國中數學基本素養（2）：幾何概念與性質

02.三視圖

一、視圖
給定一個由相同正方體積木拼疊而成的立體模型，則從某個方向觀察得到的平面圖形稱為視圖，通常只畫其三視圖，即前視圖、右視圖和上視圖。如下圖示是由9 個正方體積木堆疊成的模型，以及其前視圖、後視圖、右視圖、左視圖、上視圖、下視圖。
其中前視圖與後視圖左右相反；右視圖與左視圖左右相反；上視圖與下視圖上下相反。

二、不同的立體圖形，其視圖未必不同。
例如：下圖中兩個立體圖形分別由8 個與6 個正方體堆疊而成，但兩個立體圖形的三視圖都一樣。

例題
如圖是由11 個正方體積木堆疊成的模型，請依據箭頭所指的對應位置，繪製其前視圖、上視圖、右視圖。

三、組合次序與視圖的關係
如下圖，三個由相同正方體積木堆疊而成的立體模型①、②、③，若將其左中右的組合次序任意更換，可發現組合後的立體模型，其右視圖（或左視圖）並未改變。

06.三角形的內角與外角

一、n 邊多邊形的內角中，銳角或鈍角最多的個數
（一） 一個三角形的三個內角中，最多只有1 個鈍角。
（二） 一個四邊形的四個內角中，最多有3 個鈍角。
（三） 一個n （n > 4）邊形的n 個內角中，最多有n 個鈍角。
（四） 一個n 邊形的n 個內角中，最多有3 個銳角（如果銳角有4 個以上，則外角
和將超過360 度，也就是說：一個n 邊形的n 個外角中，最多有3 個鈍角）。

二、三角形角度的基本定理
（一） 三角形的外角和定理：三角形的一組外角和等於360º。
（二） 三角形的內角和定理：三角形的三個內角和等於180º。
（三） 三角形外角定理：三角形的任一外角等於它的兩個內對角之和。

例題
如圖是A 、B 兩片木板放在地面上的情形。圖中∠ 1、∠ 2 分別為A 、B 兩木板
與地面的夾角，∠ 3 是兩木板間的夾角，若∠ 3 ＝ 110º，求∠ 2 -∠ 1 的度數為何？
解答
因為∠ 3 ＝ 110º，所以∠ 4 ＝ 180º - 110º ＝ 70º
由三角形外角定理知：∠ 2 ＝∠ 4 ＋∠ 1
故∠ 2 -∠ 1 ＝∠ 4 ＝ 70º。

三、三角形外角定理的延伸定理
（一） 如下圖(1)，∠ 1 ＋∠ 2 -∠A ＝ 180º。
（二） 如下圖(2)，∠BDC ＝∠A ＋∠B ＋∠C 。
（三） 如下圖(3)，∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D ＝∠ 1。
（四） 如下圖(4)，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D -∠E ＝ 180º。

12.幾何推理證明的基本要領

一、推理證明的解決途徑
對於較複雜的問題，宜在證明之前進行分析思考，建立「已知條件」與「求證結果」間合理的聯通管道，進而找出可行的證明途徑與書寫方式。

二、 兩三角形滿足SSS 或SAS 或ASA 或AAS 或RHS 可以得知兩三角形全等 三對應邊相等，三對應角相等。

三、任意三角形的三內角和等於180º；任一外角等於其兩內對角的度數和。

四、 兩平行線被一截線所截，其同位角相等，內錯角相等，同側內角互補。

五、 兩直線被一截線所截，若其同位角相等，或內錯角相等，或同側內角互補，則此兩直線平行。

六、 等腰三角形的兩底角相等；正三角形每邊長相等，且每一內角都是60º；正方形每邊長相等，每一內角都是90º，且兩對角線互相垂直平分且相等。

13.圓的性質

一、點和圓的位置關係有三種
（一）點在圓外：點和圓心的距離大於半徑；（二）點在圓上：點和圓心的距離等於半徑；（三）點在圓內：點和圓心的距離小於半徑。

二、直線與圓的位置關係有三種
（一）直線與圓沒有相交；（二）直線與圓恰交於一點；（三）直線與圓相交於兩點。

三、 切線：直線L 與圓O 只交於一點P，直線L 叫做圓O 的切線，P 點叫做切點。
（一）圓心到切線的距離等於圓的半徑；（二）圓心與切點的連線必垂直此切線。

四、 割線：直線M 與圓O 相交於A、B 兩點，直線M 叫做圓O 的割線。
（一）若直線與圓沒有交點，則圓心與直線的距離大於半徑。
（二）若直線是切線，則圓心與直線的距離等於半徑。
（三）若直線是割線，則圓心與直線的距離小於半徑。

五、弦心距：弦與圓心之間的距離叫做此弦的弦心距。
（一）弦心距垂直平分其弦；（二）半徑長、弦心距、弦的一半長形成一直角三角形。

例題
已知圓O 的直徑12，若有一弦長為8，請問此弦的弦心距為何？

六、連心線：平面上兩圓的圓心分別為O1 與O2，則連接O1 與O2的線段 O1O2 稱為這兩圓的連心線，而線段 O1O2 的長就叫做連心線長。
（一）兩圓外切時，連心線長等於它們的半徑長的和。
（二）兩圓內切時，連心線長等於它們的半徑長的差。
（三）兩圓相交於兩點時（令A 為其中一個交點），兩圓半徑差<連心線長<兩圓半徑和。
ΔO1AO2 的三邊長為 O1O2，r 1，r 2 ︱r 1 - r 2︱< O1O2 < r 2 ＋r 1。
（四）若兩圓為同心圓，則連心線長為0。

七、圓周角、圓內角、圓外角、弦切角與弧的度數關係
（一）圓周角的度數等於它所對弧的度數的一半。
（二）圓內角的度數等於它及其對頂角所對兩弧度數和的一半。
（三）圓外角的度數等於它所對大弧與小弧度數差的一半。
（四）弦切角的度數等於它兩邊的夾弧度數的一半。

02.三視圖

一、視圖
給定一個由相同正方體積木拼疊而成的立體模型，則從某個方向觀察得到的平面圖形稱為視圖，通常只畫其三視圖，即前視圖、右視圖和上視圖。如下圖示是由9 個正方體積木堆疊成的模型，以及其前視圖、後視圖、右視圖、左視圖、上視圖、下視圖。
其中前視圖與後視圖左右相反；右視圖與左視圖左右相反；上視圖與下視圖上下相反。

二、不同的立體圖形，其視圖未必不同。
例如：下圖中兩個立體圖形分別由8 個與6 個正方體堆疊而成，但兩個立體圖形的三視圖都一樣。

例題
如圖是由11 個正方體積木堆疊成的模型，請...

01.平面幾何圖形
02.三視圖
03.尺規作圖
04.勾股定理
05.錐體與柱體
06.三角形的內角與外角
07.三角形全等性質
08.三角形的邊角關係
09.平行與四邊形
10.相似形
11.直角三角比
12.幾何推理證明的基本要領
13.圓的性質
14.三角形的外心性質
15.三角形的內心性質
16.三角形的重心性質

01.平面幾何圖形
02.三視圖
03.尺規作圖
04.勾股定理
05.錐體與柱體
06.三角形的內角與外角
07.三角形全等性質
08.三角形的邊角關係
09.平行與四邊形
10.相似形
11.直角三角比
12.幾何推理證明的基本要領
13.圓的性質
14.三角形的外心性質
15.三角形的內心性質
16.三角形的重心性質