神奇酷數學6：圖形與空間的變幻世界（2020新版）

三角形完全攻略



三角形的角

從紙上剪下一個三角形，任何形狀的三角形都可以。然後把三個角撕下來，一定可以把三個角拼湊成一條直線。

這是因為三角形的三個角加起來永遠等於180°；如果你喜歡的話，可以說是等於兩個直角。

這個把戲可以稍微變化一下：從紙上剪下一個直角三角形（只要從一張普通的紙剪下一角就行了）。把兩個比較小的角撕下來，你會發現它們合在一起恰好可以蓋住直角。這表示，直角三角形中兩個比較小的角加起來一定等於90°。



你是三角形的狂熱迷嗎？

如果你想知道三角形對你有多重要，請看以下的描述；你覺得這些敘述是對的，還是錯的？



․不等邊三角形也可能是直角三角形。

․直角三角形不可能有鈍角。

․完美的情人節卡片正面會有一個大大的三角形。

․等腰三角形不可能三個角都不一樣。

․你住在金字塔裡。

․正三角形一定是銳角三角形。

․直角三角形有可能是等腰三角形。

․你頭上戴過的東西當中，最時髦的就是用報紙摺成的三角形帽子。

․三明治一定是切成三角形，絕對沒有正方形的。

․你沒辦法畫出一個三角形，含有不只一個直角。

․三角形不是只在數學上有用，在生活中也很有用。



現在檢查一下你的答案：

全部都錯：顯然對你來說，三角形既不美，也沒有深層的意義。你的頭腦白白浪費了，多可惜呀！

少部分是對的：在你靈魂深處的黑暗角落裡，有一道三角形的火焰在閃爍著……有希望！

大部分是對的：你是一個快樂、開朗、心平氣和的人，就算別人在背後偷偷嘲笑你也無所謂。

全部都對：去沖個冷水澡吧！這一章對你來說，實在太難了，你這個小傻瓜。



現在需要去沖冷水澡的人，有一位是匈牙利的音樂家李斯特，因為他極度喜愛他的樂器：三角鐵。（你可能曾經敲過三角鐵，那是一支閃亮的金屬棒，彎曲成正三角形。當你敲它的時候，會發出「叮」的聲音。三角鐵和長號、大提琴等樂器比起來，或許一點也不起眼，但是如果你站在交響樂團的後面，在適當的時候加上一聲奇妙的「叮」，可就不同凡響了！）

李斯特在1849年完成了他的第一號鋼琴協奏曲。他在某些部分刻意安排讓鋼琴停頓，好讓大家能聽到三角鐵的「獨奏」。對三角鐵的粉絲來說，這無疑是有史以來旋律最優美、最感人的音樂作品。



為什麼擠奶凳只有三隻腳？

關於三角形，有件事非常古怪，那就是你無法扭曲它。你可以自己來試試以下的實驗：

․找幾枝鉛筆或是其他直條狀的東西。

․把四枝鉛筆的末端用膠帶或黏土連接起來，做成一個四邊形，例如長方形或正方形。

․抓住四邊形的兩個對邊，然後想辦法扭曲這個四邊形。只要出一點力氣就行了，對不對？如果你把它放在平坦的桌面上，會發現有一個頂點是翹起來的。

․現在把三枝鉛筆連接成三角形。

․你有辦法扭曲它嗎？不，你沒辦法。無論如何，它一定是「平坦的」——如果你把它放在桌面上，三個頂點全都可以平貼在桌面。

有個原理可以解釋這種現象。比較炫的說法是「兩點決定一條直線」以及「三點決定一個平面」。但是這種話實在讓人愈聽愈迷糊，我們還是跑一趟「神奇酷數學」的兵器室，準備進行實驗吧！



* * * * * * *

假設你看到兩隻蒼蠅在空中飛舞……

你可以向兵器室借一把雷射槍，它可以射出一道非常細的直線光束。利用雷射，只要你以完全正確的角度瞄準，就可以同時在兩隻蒼蠅的身上各打出一個洞。就算兩隻蒼蠅都在飛，只要光束射出的角度正確，仍然可以一槍同時擊中兩隻蒼蠅。

說穿了其實你別無選擇，你只能朝一個方向發射光束，這個方向取決於兩隻蒼蠅的位置。用數學語言描述這種現象，就是「兩點決定一條直線」（順便一提，這兩個點的位置在哪裡都可以。就算一個點黏在你的冰箱底下，另一點在金星上，你還是可以用一條直線把它們連接起來）……

結果那兩隻蒼蠅呼叫增援部隊，令你大驚失色的事情發生了——有第三隻小蒼蠅出現了！

如果你運氣好，會發現三隻蒼蠅全都位於同一直線上……不過那不太可能。

然而，咱們的兵器室也可以提供你一種很長、很寬又非常非常薄的玻璃片。哈！現在你逮到牠們了。不管三隻蒼蠅的位置在哪裡，只要你把玻璃片轉到正確的角度，然後由完全正確的位置向空中發射，就可以同時把三隻蒼蠅劈成兩半。

在這個例子中，你可以將玻璃片看做是「平面」，因為它是一個非常大的扁平物體。如果你有三個點，只要角度正確，你一定可以把這三個點放在同一個平面。



* * * * * * *

好啦，我們現在回過頭來談擠牛奶的凳子。

如果你要把一張四隻腳的普通椅子放在地板上，而期待它不會搖晃，就必須找到四個位於同一平面的點，將椅子放在上面。在完全平坦的地板上，要找到位於同一平面的四個點很容易，因為地板上的任何點都在同一平面上。

但是毫無疑問的，你一定知道牛棚的地板不會是光滑平坦的平面，它往往是凹凸不平的。要在這樣的地面上找到位於同一平面的四個點可能非常困難，所以通常有一隻椅腳會懸空，使得整張椅子搖搖晃晃。接著你會向後翻倒，摔在某種褐色的東西上……手上仍抓著乳汁飽滿的乳房。

三隻腳的擠奶凳只需要接觸地面上的三個點。因為任何三點必定位於同一平面，不管地板有多麼凹凸不平，凳子的腳接觸的三個點一定在同一平面上。因此無論你把凳子放在哪裡，都很安全而不會搖晃。

不會搖晃，就不會摔倒、不用洗臭衣服，乳牛也不會發出悽慘的叫聲……（未完）

三角形完全攻略



三角形的角

從紙上剪下一個三角形，任何形狀的三角形都可以。然後把三個角撕下來，一定可以把三個角拼湊成一條直線。

這是因為三角形的三個角加起來永遠等於180°；如果你喜歡的話，可以說是等於兩個直角。

這個把戲可以稍微變化一下：從紙上剪下一個直角三角形（只要從一張普通的紙剪下一角就行了）。把兩個比較小的角撕下來，你會發現它們合在一起恰好可以蓋住直角。這表示，直角三角形中兩個比較小的角加起來一定等於90°。



你是三角形的狂熱迷嗎？

如果你想知道三角形對你有多重要，請看以下的描述；...

【推薦序一】

老少咸宜的英式數普經典

洪萬生／臺灣師範大學數學系退休教授

英國出版界一向具有多元化的數學普及讀物，在學院派的有伊安・史都華（Ian Stewart）與馬庫斯‧杜‧桑托伊（Marcu du Sautoy）；專業的科普寫作者有羅伯・伊斯特威（Robert Eastaway），還有像查坦‧波斯基（Kjartaqn Poskitt）這種工程背景的兒童電視節目製作人。這些數普作者營造出不同的風格，滿足了不同讀者的需要，讓數學普及的意義能夠充份彰顯，這種英倫特色，值得臺灣效法。



而在眾多的英國數普作品中，波斯基的著作閱讀起來最沒有壓力。按照內容深度與編寫方式，他的作品主要是為八歲以上的學童所撰寫，不過因為目前英國一般的成年人其實也有不少的數學困擾，譬如有一位英國教育部長曾經在電視臺現場訪問節目中，背錯了7與8的乘積（他的答案是54，而且非常堅持）。所以，波斯基特的著作也有助於成年人釐清自身的數學概念，可以說是老少咸宜。



儘管這套書的閱讀沒有壓力，但內容可一點也不鬆散。事實上，這套書幾乎包括了所有國小中年級以上的數學單元，例如：加減乘除四則運算、分數與小數互換、位值、百分比、估算、時間、重量、角度、面積與體積的度量，乃至統計學的基本常識等等。其次，作者也十分強調數學推理或論證的重要性，因此書中設計了許多相關的謎語、魔術把戲與速算絕招，並引進一些高等數學問題，在在呼應數學教學與普及的價值與意義。再者，本套書編選了許多重要且有趣的數學與數學家的故事軼聞，希望藉由數學家的思考歷程，以激發學童的無限創意。最後，插畫者將數學元素的趣味性表露無遺，畫龍點睛的將內容做了更好的呈現，成為這套書最迷人的特色。



對於國內學童來說，這套叢書中的許多計算技巧，也許根本不構成任何計算的問題，但是卻可以從其中釐清許多概念上的不清晰之處；家長可以趁此機會瞭解目前國際數學教育的改革趨勢與教學理念，在居家陪讀時可以有所憑藉與參考；而小學（數學）教師，一定可以從中獲得一些教學的靈感或啟發；即使對於計算技巧嫻熟的成年人，也有溫故知新的效果。



本套書的編輯方式相當有創意，老少咸宜，又絲毫不減其「新奇酷」之特色，值得大力推薦。

【推薦序二】

一連串會心一笑的「啊哈！」

楊美伶／前臺北市國語實驗國民小學校長、臺北市國小數學輔導小組顧問

「神奇酷數學」是一套讓人看了不禁想一口氣讀完的數學故事書，它真的很神奇！



大多數的人看到書架上的「數學」書，多半採取敬而遠之的態度。而本系列作者運用深入淺出的文字，將各種數學知識以非常自然、巧妙且幽默的方式串連起來，呈現在讀者面前。讀起它來沒有負擔，也不用擔心自己的數學好不好，因為它真的太有趣了！時而充滿懸疑、時而穿越古今、時而讓你動動腦筋、時而讓你玩玩遊戲、時而讓你哈哈一笑，就這樣不知不覺瞭解：「啊哈！原來一天、一年是這麼命名的」、「嘿！原來0這麼有威力」、「哇！原來計算機也不是萬能的」……一連串會心一笑的「啊哈！」等著你去發現！



「神奇酷數學」系列不僅兼具數學性、故事性和趣味性，更難得的是它有別於數學教科書循序的邏輯安排，這套叢書帶領讀者對數學知識有更廣泛、宏觀、統整性的瞭解，讓孩子們對「數學」的看法改觀：數學不再只是加減乘除、計算與應用題，也不再是每天寫不完的參考書和測驗卷。本書拓展孩子們對於數學知識的源起、數學與生活的視野，整合性的數學視角，讓孩子對數學更有感覺。雖然書中也談及包括指數、球體體積的算法等國中數學的主題，但是因為作者以淺顯易懂的文字，巧妙的讓這些主題與小學數學產生連結，所以一般而言，小學中年級以上的孩子都有能力自行閱讀。如果是小學生閱讀這套叢書，建議可以從最感興趣的篇章讀起，如果文中提到沒有學過的數學內容，也可跟著文字放膽讀下去。



「神奇酷數學」系列同時也是值得數學教師閱讀的書籍。數學，總是讓孩子們望而卻步；如何讓孩子們對數學產生興趣、掌握數學知識的意義、感受數學的力與美，這套書提供了許多值得參考的資料與做法。身為家長人的又該如何陪伴孩子經歷這一趟數學探索之旅呢？其實很簡單，不要催促、不要指定，只要陪著孩子一起閱讀、一起分享、一起討論，共同享受這一趟數學閱讀的美好旅程！

【推薦序三】

驚喜連連的數學之旅

房昔梅／前國立臺北教育大學附設實驗國民小學數學教師

每當聊起自己的工作，最常得到的反應就是：「你是數學老師？數學真是太可怕了！那是我最差的科目，我從小就最害怕數學。」無論男女，不分職業，反應都很一致。很多學生也曾經問我：「數學是誰發明的啊？為什麼有這麼討厭的東西？什麼時候才可以不要學數學呢？」這樣的心聲發人深省！然而回顧邂逅數學的歷程，從幼兒時期父母親牽著小手上樓梯開始，「1、2、3……」自然的琅琅上口，猜拳、玩撲克牌……學前兒童幾乎沒有不喜歡數學的。但從孩子進入小學開始，繁複冗長的計算，帶來愈來愈多的挫折感，孩子們與數學的感情便日益淡薄。



學校裡的課本，基於沈重的教學份量及有限的上課時數，必須有結構、有效率的組織章節，內容嚴謹，卻顯得不夠活潑。如果數學課本像漫畫、數學課可以玩遊戲，那麼孩子們一定更樂意上數學課。這樣的心聲，我們聽到了！「神奇酷數學」系列將帶領孩子們進入一段令人驚喜的數學旅程。透過說故事的活潑筆法，呈現豐富的知識；孩子們不但可以溫習學校所學，還可以補充課堂沒有教的知識，體會數學與科學、藝術結合的奧妙，更輕鬆愉快的學習數學。



閱讀這一系列的書籍，孩子們可以學習畢達哥拉斯、歐幾里德的思維，認識各種數學符號與常用的記數系統，知道0的發明過程，也可以學習一天的由來與日期時間的計算，無縫隙拼排與阿基米德，分別結合了藝術與科學領域，拓展孩子們的視野。書本中猜謎與推理的情節，以及有趣的小魔術，滿足了孩子扮演小偵探和魔術師的想望，想不愛數學都難。



這套書適合三年級以上的孩子們閱讀，不需要受到教材的限制，因為故事的情境能夠充份配合孩子們的生活經驗。讀到已經學過的段落，可以當成教材的延伸學習；學校沒有教的知識，就當成最佳的補充教材；遇到小學還沒教的內容（例如：等差、等比數列）時，也不要緊張，跟隨著故事情境閱讀，孩子會發現其實並不難，他們也可以輕鬆學會國中數學。



透過生動的故事情節，融入豐富的數學知識及多樣化的數學素材，讓孩子們體會數學柔軟、親和的一面，無論親子共讀或個人閱讀都很適合，當然，跟同學一起探險會更刺激！現在，就讓我們準備好心情，一起出發吧！

【推薦序四】

數學喜劇開鑼了！

陳偉民／知名科普作家

這絕對不是一套「正常」的數學書。



初次接觸這套書時，覺得它的內容非常無厘頭，作者也很喜歡拿數學家、出版社和插畫家開玩笑，但一路讀來，卻令人愛不釋手。



這套書把國小中年級以上的數學主題改頭換面，以一個又一個「要命」的故事串連起來，可能是兩大黑道家族的火拼，或是一項拯救公主的任務，也可能是邪惡教授所設下的圈套……透過這些驚險刺激的故事，讓讀者瞭解到：不懂數學的後果可能會很「要命」！但儘管內容就像一連串嘻笑怒罵的短劇，轉眼間就可以看完一本，但是孩子卻能在其中學到扎實的數學概念與解題本領！

　　

就主題來說，本套書包羅萬象，包括算術、錢幣制度、級數、平均值、分數、質數和幾何，囊括了國小數學最簡單的內容（如加、減、乘、除）和最複雜的概念（如拓撲）。因為設定的讀者是小學中年級到高年級的學生，內容必定是以基本的概念為主，並力求說明清晰簡單；但即使是像我這樣的大人，也可以由書中獲益。例如我在小時候學習算術時，只知道照著老師教的方法依樣畫葫蘆，知其然而不知其所以然，但是本書作者對每一個計算步驟都做了詳細的解釋，使人真的瞭解其中的用意，也讓我對以前學過的數學主題有了不同的體悟。比較複雜的概念，當然不可能對小讀者們介紹太困難的內容，但在作者的精心設計下，小讀者們仍可以在玩遊戲和變魔術的過程中「享受」這些數學概念。



作者在編寫本叢書時，一直把握幾個原則：不使用複雜的計算，不使用精巧的儀器，盡量動手做。像書中要證明三角形內角和為180∘，用撕紙的方式就完成了。小讀者們長大後，對於本書所提過的數學名詞應該再也不會心存畏懼了！



什麼樣的人才能寫得出這樣的奇書？作者波斯基先生的經歷非常豐富，他在大學讀的是工科，畢業後曾在電視目裡跑過龍套，在俱樂部演奏過鋼琴，甚至還當過脫口秀的諧星。因為「神奇酷數學」在世界各國造成了轟動，所以他現在致力於兒童數學的推廣工作，有時一天要到英國各地對學童進行多場演講，聽眾人數最多可達1200人。最特別的是，他的演講不單單是「用嘴巴講」，還會「動手示範」精彩的數學遊戲和魔術，難怪叫好又叫座；而這些又酷又神奇的動手作，大多數都收錄在你手上這套「神奇酷數學」；因此請繼續閱讀本書，你就能瞭解這些遊戲和魔法的祕訣以及背後的原理了。

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而在眾多的英國數普作品中，波斯基的著作閱讀起來最沒有壓力。按照內容深...

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