超‧超有趣到 令人捨不得睡的數學

藏在向日葵中的不可思議數列

向日葵花朵與松果的共通點

相信很多人的心都曾被向日葵美麗又可愛的花朵、朝氣蓬勃的綠葉、以及在風中搖曳的姿態給吸引住。就連在這樣的大自然之美中都隱藏著「數的祕密」。

接下來我們就來窺探一下開展在植物世界中的數的世界吧！

花朵看起來碩大的向日葵，其實是由數千個小小的管狀花所集合而成的一朵花。而就在向日葵中並列的這些小小管狀花中，有著一個關於數的驚人祕密。

仔細觀察這些小小的管狀花，會發現其排列的方法分為左旋與右旋兩種，我們把螺旋線的樣子畫出來就知道了。請看下圖。



◆ 向日葵小小管狀花的排列方法

左旋的螺旋線有55條，右旋的螺旋線則有34條。

我們再來看看除了向日葵以外的其他植物。

在松樹的果子「松果」中，也浮現出了螺旋線。

松果的鱗片與鱗片之間的排列方法中，也分為左旋與右旋，仔細看的話就會看出它們各自有8條、13條螺旋線。再仔細觀察，也會看到右旋出現5條螺旋線的樣子。

有趣的是，無論是哪一種向日葵或是松果，都會找到同樣數目的螺旋線。如果各位身邊或附近也有向日葵或松果的話，請務必確認看看。



植物依照規則正確並列著

接下來，我們來觀察一下植物的葉子的附著方法。

如果大家從植物的正上方往下看葉子，會發現葉子與葉子之間是以盡可能不重疊的方法附著著。也就是在一根莖上會像是螺旋階梯往上附著，每一枚葉子都是以上下位置重疊生長著。

而那個「每一枚葉子」，則有可能是五枚、八枚、十三枚或二十一枚……。

我們來整理一下這次所介紹的「在植物的花、果實、葉子的附著方法中所出現的數」。

5、8、13、21、34、55

乍看之下似乎是沒有規則性的隨機數字，但其實在這些數中有著某種規則。請思考一下這個規則是什麼。事實上，在這裡所出現的數都是「該數前面兩個數的總和」。

5+8=13、8+13=21、21+34=55

那麼請想想看比「5」還要小的數是哪個數。

如果「□+5=8」，我們會知道要在□中放入「3」。同樣地，如果是「□+3=5」，我們就知道「3」的前面要放入「2」。

這樣繼續列下去的話，就可以變成是某些數的序列，也就是「數列」。

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、……

這個數列是十二世紀時由義大利的數學家費波那奇（Leonardo Pisano Bigollo）所發現，因此稱為「費波那奇數列」。



費波那奇數列與黃金比例

從「1」與「1」開始，「1、1、2、3、5、8、13、21、34、……」就像這樣，把前面兩個數陸續相加後所創造出來的數列就是「費波那奇數列」。

費波那奇數列可以在樹木的分支中找出來。

這個費波那奇數列中，藏著某個祕密。我們來找找這是什麼吧！



◆在樹木的分支中有著費波那奇數列

由上往下：13根、8根、5根、3根、2根、1根、1根

先調查一下「下一個數是前一個數的幾倍大？」也就是計算看看「下一個數÷前一個數」。

1÷1=1

2÷1=2

3÷2=1.5

5÷3=1.666……

8÷5=1.6

13÷8=1.625

21÷13=1.615……

34÷21=1.619……

55÷34=1.617……

89÷55=1.618……

144÷89=1.617……

233÷144=1.618……

從這個計算結果可以發現一件事。相鄰的數的除法（下一個數÷前一個數）的值都大約會是「1.618……」左右。

在費波那奇數列中，「233」的下一個數，計算「144+233」後得知是「377」對吧？那麼我們接著再計算看看這個數列其他的數。

233+377=610

377+610=987

610+987=1597

接下來也把這些數與相鄰的數做除法演算看看。

377÷233=1.618……

610÷377=1.618……

987÷610=1.618……

1597÷987=1.618……

的確得出來的值都是「1.618……」。

這個數「1.618……」稱為「黃金比例」，以希臘文字ψ（PHI）來表示。

這個黃金比例，就是解開在植物中會出現費波那奇數列謎題的關鍵。

黃金比例與黃金角度

費波那奇數列（1、1、2、3、5、8、13、21、34、……）的相鄰兩數比率，將逐漸趨近於「1：1.6180339887……」。這個比率就稱為「黃金比例」。



◆ 黃金比例與黃金角度

那麼我們就實際來使用黃金比例分割線段。把一個線段彎曲後環繞一圈360度成一個圓。當以黃金比例分割這個圓時，相等於圓周部分的「1」的角度就會變成137.5077……度（以下簡略為137.5度）。因為是把圓周以黃金比例分割出來的角度，所以這個角度就叫做「黃金角度」。

其實這個黃金角度，就是掌握向日葵美麗盛開的關鍵。



向日葵的花朵是由許多小小的管狀花所集合而成的，且是由中心向外側生長。最初第一朵花出現在中心，接著在離中心一點距離的地方再長出第二朵小花。

然後，下一朵花就像下圖那樣，會出現在「距離回轉137.5度後的前端的地方」。然後再從那個地方回轉137.5度，在有一點距離的地方再長出另一朵花。就像這樣不停重複，最後就會長滿了以右旋與左旋螺旋的樣子並排生長的花朵。

這個花朵排列方法的模式，就是「花朵毫無間隙密密麻麻地生長」。要是有那麼一次從137.5度錯開的話就會產生空隙，花朵就無法密密麻麻地生長了。向日葵真可說是讓小花們超級有效率地並排生長而成的呢！

就像這樣，137.5度的角度就是向日葵花朵的祕密。向日葵以黃金角度長出許多花，也因此留下許多種子，也就是它們的子子孫孫。

「大自然之美」與「數的世界」因為費波那奇數列而連結在一起——。

為了生存以及種子的存續，植物悄悄隱藏著如此美麗的規則。

在萬物的根源，也必定潛藏著數的祕密——。

每次在路邊看見小小的花花草草，我總是會有這樣的感覺。

藏在向日葵中的不可思議數列

向日葵花朵與松果的共通點

相信很多人的心都曾被向日葵美麗又可愛的花朵、朝氣蓬勃的綠葉、以及在風中搖曳的姿態給吸引住。就連在這樣的大自然之美中都隱藏著「數的祕密」。

接下來我們就來窺探一下開展在植物世界中的數的世界吧！

花朵看起來碩大的向日葵，其實是由數千個小小的管狀花所集合而成的一朵花。而就在向日葵中並列的這些小小管狀花中，有著一個關於數的驚人祕密。

仔細觀察這些小小的管狀花，會發現其排列的方法分為左旋與右旋兩種，我們把螺旋線的樣子畫出來就知道了。請看下圖。



◆ 向...

請各位看看封面上的圖案。

這個問題是「如果要把整版郵票各自切割為單一一枚，必須要切割幾次才可以？」大部分的人剛開始會思考的問題，應該都會是「要從哪裡切割比較好？」以及「切割的方法」。

但是，其實去思考「切割一次會變成怎樣？」才是解開這個問題的關鍵。很多人來找我討論商量時，都會說「希望學會用數學的觀點來思考」，也因此，首要之務就是「觀點的轉換」，這是最重要的。

現在，要用來解開我所提出問題的思考方法，正是所謂的「觀點的轉換」。單單只是解開難題，並無法學會數學性的思考方式。要能樂在其中並且一步一步學會才是最好。

接觸數學的契機是什麼無關緊要。只希望各位能夠愛上數學——。

我身為「科學領航員」，希望能以此身分來為各位指引各式各樣的入口，並且盡可能讓更多人越來越熟悉數的世界。

數學很有趣——。古今東西世界、歷經數千年，至今人們依然演算著數學至今。所謂「演算數學」，其實是創造出如同語言的數學。也就是使用數學更為正確地了解身邊的現象以及其構造。然後發現新的問題，並且解答它們。

一旦深入數與圖形的世界，人們就會在那裡發現無窮無盡的問題，並且因此而歡欣雀躍不已，廢寢忘食地埋首在解開數學的問題中。在這個世界上，還有如此有趣的解謎遊戲嗎？我們發現了最值得興奮的樂趣——就是數學的遊戲。

數學好難——！就像是找出「GAME」的攻略法，我們也慢慢領略到數學的深不可測。為了解開全新的難題，更要創造出全新的數學。數學，可以說是這個時代最棒的頭腦傾注全部心力所創造出來的，最棒的智慧財。

數學有其困難度，換句話說，數學在人類的數千年歷史中創造出了無數挑戰。而因為人類還不了解這個問題的答案，只有數學家們孤獨地踽踽獨行。

然而，我們是不是對「很難」的數學敬而遠之呢？就像面對運動或是藝術，與其遠遠避開它，我們更該知道「正是因為很難」，才有繼續挑戰的價值。

數學正是如此。為什麼數學很難呢？與其要讓數學變得簡單，確實知道其挑戰的價值才是重要的。

數學很美——。在數學的世界中旅行時，總是會不自覺地感嘆其偉大與美好。數學的世界是世人所無法想像的協調與美的世界。難歸難，人類也從不放棄，歷經數千年，終於創造出了數學的魅力。這是數學所擁有的美。

數學除了是最棒的智慧財，也可以說是最了不起的藝術作品。

再也沒有像數學這樣對人類大有幫助的事物了。而數學中的藝術與一般藝術最大的不同之處就是「概念」。

「數或是圖形」（數學）都是概念。「色彩或是感情」（藝術）也一樣是概念。概念是我們在大腦中所想出來的東西，因此存在於我們的思考之中。然而「數或是圖形」與「色彩或是感情」決定性的不同之處，不正是「每個人都可以想像」這件事嗎？

可以與他人去比較並共享「概念」是一件驚人的事。拜其所賜，數學才能成為普遍的語言，並且普及於全世界。歷史正在證明著這件事。數學已經在許多學問、藝術、商業、製造生產等領域發揮了極大的威力。

這的的確確正是有趣到讓你捨不得睡的「數學」。

自己一個人把發展極為神速的數學當成對手，是非常辛苦的。希望每個人都可以輕鬆樂在其中，就讓身為科學領航員的我引領各位進入數的世界吧！

數學，是從何處而來？

回顧歷史之時，看見數學的棲身之所

人們又為何要演算數學？

開端就在於心～～

計算是一場旅行，

算式列車在等號的軌道上奔馳著——

旅人有夢，

這是一場無止盡追求浪漫的計算之旅，

為了找尋尚未得見的風景，今日，旅程依然持續著……

請各位看看封面上的圖案。

這個問題是「如果要把整版郵票各自切割為單一一枚，必須要切割幾次才可以？」大部分的人剛開始會思考的問題，應該都會是「要從哪裡切割比較好？」以及「切割的方法」。

但是，其實去思考「切割一次會變成怎樣？」才是解開這個問題的關鍵。很多人來找我討論商量時，都會說「希望學會用數學的觀點來思考」，也因此，首要之務就是「觀點的轉換」，這是最重要的。

現在，要用來解開我所提出問題的思考方法，正是所謂的「觀點的轉換」。單單只是解開難題，並無法學會數學性的思考方式。要能樂在其中並且一步一步學...

審訂序／台灣大學數學系退休副教授 蔡聰明
作者序
Part I 世界是由數學建立起來的
藏在向日葵中的不可思議數列
一筆畫的數學
藏在骰子或撲克牌中的數的祕密
商品開發中不可或缺的圓周率！？
利用摺紙測量出與晴空塔的距離
追尋星辰至今的人類與小數點的相遇
「0」 的故事
伴隨數的世界名言
數與數字的故事
Part II 值得珍藏的數學故事
光用看的就能解題的不可思議加法
用1～9的數得出100！？挑戰小町算
計算機告訴我們√的意義
影像或聲音數據的背後功臣是三角函數
江戶時代的九九乘法表有36種
讓人感動的數學家故事：高木貞治
Part III 有趣到捨不得睡的數學超級篇
應該會是質數吧？　了不起的質數朋友們①
倒著唸也是質數？　了不起的質數朋友們②
只用1就能做出來的質數 了不起的質數朋友們③
質數與反質數 了不起的質數朋友們④
悲傷的質數
超入門․黎曼猜想……

結語
參考文獻

審訂序／台灣大學數學系退休副教授 蔡聰明
作者序
Part I 世界是由數學建立起來的
藏在向日葵中的不可思議數列
一筆畫的數學
藏在骰子或撲克牌中的數的祕密
商品開發中不可或缺的圓周率！？
利用摺紙測量出與晴空塔的距離
追尋星辰至今的人類與小數點的相遇
「0」 的故事
伴隨數的世界名言
數與數字的故事
Part II 值得珍藏的數學故事
光用看的就能解題的不可思議加法
用1～9的數得出100！？挑戰小町算
計算機告訴我們√的意義
影像或聲音數據的背後功臣是三角函數
江戶時代的九九乘法表有36種
讓人感動的數學家故事：...