從原理開始理解數學：計算ｘ圖形ｘ應用

前言

「所謂的數學，就是死背一堆意義不明的公式來解題吧？數學到底有什麼有趣的？」

學生時代，每當被抱怨「數學課好無聊」、「不擅長數學」的人問到這種問題時，我總是不知該怎麼回答。

「究竟該怎麼做，才能讓人們理解數學的有趣之處呢？」

我一邊思索這個問題，一邊與自認不擅長數學的人們聊聊，或是讀讀市面上專門賣給一般讀者的數學書尋找答案。然後有一天，我突然明白了。

很多對專門研究數學的人或數學愛好者而言再理所當然也不過的「常識」，一般大眾卻一點也不了解。

於是，我心想「說不定這正是那面隔開了『擅長數學的人』和『不擅長數學的人』的巨大“牆壁”的真面目」。
那麼，這些一般人幾乎都不了解的常識，究竟是什麼呢？
那就是，數學的內容其實分為「規則（定義）」和「事實（定理）」兩種。
只要從「規則」和「事實」的角度來看數學，就能立刻像數學研究者和數學愛好者一樣，看見那個有趣而絕對不會讓人想睡的「超深奧數學世界」。

譬如，大家知道下面這幾個問題的答案嗎？

‧為什麼×÷要比＋－先算呢？
‧為什麼分數的除法要把分母和分子倒過來呢？
‧為什麼小數的乘法要算完整數後再點上小數點呢？
‧為什麼三角錐的體積是底面積×高÷3？

這些都是小學數學課中最基礎的計算和圖形公式。
然而，即便是小學程度的公式，大概也很少人能夠清楚回答出「為什麼是這樣？」。

若能認識「規則」和「事實」的區別，你對數學（算數）本身的理解就能得到驚人的提升。
然後，對於「為什麼是這樣？」的疑問，也能自信滿滿地回答。

學校教的數學（算數）課，全都忽略了「規則」和「事實」的區分法。
不僅如此，還常常把「規則」和「事實」混在一起。
因此，對很多人來說，數學（算數）才會變成「死背意義不明的計算和圖形公式的學科」。

所以，本書為使讀者掌握數學中「規則」和「事實」的區別，刻意以小學數學作為題材。
同時，本書將挑選幾個大家在小學數學課中都學過的算數和圖形公式，解說「為什麼會這樣？」。
不只如此，在最終章我們還選了幾個算數的應用題，從擅長數學的人的視角和想法，解說這些問題。

考慮到本書的讀者應該會是自認不擅長數學的人，本書採用了扮演老師的「Masuo」和扮演學生的「不擅長數學的社會人，瑪莉」兩人對話的形式。相信即使是學生時代不擅長數學的讀者，也能流暢地讀下去。

若本書可助學生時代對數學感到「無聊」或「痛苦」的人們發現數學的有趣之處，那就是筆者最大的喜悅。

難波博之

前言

「所謂的數學，就是死背一堆意義不明的公式來解題吧？數學到底有什麼有趣的？」

學生時代，每當被抱怨「數學課好無聊」、「不擅長數學」的人問到這種問題時，我總是不知該怎麼回答。

「究竟該怎麼做，才能讓人們理解數學的有趣之處呢？」

我一邊思索這個問題，一邊與自認不擅長數學的人們聊聊，或是讀讀市面上專門賣給一般讀者的數學書尋找答案。然後有一天，我突然明白了。

很多對專門研究數學的人或數學愛好者而言再理所當然也不過的「常識」，一般大眾卻一點也不了解。

於是，我心想「說不定這正是那面隔開了『...

前言 3

【課外活動1】
學校不會教的「超深奧」數學世界 14

【課外活動2】
算數（數學）分為「規則」和「事實」！ 19

【課外活動3】
數學真正的樂趣在於探究「事實」！ 22

第1章
其實未來有可能改變!?
數學的「計算」公式

1 【計算的順序】
為什麼×或÷要比＋或－先算呢？ 26

2 【質數】
為什麼「1」不是質數？ 34

3 【倍數的判斷法】
為什麼可以用「位數相加」判斷是否為3的倍數？ 39

4 【除法】
為什麼「6÷2＝3」？ 46

5 【0的除法】
其實「2÷0＝0」是錯的！ 54

6 【分數的加法】
為什麼分母不用變，只要分子相加就好？ 59

7 【分數的乘法】
為什麼要分母乘分母、分子乘分子呢？ 67

8 【通分】
為什麼分母和分子可以同乘一個數？ 72

9 【分數的除法】
為什麼是分母和分子顛倒過來相乘？ 77

10 【小數的乘法】
為什麼要先當成整數相乘再點上小數點？ 85

11 【四捨五入】
為什麼0～4要捨棄，5～9要進位？ 92

第2章
其實定義很模糊!?
「圖形」的公式

12 【圓的角度】
為什麼圓的角度是360°？ 100

13 【多邊形的內角和】
為什麼是「180×(n-2)°」？ 104

14 【圖形的全等】
為什麼三邊長都相等的2個三角形全等？ 115

15 【等腰三角形】
為什麼2個內角會相等？ 120

16 【平行四邊形】
平行四邊形是什麼樣的圖形？ 124

17 【長方形】
長方形、菱形、正方形分別是指何種四邊形？ 132

18 【長方形的面積】
為什麼是「長×寬」？ 136

19 【三角形的面積】
為什麼是「底×高÷2」？ 147

20 【圓周率】
為什麼是「約3.14」？ 157

21 【圓面積】
為什麼是「半徑×半徑×圓周率」？ 165

22 【圖形的放大】
圖形放大成2倍，面積和體積會變成幾倍？ 170

23 【錐形的體積】
為什麼三角錐的體積是「底面積×高÷3」？ 178

24 【一筆畫圖形】
為什麼「田」這個字無法一筆畫完？ 190

第3章
「努力能解開的問題」與
「需要才能的問題」

25 【數學學習法】
「擅長數學的人」到底跟常人有何不同？ 198

26 【連續整數的加法】
快速算出「1+2+3+…+100」的方法 205

27 【等差數列的和】
快速算出「3+7+11+…+39+43」 208

28 【蘭利問題】
你有發現「這條輔助線」嗎？ 211

29 【數列的一般項】
「1,1,2,3,5」的下一個數字是？ 224

30 【用有限的數湊出特定數字】
用4個「4」拼出「0～10」 230

結語 236

前言 3

【課外活動1】
學校不會教的「超深奧」數學世界 14

【課外活動2】
算數（數學）分為「規則」和「事實」！ 19

【課外活動3】
數學真正的樂趣在於探究「事實」！ 22

第1章
其實未來有可能改變!?
數學的「計算」公式

1 【計算的順序】
為什麼×或÷要比＋或－先算呢？ 26

2 【質數】
為什麼「1」不是質數？ 34

3 【倍數的判斷法】
為什麼可以用「位數相加」判斷是否為3的倍數？ 39

4 【除法】
為什麼「6÷2＝3」？ 46

5 【0的除法】
其實「2÷0＝0」是錯的！ 54

6 【分數的加法】
為什麼分母...