超有趣到 令人捨不得睡的數學

放屁的味道就算力道只有一半還是很臭？

即使減少了討厭的味道……

我們每天都依靠著感覺過生活。所謂的「五感」，就是視覺、聽覺、味覺、嗅覺與觸覺。事實上在這些感覺之中，存在著法則。我們舉「味道」這個例子來看看。

在緊閉的房間中如果有討厭的味道或是屁味，只要使用消臭劑或是空氣清淨機就至少能減輕一半的味道。然而，我們卻無法感覺到「啊！味道少了一半了！」

我們感覺到的是「幾乎沒什麼改變！」「還是很臭啊！」如果要讓人感覺到「味道少了一半」，其實是必須去除90%的味道才行。

「聲音」也是一樣。我們聽到（感覺到）的昆蟲所發出的聲音，其實與演唱會的巨大音量同等級。仔細想想這一點，其實很有趣。

如果人類可以感知音量的絕對值，那麼昆蟲的聲音因為音量小，感受力應該較小，而演唱會的大音量就會讓感受力變得較大。但實際上並非如此。

無論是較小的音量或是較大的音量，我們的感覺其實是相同的。這是因為我們的感知是相同的，無關音量的大小。

10單位能量的音量要增加多少倍，人類才能感受到音量放大了好幾倍呢？

一般都會認為「因為要讓音量倍增，那麼音量調整到20個單位試試看可不可以分辨得出來？」只不過人類的耳朵並非如此敏銳。要讓人感覺到「音量變成2倍」，實際上必須將音量增加到10倍。「10」單位的音量調整到「100」個單位，我們才能勉勉強強感受到音量增加到了「2倍」。

◆ 費希納將人類的感覺算式化

韋伯－費希納定律

如果把R當成感覺強度，S當成刺激強度，那麼它們之間的公式如下：

R=k log S/S0

S0是把感覺強度歸零的刺激強度（閾值，Sensory threshold，是令對象發生某種變化所需的某種條件的值），K是刺激常數（因感覺而異的數值）

要讓人感受到變成四倍，實際上就必須要是「10*10」也就是能量必須增加到100倍。

人類的感覺能被定量化

真要說起來，人類的感覺不是加法，很明顯地應該是乘法。這就是1860年所提出的「韋伯－費希納定律」，也就是「感覺強度R與刺激強度S的對數成比例」，而這也成為「精神物理學」（又稱心理物理學）的發端。

「精神物理學」是心理學家韋伯（Ernst Heinrich Weber，1795～1878）思考「心理學的世界是否可以定量化表現？」而開始的一門學問。而所謂人的感覺是非常主觀的東西。

但是，如果一切都以「主觀」考量的話，就不能成為一門學問了，就會因此而變成純藝術的世界。心理學家韋伯為了讓人類肉眼無法看見的心情或感覺被定量化，而在1840年代做了各式各樣的研究。

接著在1860年，物理學家費希納（Feichner Gustav Theodora, 1801～1887）成功將這些研究算式化。這不僅成為心理學的起源，同時也被稱為「精神物理學」的法則。

總而言之，我們人類的感覺絕對不是無法控制、毫無章法的東西，是可以被定量化的。依據「韋伯－費希納定律」所感覺到的激烈變化的環境，也就是所感覺到的刺激，實際上是非常美妙且準確的。

人孔蓋為什麼是圓的？

人孔蓋中隱藏著π

馬路上的人孔蓋為什麼是圓的？誰都不會注意到的風景中存在其理由。如果人孔蓋是四角形的話，會變成怎麼樣呢？

如此一來，其對角線的長度會比邊長還要長，只要稍微轉動蓋子，沉重的鐵塊就會掉進洞穴裡，非常危險。

但是，蓋子的形狀如果是「圓形」，不管如何轉動蓋子，都絕對不會掉下去。因為在圓形中沒有其他部分比其直徑還要長。

除此之外，圓滾滾的蓋子容易轉動，在施工中移動時非常方便，而且圓形的外觀也讓人有比較溫柔優雅的印象。無論是機能性或是設計感，圓形都是最適合的形狀，圓形物體也在生活四周默默地支持著我們。



而在這樣的圓形當中所隱藏的數學，就是「圓周率π」。圓周率的定義是圓的周長與直徑的比值。所有的圓形，無論是多大直徑的圓型，都是一定的比值。人類透過測量形狀的作業而發現數學，這個工作從四千年前就已經開始。

大家也一起來動動手吧！

請準備一個紙杯、一把尺、鉛筆與紙張。我們要用這些東西來求出圓周率。舉例來說，我測量了手邊的紙杯口圓周長度，大約是21公分，直徑約是7公分，那麼「21÷7=3」，圓周率大約就是3。

再去測量更大的紙杯，得到差不多是3.1的數值。但是測量紙杯得不到我們從教科書上學習到的圓周率π，約是3.14這樣的數值。

在重要的事物中都隱藏著「圓形」

那麼應該怎麼做才能求得正確的數值呢？自古以來，世人一直都在思考不用測量的方式，而是用「計算」的方式去求得圓周率的方法。在日本，關孝和（10位數）、鐮田俊清（25位數）、建部賢弘（41位數）、松永良弼（50位數）等和算家，早在18世紀的江戶時代就開始競相挑戰計算圓周率。

特別是關孝和的優秀弟子建部賢弘所研究出的方法，因其使用了無窮級數的思考方法，而達到世界級水準的第一級成績，展現出當時的日本可以說是數學大國的事實。

事實上，在重要的事物中都隱藏著「圓形」。

地球、天體運動、日本的錢幣、夫婦圓滿、圓滑……等全部都隱藏著「圓」。與西洋數學相同，日本人對於重要的「圓」的探索追求依然持續不斷。

2002年，東京大學的金田團隊求出了超越前人的一兆位圓周率。「π=3.141592653589793238462643383279……」

無限延續的這個數字的真面目到底是什麼，尚未獲得解答。今後人們也將與「圓」共同生存，繼續挑戰「圓的解謎」。

放屁的味道就算力道只有一半還是很臭？

即使減少了討厭的味道……

我們每天都依靠著感覺過生活。所謂的「五感」，就是視覺、聽覺、味覺、嗅覺與觸覺。事實上在這些感覺之中，存在著法則。我們舉「味道」這個例子來看看。

在緊閉的房間中如果有討厭的味道或是屁味，只要使用消臭劑或是空氣清淨機就至少能減輕一半的味道。然而，我們卻無法感覺到「啊！味道少了一半了！」

我們感覺到的是「幾乎沒什麼改變！」「還是很臭啊！」如果要讓人感覺到「味道少了一半」，其實是必須去除90%的味道才行。

「聲音」也是一樣。我們聽到（感覺到）的...

在數學的領域中，儘管有許多誰都可以輕易理解的問題，但也有許多需要很長時間才能找出解答的問題。小時候，我很喜歡在地圖上塗塗畫畫，沒想到其中竟然隱藏著數學難題。

數學的趣味，就像「四色問題」一樣，隱藏在生活中每個地方。闔上教科書，離開有黑板的教室，你將開始看見越來越多的數學風景。

在√中隱藏著片片散落的櫻花～～～。

因式分解中藏著信用卡——

而「無限」則隱藏在正中央。

在你未曾留意的地方，數學們展現出它們的美好，演奏出和諧的旋律。那簡直就像在曠野中盛開的一朵花那樣的美麗。

人們如果無法親眼看見這些數學們所演繹的優雅舞蹈，與它們所流洩出的美妙和諧旋律，轉瞬間就會成為其俘虜喔！

那些被人們稱為數學家的人正是以上這種人。難道各位不想一窺讓他們渾然忘我且埋首於其中的數學世界嗎？

在數學世界中，有著沒寫在教科書裡的驚奇故事。逐步發現隱藏在身邊風景中的數學，是歷史與數學家們的挑戰。肯定會讓各位興奮不已喔！

這可真說得上是與「有趣到令人捨不得睡的數學」的相遇。

數學家們就是這樣的一群人。不但是晚上常不睡覺，甚至花上自己一輩子的時間也覺得不夠，在把名為「算式」的接力棒交接給後世學者前，持續探險不停歇。

～數學是一種旅行

在名為「相等」的軌道上，名為「算式」的列車奔馳著～

這是我對數學的印象。數學們一直都在等待著。而數學家們則是花了很長的時間抵達它們的所在之處。

各位可以把運算當成列車的旅行。等號（=）正是雙線軌道，而數字或算式因為此軌道而有所結合。在鋪上這個軌道之後，誰都可以由此通過，絕對可以成為不朽，維持永恆的生命。

精選的數學風景鑲嵌在這本書中。我非常喜歡列車旅行。最喜歡一邊感受著窗外吹來的風，一邊欣賞風景。運算之旅的旅行準備，我想只要有珍惜數學的心情就夠了。只要準備好這樣的心情，無論何時何地，身為科學領航者的我都願意帶領各位進行數學之旅。

這個旅行的終點，究竟會在各位的心中映照出怎麼樣的數學風景呢？未知目的地的神祕列車之旅即將啟程。希望我能勝任領航員一職，為各位帶來安全又舒適的旅程。

在數學的領域中，儘管有許多誰都可以輕易理解的問題，但也有許多需要很長時間才能找出解答的問題。小時候，我很喜歡在地圖上塗塗畫畫，沒想到其中竟然隱藏著數學難題。

數學的趣味，就像「四色問題」一樣，隱藏在生活中每個地方。闔上教科書，離開有黑板的教室，你將開始看見越來越多的數學風景。

在√中隱藏著片片散落的櫻花～～～。

因式分解中藏著信用卡——

而「無限」則隱藏在正中央。

在你未曾留意的地方，數學們展現出它們的美好，演奏出和諧的旋律。那簡直就像在曠野中盛開的一朵花那樣的美麗。

人們如果無法親眼看見這些數學們...

審訂序／台灣大學數學系退休副教授 蔡聰明
作者序
Part Ⅰ 超有趣到讓你捨不得睡的數學
數學是美麗的字母
好像會唸但其實不會唸的算式
數學家的浪漫名言
放屁的味道就算力道只有一半還是很臭？
用因數分解當保全系統
信用卡的卡號密碼祕密
簡單找錢的計算技巧
11就像是謎語一樣的不可思議
夢幻般的諾貝爾獎
問題就是會不斷產生問題的世界

Part Ⅱ 生活中到處是數學
√就像植物的根
影印紙的祕密
人孔蓋為什麼是圓的？
無論是「匯兌」與「環保」都依賴「轉換」當靠山
「公尺」的長度是法國革命時誕生的
跟愛因斯坦開心去兜風
iPod能彈奏數學
江戶的天才數學家
木工工具賴以為生的白銀比例
畢達哥拉斯與Do Re Mi
幫助航海者的數學家
方程式述說星辰光輝
無與倫比的天才數學家歐拉
是永不結束的故事
「無限」有分大小嗎？

Part Ⅲ 浪漫的數學
「100」與數學家高司‧數學時令書①
「10」與「十人十色」‧數學時令書②
1+1=2，真的嗎？‧數學時令書③
日全蝕與圓周率‧數學時令書④
AM廣播是9的倍數‧數學時令書⑤
神祕數字——12‧數學時令書⑥
持續擴展的數學世界
無限的前方還有無限
9的（9的9次方）到底是多少？
讓人感動的數學家故事——岡潔

後記
參考文獻

審訂序／台灣大學數學系退休副教授 蔡聰明
作者序
Part Ⅰ 超有趣到讓你捨不得睡的數學
數學是美麗的字母
好像會唸但其實不會唸的算式
數學家的浪漫名言
放屁的味道就算力道只有一半還是很臭？
用因數分解當保全系統
信用卡的卡號密碼祕密
簡單找錢的計算技巧
11就像是謎語一樣的不可思議
夢幻般的諾貝爾獎
問題就是會不斷產生問題的世界

Part Ⅱ 生活中到處是數學
√就像植物的根
影印紙的祕密
人孔蓋為什麼是圓的？
無論是「匯兌」與「環保」都依賴「轉換」當靠山
「公尺」的長度是法國革命時誕生的
跟愛因斯坦開...