國中數學基本素養（1）：數與代數的運算

01.數線與整數的四則運算

一、數線與相反數
（一） 數線組成三要件：⑴ 原點；⑵ 正向（習慣以右為正）；⑶ 單位長（可依狀況
選定任何適當長度）。
（二） 數以性質分類為 ⑴ 正數：大於 0 的數（包括正整數、正分數、正小數⋯⋯）；
⑵ 零：中性數（既不是正，也不是負，但 0 是整數，也是偶數）；⑶ 負數：小
於 0 的數（包括負整數、負分數、負小數⋯⋯）。
（三）整數分成正整數（又稱自然數）、0、負整數。
（四）最小正整數為 1，最大負整數為 –1。
（五） 相反數：在數線上原點的兩邊，且與原點距離相等的兩點所表示的數稱為相反
數。
⑴ 5 的相反數是 –5； –（–7）的相反數是 –7；0 的相反數是 0；a 的相反數是 – a。
⑵ 相反數的性質：若甲、乙互為相反數，則甲 + 乙 = 0。

二、絕對值與兩點距離
（一） 絕對值的意義：在數線上，表示一個數的點與原點的距離，叫做這個數的絕對
值。例如：–3 的絕對值為 3，記做 |–3| = 3；|–5| = 5 ≠ –5，– |–5| = –5，– (–5) = 5。
（二）若 a 為任意數，則 |a| ≥ 0。
（三）⑴ 若 a > 0，則 |a| = a；⑵ 若 a = 0，則 |a| = 0；⑶ 若 a < 0，則 |a| = –a。

例題
請問絕對值小於 12 的整數共有多少個？

三、絕對值的大小比較
（一）若甲、乙為任意兩數，則 |甲| + |乙| ≥ |甲 + 乙|。
（二）若甲、乙是同號數或有一為 0，則 |甲| + |乙| = |甲 + 乙|。
（三）若甲、乙是異號數，則 |甲| + |乙| > |甲 + 乙|。

四、整數的運算性質
（一）加法交換律：甲 + 乙 = 乙 + 甲。
（二）加法結合律：(甲 + 乙) + 丙 = 甲 + (乙 + 丙)。
（三）甲數減乙數 ⇔ 甲數加上 (乙數的相反數)，即甲 –乙 = 甲 + (–乙)。
（四）乘法交換律：即甲 × 乙 = 乙 × 甲，例如：3 × (–2) = (–2) × 3。
（五）乘法結合律：(甲 × 乙) × 丙 = 甲 × (乙 × 丙)，例如：
[(–2) × 3] × (–4) = (–2) × [3 × (–4)]
（六）乘法對加減法的分配律：
⑴ 甲 × (乙 + 丙) = 甲 × 乙 + 甲 × 丙；(乙 + 丙) × 甲 = 乙 × 甲 + 丙 × 甲。
⑵ 甲 × (乙 – 丙) = 甲 × 乙 – 甲 × 丙；(乙 – 丙) × 甲 = 乙 × 甲 – 丙 × 甲。
⑶ (甲 + 乙)÷丙 = 甲÷丙 + 乙÷丙；(甲 – 乙)÷丙 = 甲÷丙 – 乙÷丙。

五、減法運算中的「變化多少」
（一）狀況改變多少＝(改變後的狀況)－(改變前的狀況)。
（二）溫度變化多少＝(最後的溫度)－(原來的溫度)。
）水位總變化 ＝ (最後水位的位置) – (最初水位的位置)
＝各次水位變化的總和（正數表上升；負數表下降）。
（四）時間變化：
⑴ 現在比三年前：0 – (–3) = 3（多 3 年）。
⑵ 三年前比現在：(–3) – 0 = –3（多 3 年）。
⑶ 二年後比三年前：2 – (–3) = 5（多 5 年）。
六、三一律
（一）甲、乙兩數，一定可以比較大小，其大小關係恰為下列三種的其中一種：
⑴ 甲 > 乙；⑵ 甲 = 乙；⑶ 甲 < 乙，即未比較前有三種可能性，但如完全比較
出來，恰有其中一種成立。
（二）不等號的意義：
⑴ ≥（不大於）⇔ ≤（小於或等於）。
⑵ ≤（不小於）⇔ ≥（大於或等於）。
⑶ ≠（不等於）⇔ > 或 <（大於或小於）。
七、遞移律
（一）甲 > 乙，乙 > 丙 ⇒ 甲 > 乙 > 丙。
（二）甲 = 乙，乙 = 丙 ⇒ 甲 = 乙 = 丙。
（三）甲 < 乙，乙 < 丙 ⇒ 甲 < 乙 < 丙。
八、自乘與乘方
（一）乘方：同一個數本身連乘若干次叫做自乘，所得的積稱為此數的乘方。

九、完全平方數
若一個整數 a 可以寫成 b 2（其中 b 為整數），則稱 a 為完全平方數。若將此數寫
成標準分解式，則其每個質因數的次數都是偶數。完全平方數的常見計算樣式如 5 +
5 + 5 + 5 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 52，透過圖示，更可
以了解這三種計算樣式間的恆等關係。

十、更改原點或單位長
例題
數線上有 A、B、C、D 四點的坐標分別為 –5、7、11、19。
⑴ 若以 A 點為新原點，單位長不變，請分別寫出 B、C、D 的新坐標。
⑵ 若以 B 點為新原點，原單位長的 2 倍為新單位長，請分別寫出 A、C、D 的新
坐標。
⑶ 若以 C 點為新原點，且新單位長的 4 倍等於原單位長，請分別寫出 A 、B 、
D 的新坐標。

01.數線與整數的四則運算

一、數線與相反數
（一） 數線組成三要件：⑴ 原點；⑵ 正向（習慣以右為正）；⑶ 單位長（可依狀況
選定任何適當長度）。
（二） 數以性質分類為 ⑴ 正數：大於 0 的數（包括正整數、正分數、正小數⋯⋯）；
⑵ 零：中性數（既不是正，也不是負，但 0 是整數，也是偶數）；⑶ 負數：小
於 0 的數（包括負整數、負分數、負小數⋯⋯）。
（三）整數分成正整數（又稱自然數）、0、負整數。
（四）最小正整數為 1，最大負整數為 –1。
（五） 相反數：在數線上原點的兩邊，且與原點距離相等的兩點所表示的數稱...

01.數線與整數的四則運算
02.指數律與科學記號
03.因數與倍數
04.分數的四則運算
05.一元一次方程式
06.二元一次聯立方程式
07.直角坐標平面與二元一次方程式圖解
08.比例與連比例
09.函數關係與線型函數
10.一元一次不等式
11.乘法公式
12.多項式四則運算
13.平方根的意義與運算
14.因式分解與十字交乘法
15.一元二次方程式
16.等差數列與等差級數
17.等比數列
18.二次函數
19.資料整理與統計圖表
20.機率與抽樣

01.數線與整數的四則運算
02.指數律與科學記號
03.因數與倍數
04.分數的四則運算
05.一元一次方程式
06.二元一次聯立方程式
07.直角坐標平面與二元一次方程式圖解
08.比例與連比例
09.函數關係與線型函數
10.一元一次不等式
11.乘法公式
12.多項式四則運算
13.平方根的意義與運算
14.因式分解與十字交乘法
15.一元二次方程式
16.等差數列與等差級數
17.等比數列
18.二次函數
19.資料整理與統計圖表
20.機率與抽樣