有趣到令人 捨不得睡的數學

同班同學中，同一天生日的機率

機率是什麼東西？

在新生入學時，或是新的學期換班級的時候，因為周圍全都是陌生的臉孔而緊張不已，大家應該都曾經有過這樣的經驗吧？

在尷尬不自然的對話中，與新認識的朋友確認彼此的生日當成話題切入點的那種心情，長大後的現在仍然讓人懷念不已。而當找人說話時，發現新朋友跟自己同一天生日，兩個人都會嚇一跳對吧？因為大家心裡都會想著「這麼少見的事竟然發生了！」

表示偶發事件難易度的就是稱為「機率」的數。常常發生就是「機率很高」，幾乎不常發生就是「機率很低」。

一定會發生的事就是「機率1」（100%），完全不會發生的事就是「機率0」（0%）。如果氣象預報說「下雨機率」有「80%」，大部分的人都會帶傘出門，但如果說是「30%」，要不要帶傘出門也許就讓人困擾了。

◆ 同班中至少有一組人同一天生日的機率求法

同班中至少有一組人同一天生日的機率=1－所有人都不同生日的機率

計算同一天生日的機率

那麼，我們就以一年365天中不偏不倚地在同一天生日為前提，來計算一下「同班中有同一天生日的人的機率」吧！

首先，要先求出所有人都不同生日的機率。

第二個人要跟第一個人不同生日的機率是365分之364。第三個人要跟前面兩個人不同生日的機率是365分之363。

◆ 同班中所有人的生日都不一樣的機率是？

第2人與第1人不同生日的機率=364/365 1/365→機率變低了

第3人與前2人不同生日的機率=363/365

第23人與前22人不同生日的機率=343/365

所有人生日都不同的機率=364/365×363/365×…×343/365=0.4927…

如果這個班級有23人，那麼第23人與前面其他22人生日都不同的機率就是365分之343。

那麼所有人的生日都不一樣的機率，就是把各自的機率相乘後計算出來的「364/365×363/365×……343/365=0.4927……」

反過來想，「同班中至少有一組人相同生日的機率」就是「1－0.4927=0.5073」。這可是超過了五成呢！

假設一個學年中有4個23個人的班級，就意謂著其中的五成，也就是在2個班級中會有人是同一天生日。

如果班級人數增加，那麼「同班中至少有一組人相同生日的機率」也會提高。

◆ 同班中至少有一組人生日同一天的機率是？

1－0.4927＝0.5073

約50.7%就代表著……

在2個班級中會有1組人的生日是相同的！

這樣的話，實際上會提高到多少機率呢？我們再用同樣的方法來計算看看。

如果班級人數超過35人，機率就會超過八成，那麼同樣生日的人在同一個班級的這件事，就一點都不稀罕了。

要是班級中有57個人，這個機率就會提高到99%。

數學領域中高機率是會發生的

小時候，對於「同班中誰跟誰同一天生日的這件事」，總是覺得有種特別的、罕見的神祕感。

◆ 班級人數增加的話……

*35人的情況

所有人生日都不一樣的機率

同班中至少有一組人同一天生日的機率

◆ 同班中至少有一組人同一天生日的機率

班級人數（人） 25 28 30 33 35 38 40 57

機率 57% 65% 71% 77% 81% 86% 89% 99%

但是，以數學觀點來看，其實這件事因為機率很高所以「是會發生的」。每次想起當時天真無邪的驚訝，總是讓我泛起懷念的微笑。

暗藏在電子計算機中的「2220」神祕事件

為什麼答案是「2220」？

其實電子計算機中暗藏著許多有趣的計算。為各位介紹其中之一。請各位先在手邊準備好電子計算機。

計算機的數字鍵是從「1」開始以反時鐘方向順序排列出「2、3、6、9、8、7、4」。我們現在把以這個順序排列出來的三個數字當成三位數，然後組成四個數字。從「1」開始再回到「1」的四組數字加起來，也就是「123+369+987+741」。

於是，算出答案就是「2020」。

那麼接下來我們用同樣的方法，把從「2」開始再回到「2」的四組數字加起來。也就是「236+698+874+412=2020」，答案還是「2020」。

◆轉一圈的加法

請各位以同樣方法算算看各自從「3」「6」「9」「8」「7」「4」開始的加法結果。有趣的是，答案都是「2020」。

接下來，我們把角落的數字（1、3、9、7）各自按押三次（也就是組成三位數）後，再加起來看看。「111+333+999+777」。結果依然是「2020」。

再試試看把各邊中間的數（2、6、8、4）組成三位數後相加。「222+666+888+444」。結果還是「2020」。

◆用各種模式去計算加法……

那麼，如果把對角線的三個數字組成三位數後的四組數字相加的話呢？「159+357+951+753=2020」。又是「2020」。

最後，我們把十字位置的三個數字做成三位數後的四組數字相加。「258+654+852+456=2020」。答案竟然還是「2020」。

請各位讀者把計算機放在一隻手上做「轉一圈的加法」，然後再各自把「角落」、「各邊正中間」、「對角線」、「十字」的加法都計算看看。然後在紙上寫下算式，確認加法的正確性。

到底為什麼所有的加法算出來的答案都是「2020」呢？——讓我們回頭看看寫在紙上的算式，解開這個謎題吧！

◆仔細看看計算會發現……

用手計算後解開「2020」謎題

先來看看「轉一圈的加法」。電子計算機的數字鍵是從「1」開始以反時鐘方向順序排列出「2、3、6、9、8、7、4」。我們以同樣方法再去計算各自從「2、3、6、9、8、7、4」開始的加法。現在請仔細看看這八組計算。

無論是哪一組計算，答案都是「2020」。再者，即使出現的順序並不相同，也可以清楚看出來將「123、369、987、741」相加，與「236、698、874、412」相加，可以分為兩個種類。

◆仔細把算式看成縱向的話……

接下來，我們把其他四種加法也寫在紙上，分別是以數字鍵四個角落的數字 各自組合而成的三位數加起來的「角落」。以各邊正中間的四個數字組合而成的三位數加起來的「各邊正中間」。以並排在對角線的三位數字相加起來的「對角線」。以並排在十字線上的三位數字相加起來的「十字」。

在這裡，請各位仔細看看「轉一圈相加」的兩個種類與之後的四個種類合計共六種計算的縱向數字。

你發現某則法則了嗎？可以很清楚看出來，所有的算式中都是「1、3、9、7之列」與「2、6、8、4之列」以及「5、5、5、5之列」這三種組合出來的。而且，這三種的每一列的合計都是「20」，數值都相等。

換句話說，這六個種類的加法，每一種的「百位數總和是20」、「十位數總和是20」、「個位數總和是20」。把這些數字相加起來就是「20×100+20×10+20×1=2020」。

這就是為什麼這六種類的計算，每一個合計都是「2020」的原因。換言之，雖然乍看之下是不同的「十二種算式的加法」，仔細分類後，就可以理解每一種的總和都會變成「2020」的理由。

把電子計算機翻轉一下

我們已經確認過，使用計算機的數字鍵所組合出來的三位數的加法，不管哪一種的答案都是「2020」。接下來，我將透過在紙上寫下來的算式分類，詳細說明其理由。

用筆算的話，並列在縱向上的數字，每一組都會是「1、3、9、7」「2、6、8、4」「5、5、5、5」這三種組合的其中一種。

那麼，除了上述組合之外，還有答案一樣會是「2020」的加法存在嗎？事實上，只要了解了「加法的祕密」，就可以製作出更多的例子。

這個祕密就是「電子計算機的翻轉」。

首先，從「1～9」的九個數字中選出喜歡的三個數字組合成三位數。要選一樣的數字也沒有關係。此時，請先記住這三個數字鍵的位置以及順序。

然後，把電子計算機順時針翻轉九十度，再選出與剛開始所選的數字同樣位置與順序的三個數字組合成三位數。用同樣方法重複操作後，組合出四組數字，然後把這四組數字相加。

我們以「168」這個數字來試做看看。選出的四組數字分別是「168、384、942、726」，相加後的和是「2020」。以之前所介紹的「角落」與「各邊正中間」的數字等來計算看看，也能以同樣方法得出結果。

◆加法的祕密就是「計算機的翻轉」

那麼，我們以「5」為中心，把這九個數字鍵以順時針方向翻轉九十度看看。事實上，數字會以接下來這個規則陸續出現。「1、3、9、7」是「13971」的順序、「2、6、8、4」是「26842」的順序、「5」則是「55555」的順序。這不就是前述所分類的三個種類組合嗎？

也就是說，根據電子計算機數字鍵最原先的配置，這些加法的答案早就被設定為「2020」。

各位可以用電子計算機再去確認更多的例子。即使祕密全部都解開了，實際上只要一用電子計算機算加法，就會覺得自己誤入了不可思議的數字世界中。

同班同學中，同一天生日的機率

機率是什麼東西？

在新生入學時，或是新的學期換班級的時候，因為周圍全都是陌生的臉孔而緊張不已，大家應該都曾經有過這樣的經驗吧？

在尷尬不自然的對話中，與新認識的朋友確認彼此的生日當成話題切入點的那種心情，長大後的現在仍然讓人懷念不已。而當找人說話時，發現新朋友跟自己同一天生日，兩個人都會嚇一跳對吧？因為大家心裡都會想著「這麼少見的事竟然發生了！」

表示偶發事件難易度的就是稱為「機率」的數。常常發生就是「機率很高」，幾乎不常發生就是「機率很低」。

一定會發生的事就是「...

「裁剪」，就是把紙或是布料切割出某種尺寸，特別是指為了製作縫製衣服，將布料裁切出適合形狀的那些工作。

數學的「裁切問題」，在江戶時代就擁有超高人氣，在其他和算書如《改算紀》或是《和國知惠較》中都曾被刊載。

在「裁切問題」中出現最多次的，就是「把長方形裁切後重新組合出正方形」這個問題。相對來說，把正方形給分割後做出各式各樣形狀的，則是出現在「清少納言智慧板」的剪影謎題中。

江戶時代和算的最大特徵，就是那些吸引一般平民百姓注意且非常有興趣的問題，多數都曾經出版過。這些出版品對問題本身的切入點、配圖品味之優秀，都讓數學逐漸深入民間。這些高品質的數學謎題，讓日本人從小開始就能輕鬆進入數的世界。因此衍生而出的，就是在江戶時代時誕生了許多優秀的數學家。

數學的教科書雖是一種範本，但能去細細品味開展在數學專科書中那些極為抽象的風景，則是需要獨特的想像力。對不熟悉的人來說，數學書非常殺風景，或許在他們腦海裡只會映照出一片黑白照片的世界。

然而，一旦學會利用想像力，景色就會截然不同。腦海中所創造出來的數或是形狀開始活躍，他們的確是栩栩如生的那種充滿躍動感的故事即將展開。發現這種魅力的人們，想必會發現自己回過神來時，早已對「名為數的主角」投入了感情。

本書是介紹「數學的入口」的一本書。

運用智慧型手機的計算。

隱藏在鋼琴音準間的數。

與「超級電腦京」並存的日本的單位。

還有像是找出在同班中同一天生日的人的機率的方法，我將介紹這些在各位生活周遭的數或是圖形。

要珍惜的一點是，請聚焦在那些曾經探究數學的人們身上。因為有他們，才能讓我們開心享受閱讀人類與數學共同編織而成的動人故事，而這也成為「數學的樂趣」之一。

看完本書時，各位讀者也應該能感受到自己心中產生了什麼樣的變化。那個變化，就是感受到存在於我們心中的數與圖形。因為它們內化為我們的一部份，我們也才能逐步聽見那些在我們耳邊喃喃細語的「沉默之聲」。

計算是一種旅行

名為算式的列車

在稱為等號的鐵軌上奔馳著

現在，就讓我們出發尋找那些尚未得見的數或圖形之旅吧！

「裁剪」，就是把紙或是布料切割出某種尺寸，特別是指為了製作縫製衣服，將布料裁切出適合形狀的那些工作。

數學的「裁切問題」，在江戶時代就擁有超高人氣，在其他和算書如《改算紀》或是《和國知惠較》中都曾被刊載。

在「裁切問題」中出現最多次的，就是「把長方形裁切後重新組合出正方形」這個問題。相對來說，把正方形給分割後做出各式各樣形狀的，則是出現在「清少納言智慧板」的剪影謎題中。

江戶時代和算的最大特徵，就是那些吸引一般平民百姓注意且非常有興趣的問題，多數都曾經出版過。這些出版品對問題本身的切入點、配圖品...

審訂序／國立台灣大學數學系教授 蔡聰明
作者序　　
Part I 有趣到讓你捨不得睡的數學
多一秒的一天——如果沒有閏秒
同班同學中，同一天生日的機率
超級電腦京與Peta
目前為止你活了幾秒鐘？
回文數就像鏡子裡的世界
「3」的故事——人類總是追尋著「3」
智慧型手機的幕後功臣是「座標」
奉獻給數的謬思女神的話語
嚇一跳（！）的數——階乘
暗藏在電子計算機中的「2220」神祕事件
印度魔術師拉曼努江
Part II 數學到處是謎題與驚奇
清少納言智慧板與正方形謎題
讓人感動的數學家故事——建部賢弘
電腦VS.電子計算機
利用繩子做出直角！？
用車牌號碼做倍數判定
用「估算」提高效率
PartIII 讓你酥麻的美好數學
金字塔的計算好美
微積分是「頭文字D」
「鋼琴音律」與「收音機整點報時」的共通點
不可思議的那皮爾常數e
質數的夢幻樂園

結語
參考文獻

審訂序／國立台灣大學數學系教授 蔡聰明
作者序　　
Part I 有趣到讓你捨不得睡的數學
多一秒的一天——如果沒有閏秒
同班同學中，同一天生日的機率
超級電腦京與Peta
目前為止你活了幾秒鐘？
回文數就像鏡子裡的世界
「3」的故事——人類總是追尋著「3」
智慧型手機的幕後功臣是「座標」
奉獻給數的謬思女神的話語
嚇一跳（！）的數——階乘
暗藏在電子計算機中的「2220」神祕事件
印度魔術師拉曼努江
Part II 數學到處是謎題與驚奇
清少納言智慧板與正方形謎題
讓人感動的數學家故事——建部賢弘
電腦VS.電子計算...