千年難題：七個懸賞一百萬美元的數學謎題

　　二○○○年，美國麻塞諸塞州劍橋的克萊數學促進會發起了一場頗具歷史意義的競賽：任何能夠解決七大數學難題之一的人，在專家認定其解答正確之後，將可以獲得一百萬美元的獎金。在此之前，也有過這樣的先例：一九○○年，當時最偉大的數學家之一希爾伯特，提出了二十三個問題（現被稱作希爾伯特問題），在很大程度上為二十世紀的數學發展設下了決定性的里程碑。

　　本書所討論的這七大千年難題很可能將獲得同樣的地位。對它們的解答（或者解答不出）將對二十一世紀的數學研究產生巨大的影響。這些問題涉及純粹數學和應用數學中最迷人的領域：從拓撲學和數論，到粒子物理學、密碼學、計算理論，甚至於飛機設計。德福林在本書中，用深入淺出的方式，為我們講解這七大難題的內容、由來以及它們對數學和科學的意義，讓非具有專業數學素養的大眾讀者，也能一窺這場數學界的極限任務之堂奧！

本書特色
　
　　★亞馬遜四顆星推薦
　　★《學校圖書館期刊》（School Library Journal）、《書評人》（Booklist）、《自然》（Nature）一致推薦！

～各界好評～

　　德福林清楚的解釋了每道難題的背景，以及為何理論數學素養對於一般讀者具有重要意義。針對每道難題，都有一整個章節加以詳細介紹，並延伸至古希臘的數學研究……這本書可說是獻給非專業人士的現代理論數學指南。──《學校圖書館期刊》（School Library Journal）

　　感謝德福林既扼要又大眾化的解釋，讓我們僅以高中數學程度就可以理解黎曼假設。至於七大數學難題，德福林則直接點明，沒有博士學位的程度是不可能理解的，更不用說去解決它們。但本書作為一本高明的指南，已清楚描繪出問題的輪廓，以及它們的解答將帶來哪些實際應用上的意義。德福林這本書將可激起門外漢讀者，對於新數學抽象疆界的好奇心。──吉爾博特．泰勒（Gilbert Taylor）《書評人》（Booklist）

　　精彩絕倫……如果你想找一本能簡單扼要地介紹黎曼假設的書，那這本書就是你要的。——《洛杉磯時報》（Los Angeles Times）

　　本書描述七大「懸賞一百萬美元」的數學難題，這些難題位於數學領域之巔，至今仍懸而未決，它們或許比地球上任何真正的山峰更難征服。但就我所知，沒有什麼能比德福林這本精彩的書，讓那些善於思考的讀者更能靠近這些既光彩奪目又極具挑戰性的問題。——美國國家數學研究所所長　艾森巴德（David Eisenbud）

　　德福林對於數學的寫作思路清晰，文筆流暢；他對於背景概念的解釋既淺顯易懂，又鞭辟入裡。他所寫的一切都充滿了個人魅力，兼具智慧、幽默與樂趣。——哈佛大學數學系教授　梅勒（Barry Mazur）

　　德福林做了一件超凡的事……對於任何一位尚記得一些高中數學的讀者來說，這本書既引人入勝又淺顯易懂。——《基督教科學箴言報》（The Christian Science Monitor）

　　內容詳實，趣味盎然……這本書的成功之處，在於它照亮了人類心智的神秘力量，為我們指出人類心智所能抵達的極致巔峰。——《波特蘭信使報》（The Portland Mercury）

　　這本書對數學的闡釋卓越非凡，令人興奮；即使通往這些迷霧中的巔峰路途依然充滿險阻，但這本書至少能讓你一瞥那些巔峰的面貌。——《自然》（Nature）

　　為了吸引對於數學的認識只有不到高中程度的讀者，德福林給自己設下了四個任務：提供每道難題的背景知識、描述這些難題是如何引起的、解釋它們為什麼特別的難，並讓你能夠瞭解為什麼數學家們對這些難題如此重視……德福林是真的想要吸引經驗不那麼豐富的讀者……連一般難度的山都從未爬過的人無法理解攀登上艾格峰的北峰有多麼困難；但萊茵霍德．梅斯納爾會告訴我們那陡坡的程度令人喪膽，而我們也完全會相信他的話。這就是德福林要達到的目的，他為我們解釋千年難題到底難在哪裡。他為我們指明，只有當我們把問題看清楚，我們才有可能找出攀登到頂峰的路徑以及解決問題的方式。──布萊恩．布藍克（Brian E. Blank）《美國數學學會期刊》（Notices Of The AMS）2003年九月號　書評專欄

作者簡介

齊斯．德福林（Dr. Keith Devlin）

　　當代數學家，美國加州史丹佛大學數學教授。他是該校「人文科學和科技進階研究院」（H-STAR institute）的共同創辦人與執行主任（該組織致力於統合人文與科學各學科的知識，積極與業界合作，將之應用於社會）；以及「語言資訊研究中心」（CSLI）的資深研究員。他著有34本書，發表過80餘篇學術論文。他的著作曾獲頒國際畢達哥拉斯獎（International Pythagoras Prize）、皮亞諾獎（Peano Prize）、卡爾．沙根科普獎（Carl Sagan Prize for Science Popularization），以及美國數學聯合政策委員會獎（Joint Policy Board for Mathematics Communications Award）。

　　他是世界經濟論壇（World Economic Forum Fellow）、美國科學促進協會（American Association for the Advancement of Science）的成員。他最近的研究聚焦於使用不同媒介傳播數學知識予大眾，並致力於情報分析資訊管理系統的設計。他的研究領域涵蓋資訊理論、推理模式、傳播研究中的數學應用，以及數學認知等等。

　　德福林積極在大眾領域推廣數學知識，包括以「數學小子」之名上美國公共廣播電台的節目，以及撰寫科普文章、書籍等等。

序言

第0章
挑戰已經發出

第1章
素數的音樂：黎曼假設

第2章
構成我們的是場：楊－米爾斯理論和質量缺口假設

第3章
當電腦無能為力的時候：P對NP問題

第4章
製造波動：納維－斯托克斯方程

第5章
關於光滑行為的數學：龐加萊猜想

第6章
解不出方程也明白：伯奇和斯溫納頓－戴爾猜想

第7章
沒有圖形的幾何學：霍奇猜想
進一步的讀物
 

序言

　　2000年5月，在巴黎的一個高度公開化的會議上，克萊數學促進會（Clay Mathematics Institute，簡稱CMI）宣佈對七大懸而未決的數學難題以每個問題100萬美元的賞格尋求解答—這七大難題是由一個國際數學家委員會在當今數學領域中選出的最難以攻克且具最重要意義的問題。這一宣佈引發了不小的轟動，連續幾周，媒體興趣高漲。作為經常為非專業人士著書寫文章並定期上廣播節目的數學家，我被眾多記者及廣播節目製作人問到這些難題的背景，並要求作一些評論。一些有興趣出版關於這一主題的圖書的編輯也主動與我聯繫，其中就包括Basic Books的比爾．弗魯赫特（Bill Frucht）。在出版我上一本為非專業人士所著的圖書《數學基因》(The Math Gene)的時候，我曾與比爾合作。由此，我倆也建立了深厚的友誼。（由於其出色的編輯才華，在某種程度上他已經成為我的崇拜對象。）因此，我再次選擇與比爾合作，並立即著手進行撰寫本書所需要的大量研究工作。

　　不久，克萊促進會的主席賈菲（Arthur Jaffe）問我是否願意與同樣是數學普及工作者的伊恩．斯圖爾特（Ian Stewart）一起為關於七大千年難題的官方圖書撰寫普及性的引言，克萊促進會正與美國數學學會合作，準備出版此書。在確保這兩本書並沒有太大的衝突後，我同意了。CMI的這本官方圖書主要是對七大千年難題的詳細而準確的介紹，每一篇都由這一問題的世界級權威專家撰寫。由於每個問題懸賞100萬美元，CMI的這本書也擔負著法律責任，必須充分準確地陳述每個問題以讓裁定者判斷某個提出的解答是否達到了解題的標準。（這些問題與做一個長除法計算或是解一個二次方程幾乎不能作最起碼的比較，有時，僅僅是理解問題陳述中的某一個術語就需要花相當大的力氣。）伊恩和我要做的是寫一些描述這些問題的簡短引言，使此書對數學家來說更為親切，對那些有興趣參閱關於這些問題的「官方圖書」的記者及非專業讀者來說更為有用。

　　現在你手上的這本書卻與之大相徑庭。總體而言，我的目的並不是詳細描述這些問題。用非專業的語言來準確描述這些問題是不可能的—甚至用大學本科數學程度的人所熟悉的術語也無法做到。（那只能告訴你關於這些問題之性質的一些事。）相反，我的目的是提供每個問題的背景，描述它是如何產生的，解釋是什麼使它特別困難，並讓你在某種程度上感到為什麼這些問題在數學家看來是如此重要。

　　而CMI的官方圖書正是開始於本書結束的地方。對任何一位在閱讀本書後想解答克萊難題的讀者而言，要做的第一步便是讀一讀CMI那本書中關於這些問題的確切描述。（如果不能理解那本書，你是無法解答這些難題的。千年大獎的競賽就像是全美橄欖球超級杯賽：並非為業餘者開設。）本書並非為那些希望解答出其中一個難題的人而寫，而是為著那些對人類最古老的科學知識體系發展前沿的現狀感興趣的讀者—無論是數學家還是非數學家。經過3000年的理性發展後，人類數學知識的極限究竟在何處？

　　閱讀本書所需要的基礎僅僅是高中階段的數學知識。但僅僅這樣還不夠，還需要你對這個論題本身有著充分的興趣，這比前者更為重要。我從一開始就意識到，無論怎樣努力，本書都不可能成為一本簡易讀物。千年難題是當今世界未解決的數學問題中最困難、最重要的問題；全世界最優秀的數學頭腦已花費了大量的時間和精力來尋求答案，然而都未有結果。即使讓一個業餘愛好者對問題之大概有所領會，也需要相當大的努力。但無論怎樣，我依然堅信所有的努力都是值得的。難道這一切不是令人感興趣的人類成就的頂峰嗎？

　　幸運的是，還有另一個可有助你瞭解千年難題的途徑。作為CMI開展的大力宣傳千年難題競賽的活動之一，我和賈菲以及電視製作人斯特恩（David Stern）共同參與了一個20分鐘的電視短片製作。其中對於千年難題的引導性簡要描述同斯圖爾特和我在CMI官方圖書上的普及性導言相類似。你可以在CMI的網站www.claymath.org上看到這個電視短片。（你還可以在這一網站上找到各個問題的專家對相應難題的專業描述。）

　　顯然，參加電視短片的製作和CMI圖書的編寫對我撰寫此書十分有幫助。我在此感謝CMI的賈菲以及埃爾伍德（David Ellwood），我同他們進行了多次對我頗有裨益的交談。與斯圖爾特合作為CMI圖書撰寫的引言也對本書產生了影響。然而歸根結底，對你手中這本書中出現的任何舛錯疏漏，都應由我負責。

　　我還要對弗魯赫特深表感激之情。儘管我們處理的許多材料有著不可理解性，但他先是為我構思出了寫作方案，然後與我一起為使此書盡可能地通俗易懂、饒有趣味而竭盡全力（並奮勇戰鬥）。還要感謝我的代理人，紐約的芬奇（Diana Finch）以及倫敦的漢密爾頓（Bill Hamilton），他們不斷說服世界各國的出版商，使他們相信天底下的確存在著被那個（幾乎是）默默無聞、毫不張揚的群體的活動所迷住的人。我也榮幸地是這個群體中的一分子—那裏是追尋著100%可靠的永恆真理的人們：數學家。

齊斯．德福林
於加州，帕羅奧圖
2002年3月