像數學家一樣思考：26堂超有料大腦衝浪課，Step by Step揭開數學家的思考地圖

Chapter9
媒體上的統計數字是怎麼操弄我們的？

（小心，眼見不一定為真！很多時候，所謂的「統計數字」不過是一個糟糕的謊言，如果你知道如何正確解讀這些數字的話。）

　　媒體上，各種統計數字滿天飛，而這些統計也經常以企圖說服我們接受某一特定觀點的角度來呈現。要想避免被操控，我們不僅需要去理解統計背後的真實意義，還需要了解我們對數字的感受。而這其中牽涉到了同等份量的數學與心理學。

▌審視統計的各種方法
　　同樣的數字，有千百種表達方式，而不同的方式也會導致我們有不一樣的反應。記者、廣告商及政治人物會以特定方法來呈現數字，企圖刺激我們，讓我們以某種角度來解讀資訊。
　　同一件事，有下列這麼多種表達方法：

 5分之1
 0.2的機率
 20％的機會
 10個中的2個
 5:1的發生比
 50分之10
 每100個之中的20個
 100萬中的20萬

　　即便如此，我們對這些數字的反應卻大不相同。最後一項──100萬中的20萬，聽起來更令人印象深刻，因為我們看見了一個龐大的數字。「100個之中的20個」確實比「10個裡頭的2個」更令人印象深刻，因為我們認為2不過是一個小數字。這是一種擁有相當多證據的發現，被稱之為「比率偏差」（Ratio bias）。此種現象甚至會讓人們選擇獲勝機率較小的事物。
　　下面的實驗，完美地展示了何謂比率偏差。受試者會看到兩個分別裝著不同玻璃珠的碗：

 有十個玻璃珠，九個白色，一個紅色
 有一百個玻璃珠，九十二個白色，八個紅色

　　受試者被告知，他們必須在眼睛矇起來的情況下，挑出紅色的玻璃珠。而為了提高自己摸中紅色珠子的機率，他們應該選擇哪個碗？
　　在此一測驗中，有53％的受試者選擇了100顆珠子的碗。
　　這是錯誤的選擇：從第一個碗中摸中紅色珠子的機率為10％（100分之10或10分之1），而第二個碗的機率卻僅有8％（100分之8）。
　　第二個碗裡有更多紅色珠子的情況，讓受試者誤以為選中紅色珠子的機率比較高，而這樣的念頭迷惑了部分受試者。他們完全忽視了在這樣的情況下，他們也有更高（且不成比例地多）的機率，選中白色珠子。從第二個碗裡挑中紅色珠子的機率，低於從第一個碗裡挑出紅色珠子的機率。結果顯示，有一半的受試者不知道該如何將自己選中紅色珠子的機率最大化。

▌大數字更能震撼人心
　　人們認為大數字遠比小數字來得重要。
　　科學家將樣本受試者分為兩派，並請受試者來評估癌症對健康造成威脅的嚴重程度。與那些被告知每一天有100人死於癌症的受試者相比，被告知每一年有36,500人死於癌症的受試者，更傾向於認為癌症的風險很高。
　　在另一項研究中，被告知每一萬人裡會有1,286人死於癌症的受試者，對癌症的擔憂程度，明顯高於那些被告知在一百人之中會有24人死於癌症者（儘管後者的機率近乎高於前者兩倍──24%比上12.9％）。
　　這樣的偏差，會導致人們做出危險的選擇。在被詢問到他們是否願意接受某項具有已知死亡風險的治療時，人們的答案往往會視數據被呈現的方式，而受到左右。
　　如果用一百人為單位來表示過去患者的死亡率，受試者願意接受的風險程度往往更高（與以一千人為單位所呈現的死亡率相比）。在前者的情況下，潛在病患願意接受的死亡率可以高達37.1％，而後者卻只有17.6％。
　　較大的數目（176對37）蒙蔽了他們，讓他們避開了程度較低的風險。

▌千萬不要刨根究柢！
　　在被詢問到哪一個分數比較大時，人們傾向於只拿分子（位於分數上方的數字）做比較，並忽視分母（下方的數字）。這也是為什麼讓人們在挑選玻璃珠時，更傾向於選擇8/100，而不是1/10。對整體數字的徹底忽視，就稱為「分母的忽略」（Denominator neglect）。
　　具有商業頭腦的你，可以好好善用此種情況。假設你正在一場餐會上為某個慈善單位募款，而你希望說服人們用金錢來換取贏得遊戲的機會。那麼，你可以善用對分母的忽略或比率偏差，來誘使人們去玩那些儘管看上去更容易獲勝、實質上獲勝機率較低的遊戲。比起「每十個人之中，就有一人能贏得獎金」的標語，「每一百人之中，就有八人能中獎！」的標語絕對能吸引到更多人參加。（『！』的增添與數學無關，但其具有的驚訝與激動語氣，確實能對讀者產生影響。）

▌那些沒說的事？
　　記者、廣告商和政治人物操控我們想法的另一種手段，就是透過深思熟慮的選擇與措辭。不妨試著翻轉那些夾雜著數字的句子，窺探其背後的真正意義：

 在此政府的管理下，有30％的人過得更糟＝與上一屆政府相比，有至少70％的人擁有跟過去一樣的生活水平。
 有四分之一的筆電會在二十四個月內壞掉＝有四分之三的筆電在二十四個月後，仍能良好地運作。
 每五十位居民之中，有三十位能活到超過七十歲＝有40％的居民會在七十歲前離世。

　　透過聚焦於數學性數據的某一面，數據提供者能誘使我們以正面、或負面的態度去思考。而他們也可以透過讓我們更難去聯想事情另一面的陳述方法，來強化此一效果。假如最後一個例子──「每五十位居民之中，有三十位能活到超過七十歲」，改以「有60％的居民能活超過七十歲」來呈現，我們或許就會稍微聯想到這意味著還有40％的居民，在活到此一年齡前，就已經過世。但三十看上去更多，且我們還必須在心裡換算一下（50-30，再將20轉換成百分比），才能得到此一陳述的真貌。

▌尋找背景脈絡
　　另一個把戲，則是孤立統計數據。缺乏背景脈絡的數字不具有意義。倘若我們聽到某間學校裡有二十名學生因為濫用藥物而被停學，我們一定會覺得事情相當嚴重。但與擁有兩千名學生的學校相比，擁有八百名學生的學校發生此事，情況絕對比較嚴重。假設兩千名學生中有二十名學生濫用藥物，就意味著有99％的學生並沒有濫用藥物。儘管如此，這樣的句子可成不了新聞頭條。
　　「有百萬分之一的機率……」在媒體上我們經常可以看到人們用這樣的句子，來表達機率極低的事。嚴格來說，在特定情況下此機率確實極低，但倘若分母數非常龐大，那麼這樣的機率就不能說是不可能。假設出現白化症非洲象的機率為一百萬分之一，那麼當我們去非洲玩時，我們大概不可能看到這樣的大象。倘若螞蟻出現白化症的機率也是一百萬分之一，那麼當我們將一個蟻窩翻過來卻沒有看到任何一隻白化症的螞蟻時，就會讓人有點驚訝。

▌蘋果與橘子
　　倘若以不同的方式來呈現統計數字，讀者就會很難將兩者進行比較。媒體報導經常使用此招──很有可能是為了混淆我們，但更有可能只是因為記者認為這樣讀起來更豐富。將來源不同的資訊進行比較時，經常會遇到這樣的情況，但這樣的處理未免過於粗糙──記者應該試著讓資訊可以比較。
舉例來說，我們很難理解報導中所提到的：十個人之中就有兩人可以透過充分的運動，來降低30％罹患心臟疾病的風險，而有另外三分之一的人，可以透過充分的運動減少15％罹患心臟疾病的風險。這段話讓我們必須以三種角度來思考數字：十人中的兩人、分數與百分比。倘若我們將數字全部轉換成百分比，讀起來就輕鬆多了：充分運動能讓20％的人降低罹病機率30％，讓33％的人降低罹病機率15％。這句話同時也能讓人得知有47％的人，未能保持充分運動：100-(20+33)=100-53=47

Chapter9
媒體上的統計數字是怎麼操弄我們的？

（小心，眼見不一定為真！很多時候，所謂的「統計數字」不過是一個糟糕的謊言，如果你知道如何正確解讀這些數字的話。）

　　媒體上，各種統計數字滿天飛，而這些統計也經常以企圖說服我們接受某一特定觀點的角度來呈現。要想避免被操控，我們不僅需要去理解統計背後的真實意義，還需要了解我們對數字的感受。而這其中牽涉到了同等份量的數學與心理學。

▌審視統計的各種方法
　　同樣的數字，有千百種表達方式，而不同的方式也會導致我們有不一樣的反應。記者、廣告商及政治人...

INTRODUCTION前言
說真的，數學到底是什麼？
在處理資料和知識上，有兩種根本上不同的方法。一是從觀察出發、二是從思考出發，所謂的數學，也是如此。

Chapter1
數學是被創造的？還是被發現的？
數學怎麼可能「編」得出來呢？還是其實可以？但正如同我們無法說「樹」這個字，對樹本身來說是錯誤的一樣……

Chapter2
為什麼我們需要數字的幫忙？
早在人類社會發展初期，就已經掌握了數字。你還記得自己是從什麼時候開始，會1、2、3、4、5……自言自語地數數嗎？

Chapter3
數字會不會有「不夠用」的一天？
並不是每一種數字系統，都可以無窮盡地延展下去。但很多時候，這取決於我們（或其他會數數的動物）對無限的想像。

Chapter4
誰規定10代表的一定比9還要多？
我們之所以發展出「十進位」的數字系統，或許是因為我們擁有十根手指頭和腳指頭，讓數到十最容易。但如果是外星人呢？

Chapter5
為什麼最簡單的問題反而最難回答？
對數學家來說，提出一個問題很簡單，但回答一個問題卻無比困難，因為你必須提出堅若磐石的「證明」來說服他們。

Chapter6
巴比倫人為你每天的吃喝拉撒做了什麼？
你幾點鐘起床？在手錶指針呈現哪個角度時出門？你的星座是什麼？我們日常生活中的某些發明，其由來遠比你猜測得還要古老……

Chapter7
肉眼能看見的「天文數字」有多大呢？
一般來說，所有的數字都有其用處，但某些數字實在是大到難以實際操作。對某些數學家而言，「數字的盡頭」始終是一個迷人的疑問。

Chapter8
天長地久有時盡？「無窮」可以被量化嗎？
所謂的「宇宙」，可以容納無窮無盡的事物嗎？倘若那些超級無敵霹靂大的數字根本一點用處都沒有，那麼「無窮」又有多少用處呢？

Chapter9
媒體上的統計數字是怎麼操弄我們的？
小心，眼見不一定為真！很多時候，所謂的「統計數字」不過是一個糟糕的謊言，如果你知道如何正確解讀這些數字的話。

Chapter10
數據與事實之間究竟存在因果？或只是巧合？
調查報告與財務報表上頭所顯示的數字真的重要嗎？數字真的能展示出它所宣稱的內容嗎？或者只是風馬牛不相及的巧合而已？

Chapter11
該如何測量一個星球到底有多大？
假如你突然發現：自己被困在另一個星球上，此時該怎麼辦？你能設法釐清這個星球有多大，然後制定逃生計畫嗎？

Chapter12
從倫敦到洛杉磯最快的方法是？
也許你會打開Google Map來尋找靈感，毫無疑問的，從A 點到B 點的最短路徑自然是一直線──但你確定這真的是一條直線嗎？

Chapter13
壁紙目錄裡頭隱藏的驚人祕密！
當我們裝潢新家時，看著琳琅滿目的壁紙或磁磚目錄並想著「樣式還真多啊」，確實相當合情合理，但數學家看到的可並非如此……

Chapter14
該如何判斷與預測答案的正確性？
嬰兒應該有多重？紅尾蚺應該有多長？人們多久會去一次超市？這些問題通通可以透過平均值的計算建立模型，並找到答案！

Chapter15
該如何測量那些難以量化的事物？
並非所有事物都可靠「數數」來解決，當我們想知道一片沙灘上究竟有多少粒沙子，或一粒沙中有多少原子？此時就需要用到一把特殊的尺……

Chapter16
該如何從資訊海中撈出正確答案？
我們不會用「公釐」來測量鯨魚的長度，或用「公里」來測量原子的大小。像是民調這類的海量資訊時，想求得正確答案就必須使用正確的工具。

Chapter17
你該擔心一場席捲全球的瘟疫嗎？
聖經《啟示錄》中所述的四騎士─—瘟疫、戰爭、饑荒和死亡，每個世紀至少會重演一次。大流行病真的很可怕，而數學，可以幫助我們嗎？

Chapter18
外星人在哪裡？
想當然爾，我們絕對不會是宇宙中唯一的智慧生物體，外星人距離我們有多遠？這個問題或許只有數學可以回答。

Chapter19
質數有什麼一定要知道的祕密？
質數的用途遠比你所想到的還更多──或許你壓根兒都不會想到，數位時代所有的網路交易，都是一群黑壓壓的質數大軍幫你完成的。

Chapter20
該如何讓機率站在你的那一邊？
每一天，我們都必須和機率（亦稱之為「機會」或「風險」）交手，有時甚至是在我們渾然未覺的情況下，機率就已為我們的人生做出決定。

Chapter21
你的生日是哪一天？
你相信嗎？在一個有三十人的房間裡，其中兩個人的生日，有極大的機率（遠超過一半）會是在同一天……

Chapter22
你的下一步，值得冒這個險嗎？
諾貝爾文學獎得主T.S.艾略特說：「只有那些冒險走到更遠的人，才能知道自己可以走多遠。」但在數學上，你還需要知道更多。

Chapter23
大自然懂得多少數學呢？
你相信大自然也會數數嗎？事實上，生活在自然界的各種動植物，或許早在人類出現之前，就已熟稔繁衍後代的數學法則。

Chapter24
什麼是讓藝術家也瘋狂的完美形狀？
放眼觀察大自然，我們可以見到許多奇形怪狀的形體──以及某些相較之下，非常優美的形狀，而這竟然也是出自數學的傑作。

Chapter25
數字已經逐漸失控了嗎？
數字成長的速度可以是相當驚人的。愛因斯坦說：「複利的威力遠大於原子彈。」但這可並非只是對於你的銀行存款而言。

Chapter26
我究竟喝了多少酒？
某一樣極為重要的數學計算工具──斜率，其實是一位非常在乎「自己到底喝到多少酒」的德國人所發明的。

INTRODUCTION前言
說真的，數學到底是什麼？
在處理資料和知識上，有兩種根本上不同的方法。一是從觀察出發、二是從思考出發，所謂的數學，也是如此。

Chapter1
數學是被創造的？還是被發現的？
數學怎麼可能「編」得出來呢？還是其實可以？但正如同我們無法說「樹」這個字，對樹本身來說是錯誤的一樣……

Chapter2
為什麼我們需要數字的幫忙？
早在人類社會發展初期，就已經掌握了數字。你還記得自己是從什麼時候開始，會1、2、3、4、5……自言自語地數數嗎？

Chapter3
數字會不會有「不夠用」的一天？
並不是每一種數字...