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樂天書城專欄 擴張版輾轉相除法
輾轉相除法為導出2個自然數的最大公因數的演算法。它比質因數分解可以更有效率地計算。如果想在輾轉相除法中，找尋2個自然數 的最大公因數，則可利用以下步驟。
設 除以 ，餘數為 。
若 ，則最大公因數即為 ，計算即完成。
若 ，則 的組合置換為 和 ，然後再回到最初的步驟。
只要重覆 到 的步驟，餘數為0時，除數即為最大公因數。換句話說，得到餘數為0前的一個步驟中所得到的餘數即為最大公因數。
舉個實例，請以輾轉相除法求出1365和77的最大公因數。
1365＝17×77＋56 （← 依1365÷77＝17餘56的計算可知）
77＝1×56＋21 （← 依77÷56＝1餘21的計算可知）
56＝2×21＋14 （← 依56÷21＝2餘14的計算可知）
21＝1×14＋ （← 依21÷14＝1餘7的計算可知）
14＝2× ＋0 （← 依14÷7＝2餘0的計算可知）
因此，最大公因數為7。只要依步驟計算便可確實得到結果，因此可讓人感到輾轉相除法的實用性。
一次不定方程式*的解之計算
接下來，對互質的20和17，請以輾轉相除法求最大公因數。
20＝1×17＋3（1）
17＝5×3＋2（2）
3＝1×2＋1（3）
2＝2×1＋0
由於直接可看出最大公因數為1，似乎並不需要使用輾轉相除法。
然而，為求出結果的算式卻具有相當大的利用價值喔！
*不定方程式：Diophantine equation。
首先，將式（1）、（2）、（3）移項，得到下列的3個式子。
（4）
＝ （5）
＝1（6）
接下來，將式（5）代入式（6）的 中，請注意3和17。
× ＝ 3 （7）
接著，將式（4）代入式（7）的 3 中，請注意20和17。
6× 3
然後，將此一連串的步驟所得的結果改寫如下。
將上式改寫為 ，而符合 的數皆為整數。這種形式的方程式就稱為一次不定方程式，可求出整數解的 和 。
也就是說，利用輾轉相除法的計算過程，、 時，可得一次不定方程式的整數解。此方法即為擴張版輾轉相除法，是非常具有利用價值的運算法。
一般而言，若設 和 為非0的整數，且 和 的最大公因數為 ，則一次不定方程式
有整數解，而且可利用擴張版輾轉相除法求出一組解。然而，一次不定方程式的解並不僅有1組。方程式的所有的整數解皆可利用任意的整數 表示如下。
（8）
以模數運算計算倒數
若利用式（8）中所表示的解的公式，則一次不定方程式 的所有整數解可表示如右。
（6＋17（9）
時，解為。
將此代入一次不定方程式 。
移項並整理式子。
（10）
若仔細看式（10），就可得知實際上它和下式意義相同。
17×13＝1mod 20（11）
在第168頁中，mod 的情況下，說明了「模數 中，解密金鑰 為加密金鑰 的乘法逆運算數」。意即，關於式（11）的模數20中，13為17的乘法逆運算數。
也就是說，若使用擴張版輾轉相除法，則可高效率地導出模數運算中的倒數。由於在公開金鑰密碼中，為了產生祕密金鑰（解密金鑰），算出倒數是必須的，因此密碼的世界中，也會讓擴張版輾轉相除法大大發揮。
雖可求出17mod 20的倒數 ，然而又該如何求出16mod 20的倒數為 呢？由於16和20的最大公因數為4，因此可用前述方法求出 。但是，為了求出倒數的一次不定方程式 時，則由於左式勢必為4的倍數，因此不存在整數解。換句話說，若在2個數非為互質的情況下，則無法求出倒數。藉由擴張版輾轉相除法導出倒數的方法，只能在2數為互質的情況下才成立。
最後，以輾轉相除法列出實際求出模數1001中，73的倒數 的計算過程。首先，以輾轉相除法，求出73和1001的最大公因數。
1001＝13×73＋52
73＝1×52＋21
52＝2×21＋10
21＝2×10＋1
10＝10×1＋0
因此可知，73和1001的最大公因數為1，也就表示73和1001互質。接下來，將這些式子改寫為求餘數的式子。
（12）
（13）
（14）
（15）
將式（14）代入式（15）取代10。
（16）
將式（16）改寫為52和21的組合。
（17）
將式（13）代入式（17）取代21。
（18）
將式（18）改寫為73和52的組合。
（19）
將式（12）代入式（19）取代52。
（20）
將式（20）改寫為1001和73的組合。
（21）
將式（21）移項。
由於此和96×73＝1mod 1001意義相同，因此模數1001中的73的倒數 為96。
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圖書介紹 - 資料來源：TAAZE 讀冊生活 評分：
圖書名稱：世界第一簡單密碼學（修訂版）
網路為現代人帶來無限便利，
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第１章 密碼學的基礎
第２章 共通金鑰（對稱金鑰）加密系統
第３章 公開金鑰加密系統
第４章 實際的密碼應用
作者簡介：
三谷 政昭 (Mitani Masaaki)
工學博士。
生於日本廣島縣尾導市（舊豐田都）) 瀨戶田町。1974年畢業於東京工業大學工學部電子工學科。
曾任東京工業大學工學部助手，現為東京電機大學工學部資訊通訊工學科教授。
專業領域為數位訊號處理工學、通訊工學、教育工學。
<主要著作>
《數位訊號處理入門》(OHM社)
「以Scliab學習數位訊號處理」(CQ出版)
「理解電子迴路入門的入門(I) 兩極真空管、電晶體篇」(MICRONET)
「重新學習訊號數學」(CQ出版)
「從今天起可以使用的傅立葉變換」(講談社)
等等。
佐藤 伸一 (Satou Shinichi)
出生於日本福島縣伊達市。1990年修畢東京電機大學研究所電氣工學碩士課程。
於民間企業從事映像相關機器的設計，曾任生物工學相關的研究之私立大學醫學部助手，現為東京電機大學工學部資訊通訊工學科助手。
專門領域為數位訊號處理工學、教育工學。
製作：Verte
漫畫編輯：遠藤 嗣實
DTP：新井 聰史
譯者簡介：
林羿妏
2006年畢業於台灣大學國際企業學系，目前為兼職口筆譯者。譯有：《圖解燃料電池》、《世界第一簡單 統計學》、《世界第一簡單 微積分》（以上皆為世茂出版）。
章節試閱
專欄 擴張版輾轉相除法
輾轉相除法為導出2個自然數的最大公因數的演算法。它比質因數分解可以更有效率地計算。如果想在輾轉相除法中，找尋2個自然數 的最大公因數，則可利用以下步驟。
設 除以 ，餘數為 。
若 ，則最大公因數即為 ，計算即完成。
若 ，則 的組合置換為 和 ，然後再回到最初的步驟。
只要重覆 到 的步驟，餘數為0時，除數即為最大公因數。換句話說，得到餘數為0前的一個步驟中所得到的餘數即為最大公因數。
舉個實例，請以輾轉相除法求出1365和77的最大公因數。
1365＝17×77＋56 （← 依1365÷7...
輾轉相除法為導出2個自然數的最大公因數的演算法。它比質因數分解可以更有效率地計算。如果想在輾轉相除法中，找尋2個自然數 的最大公因數，則可利用以下步驟。
設 除以 ，餘數為 。
若 ，則最大公因數即為 ，計算即完成。
若 ，則 的組合置換為 和 ，然後再回到最初的步驟。
只要重覆 到 的步驟，餘數為0時，除數即為最大公因數。換句話說，得到餘數為0前的一個步驟中所得到的餘數即為最大公因數。
舉個實例，請以輾轉相除法求出1365和77的最大公因數。
1365＝17×77＋56 （← 依1365÷7...
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作者序
目前以網際網路為中心且被網絡化的資訊社會中，除了活用網路上的公開資訊及電子郵件的往來外，也多虧網路商店及網路銀行的普及，使我們的生活變得更便利。
然而，在享受網路時代的恩惠之外，
「安心安全、資訊安全、保護個人資料……，以及密碼」
這類令人感到些許不安的詞彙，每天都在生活中不斷出現。這到底是怎麼一回事呢？為什麼呢？
利用網際網路處理許多資訊時，其中總包含讓別人知道就糟糕的事，不希望別人知道、想要保密的資訊。例如，信用卡號、銀行帳號、病歷、貸款金額、電子郵件地址等，為了不輕易洩露給他人知道，保護資...
然而，在享受網路時代的恩惠之外，
「安心安全、資訊安全、保護個人資料……，以及密碼」
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目錄
前言
序章1
第1章 密碼學的基礎15
1-1 密碼學相關用語16
密碼學的基本用語20
加密金鑰 和解密金鑰 的關係21
1-2 古典加密系統24
凱撒密碼24
替代密碼 25
多字母密碼26
置換密碼 27
1-3 密碼的安全性 28
替代密碼的金鑰數 31
多字母密碼的金鑰數 32
置換密碼的金鑰數 32
可解讀的條件 35
絕對安全的密碼 35
安全密碼 37
第2章 共通金鑰（對稱金鑰）加密系統45
2-1 二進位數和XOR運算46
2-2 共通金鑰密碼是什麼？57
共通金鑰密碼的特徵 62
2-3 串流密碼的構造 63
2-4 區塊密碼的...
序章1
第1章 密碼學的基礎15
1-1 密碼學相關用語16
密碼學的基本用語20
加密金鑰 和解密金鑰 的關係21
1-2 古典加密系統24
凱撒密碼24
替代密碼 25
多字母密碼26
置換密碼 27
1-3 密碼的安全性 28
替代密碼的金鑰數 31
多字母密碼的金鑰數 32
置換密碼的金鑰數 32
可解讀的條件 35
絕對安全的密碼 35
安全密碼 37
第2章 共通金鑰（對稱金鑰）加密系統45
2-1 二進位數和XOR運算46
2-2 共通金鑰密碼是什麼？57
共通金鑰密碼的特徵 62
2-3 串流密碼的構造 63
2-4 區塊密碼的...
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