旋轉消失了，剩下鏡射。

一株植物或一棵樹的大方向是環繞直立莖向上生長的；而在動物界裡，一般來說脊椎是水平方向的，即便是那些看起來好像是直立的動物，例如企鵝、袋鼠或大猩猩，仔細觀察就會發現，當企鵝游泳、袋鼠跳躍或大猩猩四腳奔跑時，水平方向才是主宰。然而，人類在直立姿態中，展現的是鉛直賦向，這再一次顯示人類與動物的截然不同。

第一章 導論

本書的假設是，如果我們對事物能有一番思維（thoughts），那必定是該事物內秉的。這不是一個新的概念。要看出這些思維到底是什麼或許並不容易，但問題未必出在事物或思維本身，可能是我們自身的不足。

與某個現象有關的思維，可能過了一天、一年、甚至一個世紀，我們都還未必會發現它，但這並不意味它不在那裡。有某種重要的東西引導、構建、設計與支持著我們所見的事物，無論我們要不要去確認它。物理學家尤金‧維格納（Eugene Wigner）和許多人一樣，對於數學觀念與現實世界之間的奇妙關聯感到驚訝，他在一九六○年寫了一...

審訂序

既古典又現代的射影幾何學

洪萬生

在有關「幾何與藝術」或者「數學與大自然」之類主題的數學普及讀物之中，歐氏幾何學通常是科普作家所掌握的主要工具。藉由這種幾何（國中數學課程的主要內容），作家在說明藝術作品或大自然的美妙模式時，大概已經綽綽有餘，更何況這些作品所訴求的對象，無非是擁有國中數學素養的讀者。

當商周編輯諮詢本書Geometry in Nature: Exploring the Morphology of the Natural World through Projective Geometry是否值得出版（中譯本）時，由於我們幾位夥伴曾經合作中譯同一作者（布雷克伍德）的《數學也可以這樣學》（Mathematics in Nature, Space and Time），因此，我稍事瀏覽原著之後，即建議商周中譯本書。沒想到當時主要憑著直覺的推薦，後來竟然有著「無心插柳」的效果。

原來本書作者雖然出身工程，數學並非其大學主修專業，然而，他卻頗有膽識地使用射影幾何學，作為解說大自然美妙模式（pattern）的一個主要的工具。這門學問對於許多主修數學的讀者來說，可能稍感陌生，因為它早已經從大學數學系的（初級）課程中絕跡（目前，大概只有台灣師大數學系的「高等幾何」課程，還可以看到它的藏身之所）。因此，要不是作者注意到它所引伸的射影不變性（projective invariant）在吾人探索大自然的形態學（morphology）中的關鍵角色，我們根本無從發現：一個源自西方文藝復興時期繪畫透視學的幾何學，竟然可以發揮如此優雅的現代「應用」意義。

另一方面，為了審訂本書中譯稿，我還特別參考射影幾何學的專書。其中，對於我最有啟發的，莫過於Jurgen Richter-Gebert所著的《射影幾何學中的透視》（Perspectives on Projective Geometry）。他在計算機上「表現」幾何物件的結構時，也發現「古典的」射影幾何學十分有用。事實上，在《跟大自然學幾何》中作者言而不宣的幾何奧妙，都可以在《射影幾何學中的透視》一書中，找到相當淺近的對應解說。

總之，數學這種既古典又現代的面向，在射影幾何學上表露無遺，本書《跟大自然學幾何》的作者手繪插圖及解說，也為我們提供了最具體的見證！無論你只是欣賞令人驚奇的圖片，或是有意深入理解蘊含的射影幾何，本書都是同類書籍中的上上之選，請千萬不要錯過。

本文作者為台灣師範大學數學系退休教授



譯者序

一段跟大自然學習數學之旅

蘇俊鴻

假期中筆者有機會來趟北京之行，到盛名的天壇公園看看。當地有句順口溜：「天壇走一走，到處都是九。」足以代表的就是其中的圓丘壇：圓丘壇共分三層，每一層都有九圈由扇形青石板所鋪設的環狀排列。最上一層的中央有塊圓形石板，稱為天心石。圍繞天心石的第一環有九塊石板；第二環有  塊石板……直到最下層第二十七圈有  塊石板。這是一個等差數列的例子，也呼應著數學與人類文化的相互影響：源自中國人對於「九」這個（天）數的崇拜。不過，人造物的規律有跡易求，大自然之書所蘊含的規律卻是讓人迷惑再三，苦心思索。《跟大自然學幾何》一書，正是作者布雷克伍德進行數學探尋的詳實紀錄。

面對大自然展現出之各式各樣的形式特徵，作者想要知道：「有理解自然結構的方法嗎？我們能從看到的各種形式中找出系統性嗎？」對於上述問題，作者選擇從幾何學出發是合情合理，但特別的是，其進路為射影幾何學，而非我們比較熟悉的歐氏幾何學。因為，他認為射影幾何學「不同於歐幾里得幾何學，它不依賴測量：測量和形式會從射影幾何的簡單變換中出現」。並且，對於點、線、面這些幾何學中的基本元素，作者也希望我們：「能不能不要把我們世界想成只由點構成，換句話說，不是只有點，而是「點╱線」、「線╱面」這種成對的元素，或是「點╱線╱面」這種三元一組的元素。」如此一來，方能利用這些複合元素及其運動來描述面（surface）的形式。

不過，多數人從未學過射影幾何學，在此容我稍稍補充一些射影幾何學的相關知識：射影幾何又稱畫法幾何，由於建築和繪圖的需要，人們很早就開始研究投影和截影等問題。十七世紀時，文藝復興時期透視投影畫法的興起，提供射影幾何學發展的契機。稍後，法國數學家笛沙格（Girard Desargues）和巴斯卡（Blaise Pascal）兩人的定理為射影幾何學奠下基礎。到了十九世紀，龐賽列（Jean-Victor Poncelet）等人的努力，使得射影幾何學完備並成為獨立學門。

射影幾何學的「獨立」並未減損它與歐氏幾何學的密切關聯。套用十九世紀德國數學家克萊因（Felix Klein）的說法，幾何學是要研究空間在某種特定運動群下種種的不變性（invariants）。比方說，歐氏幾何就是研究平面（或空間）在剛體運動下的不變性。因此，射影幾何就是研究在射影變換下的不變性。何謂射影變換？直觀來看，射影變換可以看成是一連串平行光或是（點）光源射影的組合。而射影平面就是在歐氏平面「補進」一些「無窮遠點」，而這些無窮遠點會構成「無窮遠線」。所以，對代數方程論而言，射影平面比歐氏平面來得完整，這也是為什麼代數幾何學要在射影空間中討論的原因。因此，黃武雄教授在多年前就提出：射影幾何學可以銜接高中的解析幾何。

對於射影幾何稍作說明後，我們再回到《跟大自然學幾何》的介紹。本書共分十五章：第一章導論介紹本書的意旨，想要處理的問題以及採取的進路。第二章介紹笛沙格定理，這是射影幾何的基礎，但作者對於理論著墨不多，而是用了許多實作的圖形，說明利用笛沙格定理如何將自然中的對稱性，如兩側對稱、平移對稱、旋轉對稱等等形式給予一般性的框架。此外，也說明射影幾何中的基本原理――對偶（配極）原理。簡言之，點和直線在平面上會成立的性質，平面和直線在點上也會成立。這個原理使得我們可以轉換觀看的視角。作者認為：「點是我們文化最喜歡的元素，……，細胞、分子、原子，甚至是次原子粒子這些微小之物，它們被認為可以提供關於整體的答案……這種化約論中存在著某種悖謬，也就是當我們越往小的部分去，我們看到的就越少；當整體被化約成部分後，脈絡就消失了。」這正是第三章所討論的重點，對應於自然界的脈絡，分成平面元素、直線元素、點元素，以及三者彼此相互作用的形式。第四章和第五章，作者則是取用許多自然界的實例，從（不）對稱性來驗證先前介紹之數學工具的可行性。

接著，作者處理自然界中賦向（orientation）的問題：第六章說明自然界不同領域（礦物、植物、動物和人）有著不同的趨向，並且與直線的方向相連結。再來，則是處理節點模式（又稱為直線上的律動）問題，第七章先介紹相應的數學工具――直線上的三種測度：成長測度、環繞測度和階段測度。第八章就以自然界的（平面）螺線來說明其可行性。到了第九章，進一步推至三維的射影幾何，以無窮遠點（虛點）個數為依據，介紹全實四面體、半虛四面體和虛四面體三種基本類型的四面體。再用這三個四面體為模型，「點╱線╱面」所成的複合元素如何運動形成路徑曲線，並據以解說自然界中的空氣（水）漩渦的形式；第十一章和十二章則是討論凸狀與凹形這二個常見的形式。所有的數學工具備齊後，作者便引領我們，分別對礦物界、植物界，以及動物界這三個領域所顯現的形式，展示著他如何進行研究探索的歷程，而這正是第十二章到第十四章的內容。最後，第十五章則是指出作者未來打算繼續研究的目標：與人類領域形式的路徑曲線相應的四面體。

從上述內容的簡短描述可知，這是在討論數學與大自然之美等相關主題中，採取頗為「另類」進路的一本數學普及讀物。那麼，在學校課程中，我們可以如何運用呢？儘管作者的數學觀深受華德福教育哲學的影響，亦即，數學的探索關乎著吾人靈修的徹悟。不過，作者工程師出身，以及從事數學教學多年的背景，讓全書充滿實物照片和精美圖案，每個例子都一步步帶領讀著經歷探索的實作過程，連所犯錯誤也不掩飾！所有這些，當然都值得推薦，然而，我們尤其要推薦第十四章，因為一旦理解作者如何找到魚類形式與所配對的路徑曲線，以及路徑所相應的四面體的過程――從如何猜測、測量數據、模型驗證、調整參數，最後，再重複驗證――讀者自然可以真實感受到科學研究的第一手經驗。因此，基於十二年國教新課綱強調跨領域、選修和重視學習歷程的目標，本書可以充當數學與自然科教師，或是數學與藝能科教師設計跨領域教學的參考用書。另一方面，數學教師想將高中數學由解析幾何延伸至射影幾何，設計一門選修課程的話，那麼，本書也是射影幾何實作課程的絕佳參考之一。

總之，本書除了插圖精美、意涵深長之外，對於射影幾何學所發揮的工具特性，也提供了令人驚喜的簡要說明。因此，無論你只是湊個熱鬧，或是有意深入其中門道，本書都可以帶領我們跟著大自然學習幾何！

本文作者為市立北一女中數學科教師

審訂序

既古典又現代的射影幾何學

洪萬生

在有關「幾何與藝術」或者「數學與大自然」之類主題的數學普及讀物之中，歐氏幾何學通常是科普作家所掌握的主要工具。藉由這種幾何（國中數學課程的主要內容），作家在說明藝術作品或大自然的美妙模式時，大概已經綽綽有餘，更何況這些作品所訴求的對象，無非是擁有國中數學素養的讀者。

當商周編輯諮詢本書Geometry in Nature: Exploring the Morphology of the Natural World through Projective Geometry是否值得出版（中譯本）時，由於我們幾位夥伴曾經合作中譯同一作者（布雷克伍德）的《...

第一章 導論
1.1 機械中的思維
1.2 大自然的形式
1.3 自然界的方向

第二章 笛沙格和影子
2.1 笛沙格三角形定理
2.2 一系列的三角形
2.3 變異和特殊情形
2.4 兩側對稱
2.5 平移對稱
2.6 旋轉對稱
2.7 對偶與配極

第三章 幾何元素和它們的形態
3.1 平面元素
3.2 直線元素
3.3 點元素
3.4元素的相互依賴

第四章 大自然中的對稱
4.1植物中的兩側對稱
4.2礦物中的兩側對稱
4.3動物和人類中的兩側對稱
4.4大自然中的旋轉對稱及其形式
4.5花形中的旋轉
4.6旋轉與兩側對稱的結合
4.7大自然中的平移對稱
4.8 中心、外圍與兩種度量
4.9兩種二維性

第五章 不對稱的旋轉
5.1 不對稱的葉子
5.2 不對稱的花
5.2 浩瀚宇宙

第六章 直線的方向
6.1 礦物領域
6.2 植物界
6. 3 動物界
6.4 挺直的地球主人
6.5 結語

第七章 直線的測度
7.1 直線上的變換
7.2 成長測度
7.3 環繞測度與階段測度
7.4 包含一直線的平面

第八章 自然界的螺線
8.1 阿基米德螺線
8.2 等角或對數螺線
8.3 一般螺線
8.4 正則等角螺線
8.5 平面上的大自然螺線
8.6 一點上的二維性
8.7 一點上的自然螺線

第九章 三維的射影幾何
9.1 最簡單的三維形式
9.2 空氣漩渦與水漩渦
9.3 實四面體與正四面體
9.4 極端退化四面體

第十章 凸路徑曲線
10.1 一般的實三角形
10.2 一點在無窮遠處的實三角形
10.3 半虛三角形或複三角形
10.4 芽苞
10.5 蛋形
10.6 樹的邊界線
10.7 海膽

第十一章 凹路徑曲線
11.1 草樹和棕櫚葉
11.2 凹與凸的相互作用

第十二章 礦物界的形式
12.1 全實四面體的場域
12.2 無限大的全實四面體
12.3晶體結構

第十三章 植物界的形式
13.1半虛四面體
13.2 λ、ε和節點律動
13.3植物形態
13.4形態場
13.5 芽苞隨著時間的轉變
13.6蘇鐵葉的變換

第十四章 動物界的形式
14.1 蛋的螺線
14.2魚類
14.3 魚類形式的四面體
14.4 鱗片模式
14.5 生命的形式

第十五章 結論
15.1人類領域的幾何學
15.2不同領域的幾何學概述
15.3智能設計？

第一章 導論
1.1 機械中的思維
1.2 大自然的形式
1.3 自然界的方向

第二章 笛沙格和影子
2.1 笛沙格三角形定理
2.2 一系列的三角形
2.3 變異和特殊情形
2.4 兩側對稱
2.5 平移對稱
2.6 旋轉對稱
2.7 對偶與配極

第三章 幾何元素和它們的形態
3.1 平面元素
3.2 直線元素
3.3 點元素
3.4元素的相互依賴

第四章 大自然中的對稱
4.1植物中的兩側對稱
4.2礦物中的兩側對稱
4.3動物和人類中的兩側對稱
4.4大自然中的旋轉對稱及其形式
4.5花形中...