懶人圖解統計學：統整複雜數據，看穿大數據背後真相

1-1 當有人問你「每週喝幾次酒」，你會覺得很難回答嗎？
我很喜歡喝酒（或者應該說，我很喜歡酒宴時的氣氛）。朋友們知道這件事後，一定會問我：「平均每週喝幾次酒？」

我覺得這個問題實在很難回答。我從來不曾認真記錄哪天有喝酒、哪天沒喝，更不會像是計算棒球選手的打擊率那樣，計算每天喝酒情況的變化。但是，問我這個問題的人也不認為我會這麼做吧？

事實上，我喝酒的頻率變動很大。雖然我沒有晚酌的習慣，但是想喝酒的時候，每天晚上都會喝一些。但如果幾天不喝，就會像變了一個人似的，整個月都不碰酒精。就算我憑著那不怎麼可靠的記憶，計算出平均值約為「每週喝兩次」，意義也不大，因為連我自己都覺得這個答案怪怪的。「每週喝兩次」這句話聽起來就像是我會固定在每週五、六喝酒一樣，但事實並非如此。

因此，如果你是那種什麼都只想靠平均值來判斷的人，還請先別這麼快就下定論。

第 1 章中，我們會介紹各種可以代表整體數據的數值，「平均值（期望值）」就是其中之一。

上面的例子中，當我被朋友問到「平均每週喝幾次酒」，我很難回答得出來。由這個例子可以知道，有時候「平均值並不是最適合用來代表整體數據的數值」。還請先記住這點，並繼續往下閱讀。

1-6 由直方圖的形狀，可以看出某些數據不適合用「平均值」來描述
次頁是A 公司到E 公司共五家公司的月薪直方圖。從這些直方圖可以看出這些公司的幾個特徵。

首先，A 公司、B 公司、C 公司的直方圖皆為左右對稱，而且 A 公司與 B 公司只有一個峰。這種只有一個峰、相對單純的分配，稱做「單峰型」分配。譬如男性身高的分配，就是單峰型分配的典型例子。

相較於此，C 公司的月薪分配有兩個峰。有兩個峰或更多峰的分配，稱做「多峰型」分配。舉例來說，如果不分男女，統計所有人的身高並做成次數分配表，就會是多峰型分配；在考試時，若明顯有一群人比較會解題，另一群人比較不會，則成績分配也會是多峰型。

至於 D 公司與 E 公司的月薪分配則非左右對稱，而是集中在左側。日本媒體常會報導棒球選手的年薪，他們的個人所得分配也明顯不是左右對稱。

回來談談平均值，當單峰型數據的直方圖左右對稱（或者接近左右對稱）時，以平均值做為整體數據的代表值，不會有什麼問題。

但是，如果是像 C 公司那樣的多峰型數據，即使左右對稱，平均值也無法做為整體數據的代表值。E 公司那種具有明顯落差的數據就更不用說了。

下一節中，我們就來談談除了平均值，還有哪些數值可以代表整體數據。

5-1 從部分數據估計整體數據
本章要說明的是「估計」方法。在這之前，先來看看以下這個簡單的例子。

若想知道日本所有滿 20 歲成年男子的平均身高，不可能花費大量時間和人力去實際調查每個日本成年男子的身高。更何況，在量所有人身高的期間內，調查對象也可能發生變化。例如某些已量完身高的人在這段期間內死亡，或者某些原本未成年的男子在這段期間內長為成人。

因此實務上，會從所有日本成年男子中選出一部分，只調查這些人的身高，再用這些數據去估計所有日本成年男子的身高。這就是本章要介紹的方法，如何從部分數據估計整體數據。

像是「所有日本成年男子」這種由所有調查對象構成的集合，稱做「母體」。為了分析母體資訊，從母體中選擇出來的部分對象，則稱做「樣本」。

如前所述，有時候我們無法知道母體內所有對象的資訊，例如以下情形
（1）母體內有非常多調查對象的時候。例如所有日本成年男子。
（2）雖然母體內的調查對象沒有很多，但不可能調查所有對象的時候。例如罐頭品質。
（3）發生在未來，不可能現在調查的數據。例如明年的失業率。

下一節中，將用幾個例子來說明估計方法

1-1 當有人問你「每週喝幾次酒」，你會覺得很難回答嗎？
我很喜歡喝酒（或者應該說，我很喜歡酒宴時的氣氛）。朋友們知道這件事後，一定會問我：「平均每週喝幾次酒？」

我覺得這個問題實在很難回答。我從來不曾認真記錄哪天有喝酒、哪天沒喝，更不會像是計算棒球選手的打擊率那樣，計算每天喝酒情況的變化。但是，問我這個問題的人也不認為我會這麼做吧？

事實上，我喝酒的頻率變動很大。雖然我沒有晚酌的習慣，但是想喝酒的時候，每天晚上都會喝一些。但如果幾天不喝，就會像變了一個人似的，整個月都不碰酒精。就算我憑著那不怎...

各位知道 10 月 18 日是什麼日子嗎？

這天是日本的統計日。在日本總務省統計局的網站中提到，1872 年 9 月 24 日，日本太政官公布了日本第一個近代生產統計表—《府縣物產表》，這天換算成陽曆後就是 10 月 18 日。於是日本政府就在 1973 年，訂這天為統計日。

在統計日這天，總務省會舉辦各種活動，促進日本國民關心統計，使國民了解統計的重要性，並配合政府的各種統計調查。

其中一項活動就是「募集標語」。總務省會將募集到的標語用於海報等廣告宣傳。2018 年度的特選作品，是由統計調查員組別選出的「活用統計、指向未來」。總務省的網站上可以看到歷屆入選作品，而且這些標語一個比一個驚豔。以下介紹其中幾個標語。

「這是為了誰？這是為了所有人的統計調查」 2000 年
「數字重於理論，統計重於直覺」 2003 年
「統計能獲得正確資訊，讓人放心」 2006 年

2019 年度的標語從 2 月開始募集，那時有人踢爆政府各部會偽造統計數據，引發了不小的問題，這也使 Twitter 上大量出現揶揄這次事件的標語。

「混亂的統計，可疑的指標」
「統計都是編造的數字，不要隨便相信」
「數字不合，就自己編造，統計都是假的」
「就算不景氣，統計數字也會說景氣很好」

我和其他教授談起這些統計調查事件時，聊到「有沒有什麼方法，可以看出這些統計數字的問題呢？」這裡先把這個方法命名為「規則 X」。我們會在本書的專欄中，與各位談談有什麼方法可以做到這件事，敬請期待！

本書會用淺顯易懂的方式，說明高中等級的統計。以下就簡單說明一下本書內容。

第 1 章介紹平均值（期望值）、變異數、標準差等，能描述數據特徵的數值；第 2 章介紹基礎機率，幫助各位理解本書後半提到的統計學知識；第 3 章介紹隨機變數；第 4 章介紹典型的分配範例—二項分配、常態分配；第 5 章介紹估計方法，說明如何由部分數據推論整體數據；第 6 章介紹檢定方法，說明如何建立假設、如何判斷假設正確與否；第7 章介紹如何描述不同數據間的相關關係。
另外，在每章的最後面會列出幾個練習問題，請各位試著挑戰看看，以加深理解。

最後，本書的出版過程受到科學書籍編輯部的石井顯一先生不少照顧，在此表達誠摯謝意。
今野紀雄

各位知道 10 月 18 日是什麼日子嗎？

這天是日本的統計日。在日本總務省統計局的網站中提到，1872 年 9 月 24 日，日本太政官公布了日本第一個近代生產統計表—《府縣物產表》，這天換算成陽曆後就是 10 月 18 日。於是日本政府就在 1973 年，訂這天為統計日。

在統計日這天，總務省會舉辦各種活動，促進日本國民關心統計，使國民了解統計的重要性，並配合政府的各種統計調查。

其中一項活動就是「募集標語」。總務省會將募集到的標語用於海報等廣告宣傳。2018 年度的特選作品，是由統計調查員組別選出的「活用統計、指向未來」。...

前言 3

第 1 章 數據的特徵 9
1-1 當有人問你「每週喝幾次酒」，你會覺得很難回答嗎？ 10
1-2 雖然平均月薪相同，但你不覺得哪裡奇怪嗎？ 12
1-3 即使平均值相同，也不代表數據有相同特徵 14
1-4 將數據畫成「直方圖」會更好了解 16
1-5 配合數據特徵，選擇適當組距 18
1-6 由直方圖的形狀，可以看出某些數據不適合用「平均值」來描述 20
1-7 除了平均值，還有其他可以代表整體數據的數值 22
1-8 正中央數值—中位數 24
1-9 如何計算中位數？ 26
1-10 哪個數值最多？什麼是眾數？ 28
1-11 表示數據分布範圍的「全距」 30
1-12 如何表示數據分散程度？ 32
1-13 用「變異數」來表示數據分散程度會方便許多 34
1-14 如何用變異數來計算數據分散程度？ 36
章末練習 ① 38
專欄 1 統計虛擬貨幣之現價總額的首位數字，會有什麼結果？ 40

第 2 章 機率的基礎 41
2-1 「樣本點」「樣本空間」與「事件」分別是什麼？ 42
2-2 「和事件」「積事件」和「餘事件」 44
2-3 機率的定義 46
2-4 「事件機率」的計算 48
2-5 以「擲硬幣」為例，做機率的計算 50
2-6 丁半賭博中「丁」的機率和「半」的機率分別是多少？ 52
2-7 不會同時發生的「互斥事件」 54
2-8 互斥的兩個「事件」有什麼關係？ 56
2-9 發生「餘事件（非∼的事件）」的機率是多少？ 58
2-10 什麼是「條件機率」？ 60
2-11 學會使用方便的「乘法規則」 62
2-12 不被其他事件影響的「獨立事件」 64
章末練習 ② 66
專欄 2 首位數字的出現機率會符合「班佛定律」 68

第 3 章 隨機變數 69
3-1 由偶然決定數值的「隨機變數」 70
3-2 利用機率的性質，讓機率的計算變簡單 72
3-3 隨機變數和與之對應的「機率分配」 74
3-4 機率合計為「1」 76
3-5 計算隨機變數X 的期望值 78
3-6 即使各個事件的機率不一樣，也能求出期望值E(X) 80
3-7 「標準差」是變異數的正平方根 82
3-8 「平均值前後一個標準差」是最常出現的數值 84
章末練習 ③ 86
專欄 3 應用班佛定律找出偽造數據 90

第 4 章 分配 91
4-1 考慮順序時的「可能情況數」 92
4-2 不考慮順序時的「可能情況數」 94
4-3 由二項分配算出擲骰子結果的機率 96
4-4 由二項分配算出擲骰子結果的分配 98
4-5 擲骰次數增加，二項分配的形狀也會跟著改變 100
4-6 身高、雨量、產品誤差⋯⋯我們可以在許多數據上看到常態分配 102
4-7 常態分配的性質 104
4-8 常態分配中，幾乎所有事件都會在「3 σ 範圍」內 106
4-9 常態分配標準化的「標準常態分配」 108
4-10 從圖看出標準常態分配的性質 110
4-11 用標準常態分配來計算機率 112
章末練習 ④ 114
專欄 4 「末位數字」的分配也會偏向一邊嗎？ 116

第 5 章 估計 117
5-1 從部分數據估計整體數據 118
5-2 由估計方法決定適當的樣本數 120
5-3 如何調查電視的收視率？ 122
5-4 如何用統計方法估計收視率 124
5-5 估計一個數值點—「點估計」 126
5-6 估計一段區間—「區間估計」∼其一 128
5-7 估計一段區間—「區間估計」∼其二 130
5-8 信心水準的大小與信賴區間的關係 132
5-9 精靈寶可夢的收視率變化 134
5-10 信心水準提高，信賴區間也會變大 136
5-11 估計大谷翔平選手未來的打擊率，會得到什麼結果？ 138
章末練習 ⑤ 140
專欄 5 「辛普森悖論」是什麼？ 144

第 6 章 檢定 145
6-1 如果連續擲硬幣五次都是正面，可以說「這是一枚不公正硬幣」嗎？ 146
6-2 如何檢定「這是一枚公正硬幣」的假設是否正確？ 148
6-3 了解檢定的獨特概念與流程 150
6-4 檢定會因為「錯誤率」不同而得到不一樣的結果 152
6-5 當「五次有四次是正面」，可以說「這是一枚不公正硬幣」嗎？ 154
6-6 即使「五次有四次正面」，也不能說「這是一枚不公正硬幣」 156
6-7 若錯誤率是5%，那麼當「十次有九次正面」，就可以說「這是一枚不公正硬幣」 158
章末練習 ⑥ 160
專欄 6 在日本買彩券應該買「連號」？還是買「號碼分散」？ 164

第 7 章 相關 165
7-1 判斷兩群數據的關係 166
7-2 用「相關圖」將不同數據間的關係視覺化 168
7-3 什麼是「強相關」「弱相關」和「零相關」？ 170
7-4 「相關係數」可以表示不同數據間的相關程度 172
7-5 「相關係數」的公式 174
7-6 相關係數的計算方法∼例一 176
7-7 相關係數的計算方法∼例二 178
7-8 相關係數的計算方法∼例三 180
7-9 相關係數的總整理 182
章末練習 ⑦ 184
專欄 7 「無法計算期望值」的抽獎 186

後記 187
主要參考文獻 189
索引 190

前言 3

第 1 章 數據的特徵 9
1-1 當有人問你「每週喝幾次酒」，你會覺得很難回答嗎？ 10
1-2 雖然平均月薪相同，但你不覺得哪裡奇怪嗎？ 12
1-3 即使平均值相同，也不代表數據有相同特徵 14
1-4 將數據畫成「直方圖」會更好了解 16
1-5 配合數據特徵，選擇適當組距 18
1-6 由直方圖的形狀，可以看出某些數據不適合用「平均值」來描述 20
1-7 除了平均值，還有其他可以代表整體數據的數值 22
1-8 正中央數值—中位數 24
1-9 如何計算中位數？ 26
1-10 哪個數值最多？什麼是眾數？ 28
1-11 表示數據分布範圍的「全距」 30
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