數學女孩秘密筆記：矩陣篇

第1章 創造出零
「零就是什麼都沒有的意思嗎？」

1.1 零是什麼？
由梨「哥哥，零是什麼呢？」
我「怎麼突然這麼問呢？」

我是高中生，這裡是我的房間。
由梨是國中生，她是我的表妹。
住在附近的由梨常到我的房間玩。
雖然我不是由梨的親哥哥，不過她從小就會叫我『哥哥』。

由梨「別管那麼多啦！快回答我，零到底是什麼呢？」
我「0是一個數啊。」
由梨「我知道0是一個數啊，可是1和2也是數啊？那0這個數又有什麼特別的呢？」
我「0有什麼特別的啊——嗯，
任何數加上0時，值都不會改變。
這種解釋可以嗎？」
由梨「值都不會改變？」
我「舉例來說，123這個數加上0之後，值還是123，沒有改變。也就是說……」
　　　　　　123 + 0 = 123
由梨「是啊，123加上0之後還是123。」
我「當然，不只123會這樣，譬如說，
12345 + 0 = 12345
100 + 0 = 100
3.14 + 0 = 3.14
999 + 0 = 999
-3 + 0 = -3
0 + 0 = 0

不管是哪個數都一樣。如果用a這個字母來表示某個數，那麼下面這個等式會成立
a + 0 = a
換言之，對於任何數a，a+0皆與a相等。0就是這樣的數，有這種性質的數也只有0。」
由梨「嗯……還有沒有更詳細的說明呢？」

我「更詳細的說明？這樣的性質可以嗎？
任何數乘上0時，值都會變成0。
舉例來說，123這個數乘上0之後，值就會變成0。也就是說，
123 × 0 = 0
對於任何數a，下面這個等式會成立
a× 0 = 0
0就是這樣的數，有這種性質的數也只有0。」
由梨「哦！就是這個！」
我「咦？為什麼突然那麼激動呢？」
由梨「我想聽更多有關『a和b相乘後會等於0』的說明！」
我「可以啊。a和b相乘會寫成ab，這個你知道吧。」
由梨「知道。」
我「當
ab = 0
成立時，a和b中至少有一個是0。」
由梨「可能a是0，也可能b是0。」
我「也可能a和b兩個都是零。」
由梨「沒錯。」

我「當a = 0和b=0這兩個等式至少有一個成立時，我們會寫成
a = 0或b=0。
若ab = 0，則a = 0或b=0成立。這段敘述可以寫成
ab = 0 => a = 0或b=0。
反過來說，若a = 0或b=0，則ab=0成立。這段敘述可以寫成
ab = 0 <= a = 0或b=0。
兩邊合起來便可得到
ab = 0 <=> a = 0或b=0。」
由梨「這兩個是同一件事吧？」
我「是啊。
ab = 0
成立，與
a = 0或b=0。
成立，這兩件事在邏輯上是同一件事，故兩者等價。」
由梨「我說哥哥啊。會不會發生『ab = 0，但a和b兩邊都不是0』這樣的情況呢？」
我「不會喔。a和b至少要有一個是0才行。」
由梨「說的也是！嗯……」
我「為什麼喃喃自語呢？ab = 0與a = 0或b=0等價，這是很重要的事喔。」
由梨「有那麼重要嗎？」
我「是啊。比方說我們解二次方程式的時候就會用到喔。」
由梨「真的嗎！」
我「舉例來說，
x2 - 5x + 6 = 0
當我們在解這個方程式的時候，會將x2 - 5x + 6化成(x - 2)(x - 3)的形式，也就是所謂的因式分解。」
由梨「是啊，要因式分解成這樣。」
我「因式分解是將數學式化為相乘的形式，也就是化為『積的形式』。這個例子中，就是將原式化為x - 2與x - 3這兩個式子的積。若要問為什麼要化為『積的形式』，這是因為要用到
（算式）
這個等價關係。
（算式）
……這樣就解出答案了。」
由梨「2或3。」
我「是啊。二次方程式x2 - 5x + 6 = 0的解是x = 2或x = 3。在解二次方程式的時候，比起x2 - 5x + 6這種『和的形式』，(x - 2 )(x - 3)這種『積的形式』比較容易看出解是多少。所以，像ab = 0這種『積的形式』等於0的等式相當重要。」
由梨「是沒錯啦……這樣的話果然還是有點怪。」
我「由梨從剛才開始好像就一直有話要說，是想說什麼呢？」

1.2 不可思議的數
由梨「那個啊，前陣子學校有個朋友跟我說了一件很奇怪的事。」
我「男朋友？」
由梨「不是啦！……就是啊，這種『不可思議的數』真的存在嗎？」

『不可思議的數』
AB等於零，但A和B都不是零。

我「積是零，但兩者都不是零嗎……」
由梨「我都跟他說沒有這種數了，他卻回我創造出來就有了。數是可以創造出來的嗎？」
我「啊，原來是這麼回事嗎？我們平常用的數字中，當然不存在這種『不可思議的數』。不過，我們確實可以創造出擁有這種『不可思議的數』的性質的東西喔。譬如說，如果把矩陣納入考慮的話，就可以創造出這種『不可思議的數』了。」
由梨「矩陣？」
我「數學領域中有一種叫做矩陣的東西，這是一種『類似數的東西』。矩陣可以做加法、乘法——可以像數字那樣計算。」
由梨「可以計算的矩陣……」
我「而且在矩陣中，確實會出現『AB等於零，但A和B皆不等於零』的情況喔。」
由梨「類似數，卻又不是數。我聽不太懂是什麼意思耶。」
我「矩陣雖然和數類似，卻也有許多地方和我們平常看到的數字有所不同。這就是數學家們創造出來的矩陣。」
由梨「創造出很像數字的矩陣……這是什麼意思呢？」
我「矩陣是什麼？矩陣之間的加法怎麼算？乘法怎麼算？這些都要透過定義來決定，就像是創造出來的一樣。」
由梨「好複雜喔，聽起來好難。」
我「一點都不難喔。知道怎麼計算矩陣的話，就能做到更多有趣的事囉。比方說，我們可以用矩陣來旋轉星空。」
由梨「旋轉星空……我們不是在講數學嗎？」
我「讓我們照著順序一步步看下去吧。」
由梨「快講快講！」

1.3 矩陣
我「首先，讓我們來看一個簡單的矩陣例子。像這樣把數字排在一起，就是所謂的矩陣。」

矩陣的例子

由梨「1、2、3、4。」
我「沒錯。這裡寫的是1、2、3、4，不過其實你想寫什麼數都可以。只要把數排成這個樣子，外面再用一個括弧框起來，就是一個矩陣了。」
由梨「這樣啊——」
我「這個矩陣（1 2 3 4）有兩個列。1 2是第1列，3 4是第2列。」
1 第1列 2 第2列
由梨「哦——」
我「另一方面，這個矩陣有兩個行。1 3是第1行——」
由梨「2 4是第2行。」
我「沒錯。這個矩陣有兩個列、兩個行，是一個2× 2矩陣。你看，一點都不難吧？」
由梨「雖然不難，但是也不有趣。」
我「矩陣也不一定會是（1234）。就算把1, 2, 3, 4換成其它數字，一樣是2× 2矩陣喔。就像這樣。」
2× 2矩陣的例子
由梨「這樣啊……」
我「剛才寫的矩陣都是2× 2矩陣。不過在一般情形下，矩陣要有幾列、有幾行都行。」
由梨「像是3× 3矩陣嗎？」
我「沒錯，列和行的個數不一樣也可以喔。」
由梨「嗯嗯。」
我「像是2× 2矩陣，3 × 3矩陣這種列數與行數相同的矩陣，又叫做方陣。」

第1章 創造出零
「零就是什麼都沒有的意思嗎？」

1.1 零是什麼？
由梨「哥哥，零是什麼呢？」
我「怎麼突然這麼問呢？」

我是高中生，這裡是我的房間。
由梨是國中生，她是我的表妹。
住在附近的由梨常到我的房間玩。
雖然我不是由梨的親哥哥，不過她從小就會叫我『哥哥』。

由梨「別管那麼多啦！快回答我，零到底是什麼呢？」
我「0是一個數啊。」
由梨「我知道0是一個數啊，可是1和2也是數啊？那0這個數又有什麼特別的呢？」
我「0有什麼特別的啊——嗯，
任何數加上0時，值都不會改變。
這種解釋可以嗎？」
由梨「...

序章
看看天空。
看看廣闊天空中的雲朵。
看看雲朵所描繪的天空。

看看天空。
看看廣闊天空中的星星。
看看星星所點亮的天空。

捉住雲朵。
撒落繁星。
用雲朵與繁星——描繪整個天空。

序章
看看天空。
看看廣闊天空中的雲朵。
看看雲朵所描繪的天空。

看看天空。
看看廣闊天空中的星星。
看看星星所點亮的天空。

捉住雲朵。
撒落繁星。
用雲朵與繁星——描繪整個天空。

給讀者
序章

第1章 創造出零
1.1零是什麼？
1.2 不可思議的數
1.3 矩陣
1.4 矩陣的和
1.5 矩陣的差
1.6 創造出零
●第1章的問題

第2章 創造出一
2.1 創造出一
2.2 考慮數的乘積
2.3 矩陣的積
2.4 其它元素
2.5 創造單位矩陣
2.6 無法計算乘法時
2.7 無法計算加法時
2.8 續．不可思議的數
2.9 矩陣的除法
●第2章的問題

第3章 創造出i
3.1 蒂蒂
3.2 交換律
3.3 AB≠BA的例子
3.4 分配律
3.5 結合律
3.6 矩陣可以表示什麼呢？
3.7 創造出i
3.8 求出J
3.9 米爾迦
3.10 複數
●第3章的問題

第4章 星空的變換
4.1 麗莎
4.2 矩陣
4.3 矩陣
4.4 變換與和的交換
4.5 變換與整數倍的交換
●第4章的問題

第5章 行列式可決定的東西
5.1 矩陣的積
5.2 線性變換的合成
5.3 逆矩陣與逆變換
5.4 逆矩陣是否存在
5.5 行列式與逆矩陣
5.6行列式與面積
5.7 行列式與向量
5.8 由梨
5.9 聯立方程式
5.10 行列式與零因子
●第5章的問題
尾聲
解答
給想多思考一點的你
後記
索引

給讀者
序章

第1章 創造出零
1.1零是什麼？
1.2 不可思議的數
1.3 矩陣
1.4 矩陣的和
1.5 矩陣的差
1.6 創造出零
●第1章的問題

第2章 創造出一
2.1 創造出一
2.2 考慮數的乘積
2.3 矩陣的積
2.4 其它元素
2.5 創造單位矩陣
2.6 無法計算乘法時
2.7 無法計算加法時
2.8 續．不可思議的數
2.9 矩陣的除法
●第2章的問題

第3章 創造出i
3.1 蒂蒂
3.2 交換律
3.3 AB≠BA的例子
3.4 分配律
3.5 結合律
3.6 矩陣可以表示什麼呢？
3.7 創造出i
3.8 求出J
3.9 米爾迦
3.10 複數
●第3章的問題

第4章 星...