不知道數學怎麼用?
杜.索托伊用故事告訴你!
• 模式捷徑可從過去推得未來,
高斯從舊有資料找出失蹤小行星的位置。
• 圖示捷徑讓數據一目了然,
南丁格爾藉此說服英國女王改善軍方醫療設備。
• 機率捷徑能有效管理風險,
股神索普用來少量投資賺取超額報酬。
數學是一種高層次的思維能力,當中充滿捷徑,
可以解決我們生活中遇到的複雜問題,
文明也因數學這項強力工具而加速發展。
矛盾的是,好用的捷徑通常需要花費很長的時間才能發現。
有趣的是,我們在找到捷徑前,就已激發出許多奇思妙想。
正是這種捷徑的誘惑,使得杜.索托伊成為牛津大學數學家。
為了尋找生活中的其他捷徑,他跨領域深入研究許多主題,
涵括商場創業、藝術、自然學科和經濟學,
並和大師進行對話,打聽解決問題的捷徑。
我們可能無法依靠電腦或AI來解決生活中的所有問題,
但我們可以學習如何聰明思考,省下時間與金錢。
作者簡介:
杜.索托伊(Marcus du Sautoy)
牛津大學西蒙義公共科學教育講座教授、數學教授、牛津皇家學會的成員。2009年倫敦皇家學會麥可.法拉第獎得主。由於他對科學的貢獻,在2010年獲得大英帝國勛章。善於解說數字使用歷史、涵義等基本概念,著有《桑老師的瘋狂數學課》、《知識邊緣》、《創造力代碼》等書。
譯者簡介:
畢馨云/譯者
清華大學數學系畢業,曾任科普書編輯十多年,現為自由譯者及業餘交響樂團團員。譯有《邏輯的藝術》、《這才是數學》、《科學酷媽的育兒大探險》、《數字裡的真相》等書。
章節試閱
第3章 語言捷徑
在我以數學家自居時,我所發現的最強大捷徑之一是,找到合適的用語來討論問題。很多時候,我們會用一種讓人摸不清情況的措辭去表達這個問題,只要能找到另一種說法,把這道謎題轉化成新的用語,答案就會突然明朗許多。換個語言,我們就可以從企業銷售資料的含糊數字中,辨認出奇特的相關性。
人生的大部分時間都是一場遊戲,但把這場遊戲轉化成你知道如何得勝的遊戲,可以給你絕佳的優勢。在我仍是見習數學家的時候,發現了最令我興奮的啟示之一:把幾何轉換成數字的詞典可提供捷徑通往超空間——也就是我成為專業數學家之後一直在探索的多維宇宙。
除非找到合適的語言來描述,否則科學及其他領域有愈來愈多的概念看起來好像根本不存在,「湧現」(從組成成分產生的性質)的概念就是一例。舉例來說,如果講水的個別分子H2O,很難描述水的溼潤性質。
儘管科學似乎暗示,你可以把一切化約成這些基本粒子的行為及決定其行為的方程式,但這種語言通常完全不能描述現象。一群鳥的遷徙不能用組成鳥身體的原子運動方程式來描述。若堅持用個體經濟學的語言,就不容易了解總體經濟學;即使個體經濟變化是造成總體經濟現象的原因,但使用個別財貨本身的語言,仍然不可能理解利率上升對通貨膨脹的影響。就連自由意志與意識的概念,實際上也不能藉由神經元和突觸的討論來描述。
找到不同的措辭來談論情緒狀態,可以從根本上改變你的感受。與其說「我很難過」(這種說法很像是把你和悲傷硬生生畫上等號),你大可改說「悲傷與我同在」,於是悲傷忽然有機會繼續前進。正如十九世紀的美國心理學家詹姆斯(William James)所寫的:「我這代人最重要的發現是,人能藉著轉變心智態度來改變生活。」
然而語言的力量不單單影響個人,語言在現實世界的社會結構中也扮演十分重要的角色。社會可以透過命名讓事物露面,而民族國家的概念既是從語言中變出來的,也是由地理或一群人變出來的。
轉換語言有時意味著,某些能用某種語言清楚表達的想法,改用另一種語言卻變得難以描述。德文的名詞有性別之分,所以可以玩一玩在英文中玩不了的文字遊戲。詩人海涅(Heinrich Heine)寫說,覆蓋著白雪的松樹愛慕一棵晒黑的東方棕櫚;在德文中,松樹是陽性名詞,棕櫚是陰性名詞,但這種細微變化在翻譯成英文後就消失了。
有時情況也會反過來。用英文可以講「他的車和她的車」,但用谷歌翻譯譯成法文時會攪在一起,變成「sa voiture et sa voiture」(他的車和他的車),因為車子的性別比車主的性別重要。在俄文中,你所能想像出各種類型的雪和暴風雨都有不同的用字。有些語言只有五個表達顏色的詞,但英語的相關用詞有很多。我在前面強調過,模式(pattern)對我來說是重要的概念,然而當我嘗試把pattern這個字翻譯成法文時,卻發現沒有一個詞能夠描述它在英文裡代表的許多層面。
我的偶像高斯也對語言差異的重要性深深著迷。在學校裡,老師對他運用拉丁文和閃電般迅速精通古典文學的能力印象深刻。事實上,接受布朗施維克公爵資助的高斯,差點就選擇讀語文學(研究語言史的學門),而不是數學。
我自己走上數學這條路的歷程也有點相似。小時候我想當間諜,以為語言是和全世界特務同行溝通的重要技能,所以在讀綜合中學時報名了校內所有的語言課:法語、德語、拉丁語,甚至開始收聽BBC的俄語廣播課程。只不過,我在外語學習方面不像高斯那麼有天分,這些語言在我看來全是不規則動詞和奇怪的拼字。間諜生涯夢碎,我變得非常沮喪。
此時貝爾森先生給我一本書,書名叫做《數學的語言》(The Language of Mathematics),我才明白數學也是一種語言。我覺得他看出我正渴望一種沒有不規則動詞、一切都解釋得通的語言,但他也知道,我抗拒不了這種語言描述周遭世界的強大說服力。
我在這本書裡發現,數學方程式可以述說行星橫越夜空的故事,對稱性可以解釋泡泡、蜂巢或花朵的形狀,數字是和聲學的關鍵。如果你想描繪宇宙,你需要的不是德語、俄語或英語,而是數學。
《數學的語言》還告訴我,數學不只是一種語言,而是許多種語言,它很擅長創作詞典,可把一種語言轉換成另一種,好讓捷徑在新的語言中出現。
數學史上不時會有類似的輝煌時刻。
※休息站:記憶力
雖然成功學會了數學的語言,但我一直很沮喪,因為我學不好那些更變幻莫測的語言,比如我為了成為間諜而努力學習的法語或俄語。儘管高斯也擱下對語言的熱愛,轉向數學生涯,但晚年還是重拾學習新語言的挑戰,例如梵文和俄語。經過兩年的學習,六十四歲的高斯已經把俄語學得很好,能夠讀普希金(Alexander Pushkin)的原著。
以高斯為榜樣,我決定嘗試再學一次俄文。我遇到一個問題是如何記住奇怪的新單字。我的記憶捷徑是看出模式,但假如沒有模式怎麼辦?我想知道其他人有沒有利用什麼替代的捷徑。如果要找人指點,還有誰比記憶大師兼語言學習新企業憶術家(Memrise)的創辦人庫克(Ed Cooke)更適合呢?
要獲得記憶大師的稱號,必須能夠在一小時內記住一個1,000位數字,在下一個小時,你面臨的挑戰是記住十副紙牌的順序,最後你有兩分鐘的時間記住一副牌。這聽起來的確像是相當無用的技能,但我知道如果你能設法學到這個技能,那麼記住一串俄文單字應該是小事一件。
考慮到1,000位數字是隨機挑選的,尋找模式的策略就不會有太大幫助。那麼庫克應付1,000個隨機挑選數字的捷徑是什麼?原來是某個叫做記憶宮殿(memory palace)的方法。
庫克說:「捷徑是把難記住的事情轉換成比較容易記住的替代物。我們會記得感官上的、視覺上的、可觸碰到的、喚起情感的事物。所以你想要做的就是,轉化成像這類會徵召初步腦力的東西。」
「若要記住1,000位的數字,我的做法是在空間周圍安排許多影像,讓每個影像都代表一個數字。如果我想回憶像7,831,809,720這樣的數字,那通常是很難記住的,因為它們只是數字,聽起來幾乎一樣,沒有什麼意義。但在我的腦袋裡,78是曾在學校霸凌我,讓我穿著四角褲用一條腿倒吊在樓梯間的傢伙,這是非常難忘的一刻,比數字78難忘多了。」
每一個兩位數字都變成一個人物。套用庫克的私人語言,31是「雪鐵龍廣告中身穿令人難忘的黃色內衣」的超模克勞蒂亞.雪佛(Claudia Schiffer)。為影像多添一點顏色很重要。「影像愈是鮮活怪誕,記憶力就愈好。」數字80是臉部非常好笑的朋友。97是板球選手弗林托夫(Andrew Flintoff)。20是庫克的父親。
庫克說:「我在十八歲左右存放了這本數字詞典,所以我十幾歲時的想像、我的心情、我在雜誌上讀到的美麗人物、我的家人、我最好的朋友,都以不變的形式記錄下來。」
儘管庫克說得沒錯,但在大多數人眼裡,數字看起來的模樣就像是數字。身為漫遊數字世界的數學家,我知道一旦投入愈來愈多時間,就會開始懂得每個數字的特徵,它們開始有自己的個性。
據說印度大數學家拉馬努金了解每一個數字,彷彿私交很好。跟他一起做研究的哈代,有一次到醫院探望他,一時想不出要說什麼話撫慰這位數學家,就回憶說他坐的計程車車牌號碼相當無趣:1729。拉馬努金聽了立刻回答:「不會啊,哈代,這個數字非常有意思,它是可用兩種寫法表示成兩個立方數之和的最小整數。」1729 = 123 + 13 = 93 + 103。但大部分的人跟數字之間沒有這種親密的情感,穿著黃色內衣的超模可能會比立方和更難忘記。
不過,庫克是怎麼使用這組人物記住1,000位數字的呢?關鍵是把那些人物放在空間中。「如果你想做出非常非常長串的資訊鏈,就需要一個讓你投射影像的支柱,而我們剛好有超凡的空間記憶潛能。哺乳動物已經發展出不可思議的導航能力,有辦法記住全部的空間。即使自己不這麼認為,我們還是非常擅長這件事,在複雜的建築物裡四處走動幾分鐘之後,我們就能記住它的布局。因此,我們可以用這種強大的技能,背負起代表數字的影像。這種捷徑就叫做建造記憶宮殿。」
記憶宮殿不僅是故事,也是穿越空間的故事,而後者是關鍵。「跟單純的故事比起來,記憶宮殿的優勢在於故事比較容易中斷。你不只要利用純粹的空間位置,也要讓敘述合乎邏輯,這會給你帶來額外的負擔,因此會稍微多費一些想像力。」
幾年前我看過庫克建造這樣的宮殿。我們都參加了在蛇形藝廊(Serpentine Gallery)舉辦的「記憶力馬拉松」(Memory Marathon),這項週末活動是為了探索記憶概念,我記得他帶現場觀眾繞著整個藝廊走了一圈,利用他看到的景物創造出一座記憶宮殿,讓觀眾用來記住歷任每位美國總統的名字。每個名字都轉換成非常鮮活的意象,例如亞當斯(John Adams)總統變成亞當與夏娃在馬桶上保持平衡的意象,john這個英文字也是「廁所」的俚語。接著他把這些意象放在園區的各處,觀眾如果要記住總統,只須在腦袋中重走一遍(我們的大腦似乎非常擅長做這件事),然後用途中各地點放置的搞笑意象來回想起總統。
運用空間記憶似乎是記住長串事物的絕佳捷徑,不管是數字、總統還是任何一個你想努力牢記的清單,都能適用。空間記憶是很棒的方案,因為靠硬背的方式死記,難度似乎會升高得愈來愈快,前10個還算容易,接下來的10個比較難了,超過100個之後幾乎就不可能記得住。但正如庫克向我解釋的:「空間記憶無比特別的一點是,它的難度似乎呈線性升高。我可以在一分鐘左右記住一副牌,如果又檢查一下,也許就需要兩分鐘,問題是它是線性升高的,所以我可以在一個小時記住30副牌。」
當我指出,對我的讀者來說也許記住一副牌並不是他們迫切需要獲得的技能,庫克也熱心強調紙牌並不重要。無論你想記住什麼,這個策略都有效。他向我解釋說,他在沒有做筆記的情況下演講時,也會使用同樣的策略;把演講內容變成到你熟悉的地方去,例如你的房子,然後把你想說的重點放在每個房間裡。在你講述時,你會發現只要走過自己在腦海中建起的記憶宮殿,記住演講內容就容易多了。
「在記憶宮殿中,隨著我們踏上旅程,動作場景會不斷前進,正因為有了激發新記憶的新情境,就減少了記憶互相干擾的危險。」
第3章 語言捷徑
在我以數學家自居時,我所發現的最強大捷徑之一是,找到合適的用語來討論問題。很多時候,我們會用一種讓人摸不清情況的措辭去表達這個問題,只要能找到另一種說法,把這道謎題轉化成新的用語,答案就會突然明朗許多。換個語言,我們就可以從企業銷售資料的含糊數字中,辨認出奇特的相關性。
人生的大部分時間都是一場遊戲,但把這場遊戲轉化成你知道如何得勝的遊戲,可以給你絕佳的優勢。在我仍是見習數學家的時候,發現了最令我興奮的啟示之一:把幾何轉換成數字的詞典可提供捷徑通往超空間——也就是我成為專業數學家...
目錄
啟程
1 模式捷徑
休息站:音樂
2 計算捷徑
休息站:新創公司
3 語言捷徑
休息站:記憶力
4 幾何捷徑
休息站:路途
5 圖示捷徑
休息站:經濟學
6 微分捷徑
休息站:藝術
7 資料捷徑
休息站:心理治療
8 機率捷徑
休息站:理財
9 網路捷徑
休息站:神經科學
10 不可能的捷徑
抵達
致謝
啟程
1 模式捷徑
休息站:音樂
2 計算捷徑
休息站:新創公司
3 語言捷徑
休息站:記憶力
4 幾何捷徑
休息站:路途
5 圖示捷徑
休息站:經濟學
6 微分捷徑
休息站:藝術
7 資料捷徑
休息站:心理治療
8 機率捷徑
休息站:理財
9 網路捷徑
休息站:神經科學
10 不可能的捷徑
抵達
致謝