數學實用定理

序章 認識基礎的定理和猜想

數學的定理究竟有何意義？
從公理或定義推導出來，並證明為真的陳述，就是「定理」。而定理的特徵，在於可做為證明數學表達式的依據，或做為思考數學問題的基礎根底。因此，容易使用、容易應用，便是定理很重要的條件。
另一方面，「證明定理」這件事本身，有時就是數學家追求的最終結果。
換言之，以數學性的思考來說，定理就是終極目標。因此，定理往往必須是優美的。
當我們在認識定理時，也會看到「○○猜想」這樣的詞彙。這指的是數學領域中存在的幾個「○○猜想」。○○是人名，表示這是由○○提出的猜想，但尚未獲得證明。一旦猜想被證明後，才能稱為定理。
比較知名的猜想，有「哥德巴赫猜想」及「費馬猜想」。代表這是分別由哥德巴赫及費馬所提出的猜想，但尚未被證明（費馬猜想已在１９９５年獲得證明）。
命題本身絕對稱不上困難，但要證明卻極具挑戰，因此全世界的數學家們才會耗費數十年的時間，苦苦思索證明的方法。近來，哥德巴赫猜想終於在電腦的計算下，確認猜想幾乎是正確的，但仍然尚未被證明。

活用在日常生活的數學定理
大眾通常只覺得數學定理很難，卻不太清楚這些困難的定理，是如何被應用在我們的日常生活。其實我們在生活中享受到的、許多看似理所當然的事物，很可能都是定理的功勞喔。
舉例來說，大家比較熟悉的「畢達哥拉斯定理」，就經常用在距離的計算上。進階一點，也能用來計算發射衛星到太空的速度。這時，就要計算衛星要以多快的速度移動，才能在平行於地球表面的軌道上穩定運行，既不會遠離也不會墜落。利用畢達哥拉斯定理，就能算出衛星１秒需要飛行幾km。
測量土地時，可以使用正弦定理；若是２地點之間存在障礙物，則可以使用餘弦定理來測量。當我們想知道Ａ、Ｂ這２個地點之間的距離時，中間可能有建築物或山川等障礙物，因此無法直接測量。此時就可以選擇一個無障礙物的地點Ｃ，畫出三角形，就能利用餘弦定理求出想測量的距離。
手機是現代生活中不可或缺的工具，而手機的通訊系統中，為了不讓頻率相同的電波相互干擾，相鄰地區必須以不同的顏色劃分區隔，以避免設置電波頻率相同的基地台。這樣的區塊配置，便是應用了４色定理。

數學小故事(1)
持續翻倍的結果，最終成為驚人的數字
豐臣秀吉想獎勵有功的家臣曾呂利新左衛門，便向本人詢問：「給你選擇自己的獎賞，想要什麼就說說吧？」
新左衛門沉思一番，回答：「這個大房間裡鋪了100張榻榻米，請您在第一張榻榻米上給我1粒米，下一張給我2粒米，再下一張給我4粒米，如此成倍增加，直到這個房間內的所有榻榻米上都有米粒為止。」
「要把１俵的米放在１張榻榻米上確實是滿難的，不過你只要這些就夠了嗎？」
秀吉笑著問。他的想法是：「100張榻榻米，從１粒米開始算，總數充其量也不過是米俵的10～30俵左右吧。」
然而，他命一位家臣試算後，發現第5張、第6張……到第8張左右時，雖然總計只有一把米（256粒）的量，但超過30張榻榻米後，數量便會急遽增加，換算成米俵就是將近２千俵了。對秀吉來說，這倒還不是多大的數目，但到了一百張榻榻米時，又會變成多麼可怕的數字？實際計算，來到一百張榻榻米時，米的總量會多達525,000,000,000,000,000,000,000,000,000俵，不用說全日本，就算把從古至今全人類種植的米全部收集起來，也達不到這個數字。
無法給出這麼大量的米，秀吉只好跟新左衛門道歉了。從這則軼事中，可以了解翻倍的算法確實非常驚人。另外，在《塵劫記》（1627年由吉田光由著作的數學書）中，也有這樣的故事：「正月時，老鼠夫婦生了12隻幼鼠；2月時，這14隻老鼠又兩兩成對，繼續生下幼鼠。此時，老鼠家庭共有98隻。以這樣的節奏每個月繼續增加子嗣，到了12月時，總共有幾隻老鼠？」答案是276億8257萬4402隻。

專欄(1)　歐幾里得（公元前330年～公元前275年）
我們在學校學到的幾何學，就是「歐幾里得幾何學」。身為一位數學家，歐幾里得堪稱是希臘數學的代名詞。
歐幾里得將數學系統化，整理成著作《幾何原本》。2000多年來，《幾何原本》是繼《聖經》後最暢銷的書籍，被傳承、閱讀至今。不過，對於歐幾里得這個人，我們卻所知甚少。
歐幾里得在柏拉圖開設的學院中建立了數學的基礎，並以其所學為本，撰寫了幾何學的教科書《幾何原本》。《幾何原本》中包括五個公理與五個公設，歐幾里得以此書為古希臘國王托勒密一世（BC367-BC283）教授幾何學時，國王向他詢問：「除了《幾何原本》之外，難道沒有其他學習幾何學的方法嗎？」
對此，歐幾里得這樣回答：「幾何學的路上，不存在王道。」即便是王者之尊，也必須服膺「學問之路無王道」的道理。
據說又有一次，一位青年向歐幾里得學習幾何學時，問道：「學這麼困難的東西，可以得到什麼回報嗎？」歐幾里得隨即將僕人招來，指示他「拿錢給這位青年。因為他似乎認為，學習就是得獲得一些回報才行……」。

第５章 活用數學定理解決問題

用畢達哥拉斯定理解決問題(1)
公園裡有一座半徑20ｍ的池塘，池塘裡有一座小島，島上種了一棵松樹。
某天，１隻翅膀受傷流血的鳥停在松樹下休息，路過的一群學生看到了，便決定要把鳥從島上救出來，以便為牠處理傷口。
附近可取得的物品，只有2片長4.9ｍ的厚木板，而池塘的半徑達20ｍ，無法從池邊把木板架到小島上。
不過一陣子後，鳥還是順利被學生們救了出來。那麼，他們究竟是如何利用這2片木板的呢？即使是距離小島最近的池邊，也有5ｍ遠，該如何解決這個難題？
（方法請見下頁）

休息一下〜超有趣的數學小故事
天才也會掉進陷阱？
泰利斯透過提出「泰利斯定理」和證明圖形的特性，建立了幾何學的基礎，準確預測日食的事蹟也很有名。據說，泰利斯曾經因為太過沉醉於觀察天體的神祕，而不小心失足跌入井裡。一位目擊此景的色雷斯少女，忍不住笑著調侃：「雖然你了解困難的天體問題，卻看不到腳邊的東西呢！」

第6章 日常生活與數學

被偷走的鳥兒有幾隻？
美加是個很喜歡鳥的女孩，經常到山裡賞鳥，不過她最大的樂趣，還是照顧自己飼養的300隻鳥。
某天，專偷鳥的小偷闖了進來，偷走好幾隻特別昂貴的鳥。美加慌忙地向警局報案。
「我的寶貝鳥兒被偷了！」
「請填寫這個受理案件登記表。」
「被偷走的應該有將近200隻。」
「麻煩詳細說明，是哪一種鳥被偷走幾隻？」
「被偷走的鳥中，1/3來自非洲、1/4來自南美、1/5來自澳洲、1/7來自東南亞，還有1/9來自中國。」
由於美加太緊張了，不小心弄錯了其中一項的數字。
被偷走的鳥兒，共有幾隻呢？
（計算方法請見下頁）

數學豆知識
牛頓在數學領域留下了偉大的建樹，但他其實也是一個非常奇妙的人。據說在他擔任造幣局局長的期間，只有笑過2次而已。

數學豆知識
「0（zero）」這個數字，大約1500年前在印度被發現，到了中世紀才流傳到歐洲。「0」的發現導出了10進位制，自然科學也因此獲得快速的進步。

序章 認識基礎的定理和猜想

數學的定理究竟有何意義？
從公理或定義推導出來，並證明為真的陳述，就是「定理」。而定理的特徵，在於可做為證明數學表達式的依據，或做為思考數學問題的基礎根底。因此，容易使用、容易應用，便是定理很重要的條件。
另一方面，「證明定理」這件事本身，有時就是數學家追求的最終結果。
換言之，以數學性的思考來說，定理就是終極目標。因此，定理往往必須是優美的。
當我們在認識定理時，也會看到「○○猜想」這樣的詞彙。這指的是數學領域中存在的幾個「○○猜想」。○○是人名，表示這是由○○提...

數學正流行！不只在日本，歐美與世界各國都已意識到學習數學的重要性。
在OECD的教育研究與創新中心裡，進行著包括數學在內各類學科的研究。OECD的全名是經濟合作暨發展組織，自2000年推出國際性的學習力調查PISA後，在日本便一躍成為高知名度的國際組織。PISA是Programme for International Student Assessment的縮寫，譯為「國際學生能力評量計劃」。以OECD會員國的15歲學生為調查目標，內容涵蓋數學、閱讀和科學三大領域。特色是包含跨學科的情境式題目，有光靠死背也無法應付的題目。題目除了涉及社會和日常生活，甚至也有必須以敘述文形式回答的數學題。由於大量著重學生的答題過程及思路，PISA的數學評量成為受矚目的焦點，甚至可說是因此改變了日本中小學生的數學教科書也不為過。教科書一旦改變，國高中的入學考試問題自然也會跟著調整。對於現在三、四十歲的家長來說，數學的學習方法與內容，已經和他們求學時代大不相同了。
更別忘了，從2020年起，高中小學將依序更換新版教科書，對算術、數學的思考方式也不同於以往。新版教材將更注重同學間的共同討論與嘗試，不單單是機械式計算後獲得答案，而是要求學生能理解中間的過程，以及為什麼會得出這樣的答案。學界已知，這種學習方式可以培養理論性思考，提高解決問題的能力。
意識到ICT（Information & Communication Technology）時代的來臨，未來的孩子從小學就會開始學習程式設計。課程目的並不是成為工程師，而是要讓孩子挖掘問題的解決方法。能夠解決眼前的問題，應是生活在世上很重要的一項能力吧！
從國中開始，數學課就會出現各種定理。知道畢達哥拉斯定理嗎？除此之外，還記得自己證明過這個定理嗎？確認（檢驗）自己了解後進而證明，各位應該都經歷過這個過程才是。本書的主題正是「數學的定理」。十幾年前，曾有很多人認為數學是「大腦的鍛鍊」對吧？和程式設計相同，數學也是為了培養理論性思考的學科。如今多虧了OECD和PISA的提倡，世界各國開始關注數學的學習，其中又以使用定理進行證明的方式尤受矚目。
現在的時代，生活在混沌的社會裡，「數學定理」派上用場的機會愈來愈多了。除了一小部分的愛好者外，「數學定理」一定也能替許多人增加「生存的能力」。若能好好感受近在你我身邊的數學，並將這樣的思考方式融入生活中，想必能為各位拓展出一片新的世界。

數學正流行！不只在日本，歐美與世界各國都已意識到學習數學的重要性。
在OECD的教育研究與創新中心裡，進行著包括數學在內各類學科的研究。OECD的全名是經濟合作暨發展組織，自2000年推出國際性的學習力調查PISA後，在日本便一躍成為高知名度的國際組織。PISA是Programme for International Student Assessment的縮寫，譯為「國際學生能力評量計劃」。以OECD會員國的15歲學生為調查目標，內容涵蓋數學、閱讀和科學三大領域。特色是包含跨學科的情境式題目，有光靠死背也無法應付的題目。題目除了涉及社會和日常生活，甚至也有必須以敘述...

前言

序章 認識基礎的定理和猜想
數學的定理究竟有何意義？
畢達哥拉斯定理和費馬最後定理是什麼？
初步認識定理之王—畢達哥拉斯定理
活用在日常生活的數學定理
數學小故事(1)
專欄(1) 歐幾里得

第1章 耳熟能詳的數學定理
畢達哥拉斯定理與三角函數
正弦定理的意義及活用方法
餘弦定理的意義及活用方法
泰利斯定理的意義及活用方法
數學小故事(2)
專欄(2) 卡爾．弗里德里希．高斯

第2章 融入日常生活的數學定理
認識4色定理的實用性
探討4色定理的發展
足球非球，而是多面體？
六邊形的蜂巢是有其道理的
從晴空塔上可以看到多遠？
正多面體的性質與歐拉的多面體定理
數學小故事(3)
專欄(3) 柏拉圖

第3章 學校學過的數學定理
畢達哥拉斯定理
西瓦定理
孟氏定理
托勒密定理
月牙定理
弦切角定理
三角形重心定理的應用
切割線定理
中點定理
西姆松定理
數學小故事(4)
專欄(4) 萊昂哈德．歐拉

第４章 知道後會很有益的數學定理
認識基礎的二項式定理
費氏數列擁有不可思議的力量
費氏數列會逐漸趨近於黃金比例
認識基礎的餘式定理和因式定理
擁有奇妙涵義的質數的基本定理
認識基礎的三角形五心定理
認識基礎的微積分學
什麼是阿基米德的「窮盡法」？
認識基礎的皮克定理
認識基礎的阿貝爾定理
數學小故事(5)
專欄(5) 費波那契

第5章 活用數學定理解決問題
用畢達哥拉斯定理解決問題1
用畢達哥拉斯定理解決問題2
用多面體定理解決問題
用圓周角定理解決問題
用獨立試驗的定理解決問題1
用獨立試驗的定理解決問題2
數學小故事(6)
專欄(6) 阿基米德

第6章 日常生活與數學
被偷走的鳥兒有幾隻？
什麼是卡瓦列里原理？
來挑戰很容易算錯的平均時速吧
研究代數的丟番圖
簡單來說，究竟什麼是微積分？
稍微進階的數學問題
將17隻驢子依父親遺言分給3個人
「莫比烏斯環」究竟是什麼環？
在限制的條件下找出偽幣
你能看穿這個陷阱嗎？
數學小故事(7)
數學小故事(8)
專欄(7) 艾薩克．牛頓

前言

序章 認識基礎的定理和猜想
數學的定理究竟有何意義？
畢達哥拉斯定理和費馬最後定理是什麼？
初步認識定理之王—畢達哥拉斯定理
活用在日常生活的數學定理
數學小故事(1)
專欄(1) 歐幾里得

第1章 耳熟能詳的數學定理
畢達哥拉斯定理與三角函數
正弦定理的意義及活用方法
餘弦定理的意義及活用方法
泰利斯定理的意義及活用方法
數學小故事(2)
專欄(2) 卡爾．弗里德里希．高斯

第2章 融入日常生活的數學定理
認識4色定理的實用性
探討4色定理的發展
足球非球，而是多面體？
六邊形的蜂巢是有其道理的
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