解題背後的心理學：行不通就換方法，建構有效的數學思維

第四章
不感興趣與焦慮 vs. 動機與信心
如前所述，有許多心理因素會影響一個人有效且有效率地解題的能力。在前言中列出來的大多數因素（像是集中的專注力與計畫）牽涉到複合的心智歷程；你可能已經擁有這許多心智元素，卻仍在解題上遇到困難。你可能會想，還有什麼因素在阻礙你？這就是何以我們現在要討論的原因—在阻礙我們解題能力上有一個重要的因素，那就是焦慮。
何謂焦慮？
你可能對於焦慮這個詞很熟悉，那是涵蓋擔心及緊張感受的複雜感受，通常伴隨著諸如肌肉緊張、呼吸和心跳加速以及慌張的生理症狀。在某些例子中，我們能適應這些焦慮，比如說不知道能上哪所大學的焦慮，通常有助於激勵學生努力讀書取得好成績。另外，對於陌生人的恐懼，通常能阻止兒童與不認識的大人說話，讓他們避開可能危險的情況。然而，也有許多時候，焦慮讓我們對一點也不危險的情況感到恐懼。在這些案例中，焦慮會造成人們產生負面信念並導致人們選擇迴避。舉例來說，如果有人對於公開演講感到焦慮，卻在工作場合或學校中被要求進行演說，他或她可能會對這次演講產生了負面想法。這人可能會想：「如果我犯了錯或忘詞了，那該怎麼辦」、「我聽起來可能很蠢」或是「我不知道我能不能做到」。他或她可能會汗流不止或暈眩，可能心跳加速或換氣過度。這人可能會有衝動打電話請病假或是請他人進行簡報。這些狀況都是出於焦慮，而這人若在像是算數學（被稱為數學焦慮）及解決日常生活問題的狀況下感到焦慮，這些症狀通常也會出現。
許多人與數學焦慮搏鬥，而影響了他們在這一科的表現。雖然數學焦慮根源於不理解眼前的素材，卻也因為人們想要「擅長數學」所承受的巨大壓力而生。如果「擅長數學」會讓一個人變聰明，那麼反過來數學不好就暗示了我不夠聰明。這會帶來很大的壓力！有數學焦慮的人通常會在面對數學題時感到驚慌，這讓他們的心跳及呼吸加速，讓有效率、能解出題目的思考被焦慮的想法給取代了。他們可能會認為「我做不到」、「我做得超差」、「這對我來說太多了」或是「我永遠都不會懂」。由於這樣多焦慮的想法不斷冒出來，難怪有數學焦慮的人在解題上會遇到困難！他們通常無法專心在問題上，往往得仰賴他人提供一步接一步的指示。
有數學焦慮的人往往會不惜一切代價避開數學。兒童及青少年可能會逃學，大學生可能會避免選修數學課，而成人則可能會請朋友在餐廳「算出分攤的金額」，或是在工作時請同事協助完成基本計算。這些想避開數學的企圖在當下能讓焦慮降低；然而它們只是權宜之計，無法長期幫助一個人處理他或她的焦慮。此外，避開數學可能會讓人錯過學習解題必備的相關技巧，減少個人對概念的理解，隨之增加個人對數學的焦慮。雖然你可能會認為避開數學能減低你的焦慮，但這麼做長期下來卻可能增加你的焦慮。避開數學的權宜之計幾乎總是會產生反效果。
簡單提醒大家：不要被那些自認對數學不擅長的人給欺騙了。如前所述，焦慮的一個關鍵元素就是迴避。如果一個人使用「對數學不擅長」作為永遠不需做這件事的藉口，他或她既避開了失敗，也因此避開向他人及自己證明他或她已經失敗的狀況。雖然像這樣的陳述可能只是拿自己開玩笑，但背後通常也有想要迴避數學的重要因素。
採取行動來減少焦慮，並以信心來取代焦慮，這對成為一個更好的解題者來說十分重要。若你本身想透過信心來取代數學焦慮，本書提供的策略將更容易為你所用。然而，你可能會對自己說：要變得自信，那可是說的比做的容易。那麼，本章會讓你知道，減少焦慮的基本策略能幫助你增加對自己的信心，也會幫助你減少不舒服的焦慮感及身體感受。準備好你自己；如同在本章其餘部分看見的，克服焦慮最好的方式就是面對你的恐懼。準備好「赴湯蹈火」了嗎？等結束這一段路到另一端時，想必你會對自己的能力更有信心！
在這一小節，我們會教你對於解數學題目以及解決日常問題更有信心的策略。信心並不只是「這個我做得到」的態度，而是由某些因素所組成，包括：理解問題目標及變因、以客觀開放的心態處理問題，以及感覺準備充足並感覺自己能處理問題。或許，信心最大的指標是一個人面對失敗的能力，因為失敗通常是不可避免的。本章會著重在如何讓你自己準備好、感覺自己能解決問題並處理失敗。我們的希望是，在你讀完這本書後，你能具備所有能增進你解題能力的工具。
讓我們看一下以下這個問題，它乍看之下有些嚇人，但透過找出模式的策略，這個問題變得相對容易。這種讓人大開眼界的事件確實有助於建立信心。以下問題是要你找出前二十個奇數的總和。
透過檢視問題，你會發現第二十個奇數是 39。因此，我們希望找出 1＋3＋5＋7＋⋯＋33＋35＋37＋39。你的第一個反應可能是從1到39確實將它們一一相加。然而，這個方法既累人又耗時，還有無數個出錯的機會。
如同在前面章節所提到的，當你的解題經驗增加時，你解題的信心也會增加。破解這道題目的一個方法是依循稍早提到的高斯法，也就是將二十個奇數按 1, 3, 5, 7, 9, ⋯ , 33, 35, 37,39 這樣列出。現在，注意到第一個數字和第二十個數字的總和是 39＋1＝40，第二個數字和第十九個數字的和也是 40（37＋3），以此類推。接著，只需要判斷要將幾個 40 相加；既然我們考慮的是二十個數字，所以會有十組，我們接著以 10×40＝400 得出了答案。經驗這個意想不到的技巧，會讓你增加更多自信。

發展你的興趣
信心始於對一個主題感興趣。儘管有些人認為直接且自信地跳進一個新主題並不困難（這類人很可能沒有對失敗的恐懼，這個主題稍後會提到），但許多人需要某種程度的專門知識才會對自己的能力產生信心。透過閱讀本書，你已經踏出發展你興趣的第一步！
想一想生命中那些讓你感興趣的事物，像是某些嗜好、活動或主題。你生命中的優先事項及興趣，很可能伴隨著某種目的及意義。你每天慢跑，可能是因為考量到跟健康相關的優點。又可能你很享受編織，是因為你可以把這些自製品送給你的愛人。你可能是歷史狂、喜歡閱讀古書來學習與過去相關的事物，是因為你相信「歷史會重覆」。每個人都在自己認為具有意義的活動中展現出興趣。
當我們覺得某件事「無聊」，部分原因是因為我們沒看見任何附屬於它的意義或目的。我們可能嘗試過這件事，但沒有得到我們想要的結果。如果你的問題是後者，那麼希望本書能協助你建立成為強大解題者的基礎，這樣一來，你便可以有效率且準確地去解決數學及日常生活問題。如果你在與前者奮鬥，請繼續讀下去，這能幫助你找到數學以及解決問題的意義。
要改善我們的數學及解題技巧，重點在於先去理解在生活中擴大自己技能的重要性及目的。如前言所提到的，解決問題這件事滲透在我們生活的每個領域當中。想想你的日常活動及你每天面對的問題，對你來說，你生活中的哪個問題是最難解決的？如果你對自己解決這些問題的能力具有信心，這樣不是很好嗎？列一張清單，詳載若能擴展你的解決問題能力，將會如何影響你的生活？這會有所幫助。下列範例清單可供你參考。當中有幾點可能可以應用在你身上。

增加我的解決問題技巧會如何影響我的生活？
．我能更快速也更準確地解決問題，這能夠節省我的時間。
． 解決工作中遇到的問題會更有效率也更準確，這能增加我的生產力以及／或升職。
．我會更有自信。
．我會更不依賴他人的幫助。
．我會更獨立。
．當我無法立即知道答案時，我能更有自信地面對問題。

寫完清單後，試著想像自己作為一個更有效且更有效率解題者的生活。試想這對你的生活帶來的正面影響。透過記錄出現在你生命中的問題以及你能解出它的輕鬆程度，來激勵自己改進你的解題能力。這能幫助你訂下目標或截止期限，來設定自己想要何時完成技能提升。一旦你的目標設定好了，就是起而行的時候了！
採取主動步驟來發展興趣，其中一個方式是去觀看其他人解決問題的方法。你可以閱讀解題相關的書籍（像本書）、觀看線上影片，以及與在這個領域經驗豐富的人聊聊。不同的人在概念上各有觀點，並以不同困難度來分享它們。接觸到的解題策略越多，會讓人對於所聽見及所使用的相關詞彙，以及對於自己獨自解題的能力信心大增。
最後，發展興趣的最佳方式，是要讓這件事變得有趣。想出一些能讓你覺得解題很有趣的方法。下面有個你可能會遇到的情況。假設你在籌辦一場籃球錦標賽，但只借到了一個體育館。讓我們假定將有二十五支隊伍在單淘汰賽中一較高下，只要輸一場就會失去晉級資格。現在問題是，要得出冠軍隊伍，得要進行幾場比賽？典型的模擬方式是首先十二支隊伍對上另十二支隊伍，然後在第一輪淘汰掉十二支隊伍。接著進行第二輪比賽，讓這個程序持續進行，如此將每一輪的比賽數加總起來，最後決定得到冠軍隊伍共需要幾場比賽。圖4.1 就是一張計算比賽場數直至得出贏家的示範流程圖。
雖然這個方式很管用，但若從另一個角度來檢視這個題目則會容易許多。讓我們試想在二十五支隊伍中要得出一個冠軍隊伍需要多少輸家？很明顯地，需要二十四支輸家。嗯，二十四支輸家表示需要二十四場比賽。你的答案出來了。你可以看到，有時候從這個角度來檢視問題，既能有所回報又能節省時間。
將數學及解題方法應用到你有興趣的領域上看看。每個興趣或活動在某個時刻都有必須解決的問題。在體育活動上，使用不同角度及速度踢球或丟球，可能會更有效益；團體運動通常會面臨該如何有效率地傳球或是從敵隊手中截球的問題。在工藝及室內設計領域，精準的測量與組織技巧通常至關重要。當你可以把解決問題的能力運用到你所珍愛的領域時，解題就會變得更愉快有趣。

第四章
不感興趣與焦慮 vs. 動機與信心
如前所述，有許多心理因素會影響一個人有效且有效率地解題的能力。在前言中列出來的大多數因素（像是集中的專注力與計畫）牽涉到複合的心智歷程；你可能已經擁有這許多心智元素，卻仍在解題上遇到困難。你可能會想，還有什麼因素在阻礙你？這就是何以我們現在要討論的原因—在阻礙我們解題能力上有一個重要的因素，那就是焦慮。
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推薦文01
問題來時，你可知道自己的思考途徑是什麼？
蔡宇哲(高雄醫學大學心理學系助理教授)

解題這件事並不只是在考試或是工作上，生活中可是到處充滿著這類事件，從聚會邀約在哪個餐廳吃飯，到生病了該去找哪個醫師或診所，這都是一個生活中的問題解決。
之前有次眼睛不舒服，於是上網搜尋家裡附近的眼科診所。透過Google很快可以找到有哪些以及關於這些診所的評價。原本選定了一間離家近、評價也高的診所，但當我點進一看，發現有則留言描述他所遭遇的不佳經驗。雖然其他留言多半是正面的，整體評價分數也高，似乎沒什麼好挑惕的，但我依然為了這則負面留言而猶豫不決，甚至起了改換別間的念頭。
面對問題的思考方法說來簡單，但其實有很複雜的心理歷程，特別是人們無意識的那些認知偏誤，都會影響到最終的解決方案。其中之一就是上段所描述的，人們很容易受到少數個案經驗而影響，而不論科學數據是好是壞。畢竟他人的經驗好壞是不需要思考就可以理解，而統計數據卻是需要後天學習才能瞭解當中的涵義。這違反理性的決策方式，正是每個人都會遇到的情況。
在2021年春節期間，網路出現一個科學傳播的爭議事件。一位擁有大聲量的Youtuber根據自己的體驗及少數專家的建議，向大眾說明了某個飲食療法的好處。然而這卻引來一位醫師引經據典地反駁，說明這療法根本是無稽之談，不該向大眾推薦。雙方網路交鋒，支持者也各持己見互不相讓，事件最終在其中一方認錯後落幕。這類事件不是第一次發生，更不會是最後一次，相反地日後會越來越常發生。
在資訊越來越發達、知識越來越多的社會，人們看似應該越來越理性才對。但由於我們並無法接收與理解如此龐大的資訊，因此很難知道自己所獲得的資訊是對是錯。很多人面對問題的第一步，通常是像我一樣上網Google，或者是尋找專家的意見。這些方法並沒有錯，而有些人做了之所以會發生錯的結果，多半是忽略了自己的立場會造成確認偏誤，以至於都只看符合自己觀點的資料，而忽略了反對面的資訊。我常提醒自己，確保盡量不犯錯的方式，是一直提醒自己可能會犯錯，要常懷疑所獲得的資訊，特別是那些跟我立場相同的資訊。
這本「書名」雖然有提到數學這讓多數人害怕的知識，但內容主要並不是談數學，應該說數學就是一種問題解決的最基本型態。在閱讀的同時，而是問題解決的心理歷程，我也在思索自己面對問題的思考與解決途徑，因此讀起來很慢，但卻也因此沉浸在解題的思考歷程裡，獲得有別於閱讀一般科普書籍的樂趣。
在這個資訊爆炸的年代，每個人都該多瞭解自己解題時的思考策略，才能知道在什麼情況下要去避免大腦內建的捷徑思考方式，才能真正獲得最佳的處理方案。

推薦文02

每一次解題都是單獨一次的探險
游森棚（國立台灣師範大學數學系教授）

數學的能力包含許多面向，但實際上的測試卻常常以解題能力來當作唯一的指標。底下舉兩個學生階段的光譜兩端案例。
光譜一端是國中會考或是大學考試中心的學科能力測驗。這些問題帶有鑑別考生解題能力的任務，在解題光譜上是屬於需要思考、但並非遙不可及的問題。也就是說，解答的線頭不會埋得太深，常常有固定的程序，並且解答經由訓練（平常的努力）可以熟練或聯想而得。
光譜另一端是數學競賽或數學研究。比如每個國家選六位學生參加的國際數學奧林匹亞競賽，這個競賽只有六題，每一題平均可以作答一個半小時。每一年最難的一道問題，通常全世界的菁英選手只有個位數的強者能答對。我擔任教練多年，常常著迷於這些選手可以苦思數個小時毫無進展，而突然靈機一動的那個瞬間。更極端的數學研究 如果也視為一個規模宏大的解題過程，則常常需要歷時數個月乃至數年的辛勤工作。在這個漫漫過程中，大腦迴路如何連結，解題歷程如何進行，以心理學角度來看真是極大的神秘。
解題過程中實際上牽涉到複雜的一系列心智交互作用：這包含了理解問題、分析已知與未知、觀察與試驗、擬定與施行策略，以及嘗試與反覆修正，才能慢慢接近目標，最後再進行解題回顧。步驟整理起來看似簡單，實際上每一次的解題都像是單獨的一次探險，簡單的問題是輕鬆的旅程，複雜困難的問題像是攀越高山。而探險的過程又非常個人化：不同的人面對同一個問題，採取的解題模式可能完全不同。而且，每一階段還牽涉到當下的心理狀態，畏懼、信心、焦慮、動機、經驗等等，這些難以量化的因素又和解題能力糾纏不清。
所以，解題的心路歷程到底是怎麼一回事？解題的能力能學嗎？能夠改進嗎？有什麼誤區該避免嗎？怎麼克服焦慮，怎麼集中注意力，有沒有什麼思考策略或解題架構可以依循？
讀者手上的這本書，是一位數學教育工作者與三位心理學家的合著。這本書以心理學角度與高度討論了「數學解題」這件事，試圖討論與解答上述的問題。書中第一章先介紹了解題的歷史。第二章討論我們如何採取策略。第三章討論解題時做決定的影響因素。第四章討論心理層面，諸如焦慮與動機對解題的影響。第五章討論注意力集中的問題。第六章討論直覺與深思在解題中的重要性。
數學這個科目可能是大多數臺灣學生求學生涯中最大的門檻。造成這個結果的原因是多層面的：數學本身一步推一步不容妥協的嚴密性、一層一層疊加上去的概念、精確性，以及獨特的符號與語言。然而，數學訓練的推理能力以及解數學問題所需的解題能力，又是現代社會中面臨諸多決策所不可或缺的基本能力。欣見這本書的出版，讓讀者得以一窺「數學解題」這個神秘能力的心理層面。我相信讀者必定像我一樣，在這本書中得到許多啟發與印證。如同書序所言，這本書讓讀者看見對解題能力造成負面影響的許多認知程序，也提供了可行的嶄新思考方式來克服這些問題。透過練習，讀者有機會成為更好也更有效率的問題解題者。

推薦文03
解題原來這麼有事！
北一女中數學教師 蘇俊鴻

身為高中數學老師多年，每當考完試後總有學生前來「申訴」，大都離不開下列三種情況：

情況一：考前我都把題目做得滾瓜爛熟了，考試時還是有很多題目不會。
情況二：考卷一發下來，我就開始焦慮，很多題目就不知道怎麼做。等到結束鈴響，再看題目時，我都會做了。
情況三：題目我都會做，可是常常看錯數據或是計算錯誤。

上述這些問題，本書作者從心理學的理論為我們提供解釋，並且提出改善方案。比方說情況一，透過範例教學演練相同系列的問題，是為了讓學生掌握概念、習得技巧，從而進入長期記憶，成為特定解題程序（演算法），是發展解題策略的有效方法。然而，反覆大量的機械練習，忽略概念理解，卻可能阻礙學生看到解決新問題的明顯線索，提出新的解題策略，這在心理學上稱為定勢效應。因此，如何避免心理定勢的產生，就是教與學時要考慮的課題。
又或者情況二，考試時焦慮是影響成績表現的最大心理因素。通常總是鼓勵學生考試不要害怕、要有信心。那麼，該如何培養信心呢？這就是我的困擾所在。作者告訴我們信心不僅是「這個我做得到」的態度，其中還包括「理解題目和變因，以客觀開放的心態處理問題，以及感覺準備充足並感覺自己能處理問題。或許，信心最大的指標是一個人面對失敗的能力。」要如何培養面對問題的信心，第四章有可操作的練習題指引，有興趣的讀者不妨一試。
至於情況三，如何培養專注力，就請各位參閱第五章的內容吧！
事實上，解題活動不只發生在數學場域。我們每天日常都要解決許多問題，且解題能力的優劣表現影響了我們的生活。作者認為，心理因素是影響解題能力的關鍵之一，並且「解決數學問題的技巧與解決日常問題的技巧，兩者以同樣方式發展。」然而，「許多人認為數學天分是一種『天生能力』，因此假想自己永遠無法改進這個技能及解決問題能力。」書中透過心理學的理論說明，配合生活實例與數學範例的演示，告訴我們只要理解原因、透過練習，總是有可能改進數學或解決問題的能力，這正是《解題背後的心理學》一書值得推薦的原因。

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之前有次眼睛不舒服，於是上網搜尋家裡附近的眼科診所。透過Google很快可以找到有哪些以及關於這些診所的評價。原本選定了一間離家近、評價也高的診所，但當我點進一看，發現有則留言描述他所遭遇的不佳經驗。雖然其他留言多半是正面的，整體評價分數也高，似乎沒什麼好挑惕的...

寫在前面
導言
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第一章 解題簡史
根據心理學家的觀點，解題是一種尋找問題每一面向彼此之間關聯、以達到結構性理解的過程；換言之，去理解問題的各個部分如何彼此連接，就有可能以新方式重新整理問題的各個元素。

第二章 探索問題空間：解題策略
那些不想解題的學生，反應的可能是過去失敗的歷史或被人評價的焦慮感，因此閃避了問題。他們不是敗在解題上，因為他們甚至連一試也不願意。那些願意面對問題的學生，則不受失敗或被人評價所威脅，對於犯錯有更大的耐受力。

第三章 判斷、推理及決定
我們通常把共變想成是依因果關係做出判斷。然而共變並不足以建立因果關係，因此使用時要小心。教育會導致更高薪的工作嗎？早餐吃得好會讓你一整天感覺更好嗎？這些來自共變的因果關係幻覺很容易被人誤信。

第四章 不感興趣及焦慮vs 動機與信心
許多人與數學焦慮搏鬥而影響了他們的表現。雖然數學焦慮源於不理解眼前的素材，卻也因為人們想要「擅長數學」所承受的巨大壓力而生。

第五章 不專心及健忘 vs 注意力專注及工作記憶
當我們分心時，我們會跟不上已建立起的資訊，因此很難流暢地繼續這項任務。持續分心，會造成你需要重覆開始同一項任務，因為在回想問題目標、變量及已有成果上，你都會遭遇困難。

第六章 順向思考及倒向問題思考：直覺式想法與深思熟慮式想法
直覺給予我們一個簡化過的粗糙分析，創造出我們所知比正常量還多的幻覺。但當我們深思熟慮後，我們就會開始欣賞事物的複雜，並體會學海無涯。

關於作者

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第一章 解題簡史
根據心理學家的觀點，解題是一種尋找問題每一面向彼此之間關聯、以達到結構性理解的過程；換言之，去理解問題的各個部分如何彼此連接，就有可能以新方式重新整理問題的各個元素。

第二章 探索問題空間：解題策略
那些不想解題的學生，反應的可能是過去失敗的歷史或被人評價的焦慮感，因此閃避了問題。他們不是敗在解題上，因為他們甚至連一試也不願意。那些願意面對問題的學生，則不受失敗或被人評價所威脅，對於犯錯有更大的耐受力。

第三章 判斷、推理及決定
我們通常把共變想...