數學教材教法：探究式教學

　　本書第一作者與台灣國中小學教師進行數學合作學習已逾十年，能結合中小學之實務與數學教育理論，協助中小學教師進行專業提升。本書第二作者，於台灣小學任教三十年，對於數學領域之實務有深入淺出之見解，編製出適合教師教學的活動，能即時解決教學現場的學生問題。

　　本書掌握了數學教學的趨勢，如探究的教學方法，對於數學的核心，如解題、推理、連結與溝通等，均以實例進行解釋，本書的內容可協助職前教師與現職教師對於數學教學、數學概念與數學認知都能有清楚的認識。

　　本書的架構完整，從數的概念、位值概念、整數四則、分數、小數、括號概念、比例、統計、幾何空間、量與實測、前代數概念等均進行完整的敘述。不僅提供數學認知的概念，學生的迷思概念，也提供各年級所需的教學活動。

　　本書可作為教育大學、師資培育大學師培生學習數學科教材教法的主要教科書或是參考用書，及提供十二年一貫數學師資專業成長的參考書籍。
 

作者簡介

謝如山

　　▓學歷：
　　美國伊利諾大學香檳校區數學教育哲學博士
　　美國伊利諾大學香檳校區測驗統計博士候選人
　　美國伊利諾大學香檳校區測驗統計碩士
　　國立台北教育大學初等教育系教育行政組

　　▓現職：
　　國立台灣藝術大學師資培育中心副教授

　　▓經歷：
　　國立台灣藝術大學師資培育中心主任
　　藝術與人文教學研究所所長
　　基隆市武崙國小教師

潘鳳琴

　　▓學歷：
　　中原大學教育研究所碩士
　　國立台北教育大學初等教育系輔導組學士
　　省立花蓮師範專科學校

　　▓現職：
　　協助國小數學教師專業成長

　　▓經歷：
　　國小教師三十年，服務於芭里國小、霄裡國小、富台國小、林森國小。
　　桃園縣數學輔導員二十年
　　桃園縣教師專業評鑑委員
　　教育部數學領域補救教學種子教師
　　教育部數學領域種子教師
 

Chapter 1　數學教與學的不同觀點
壹、數學教與學的不同觀點
貳、數學教育的發展方向  
參、教學方法的改變――探究式教學

Chapter 2　數學學習的探究歷程：解題、推理與證明、溝通與連結
壹、解題
貳、推理與證明
參、溝通
肆、連結

Chapter 3　基礎的數學學習：早期的數字概念與數數
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、數字的四種意義
肆、數數的原則與加減法策略
伍、數數的教學活動  

Chapter 4　整數四則：低年級
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、四則運算的題型
肆、四則運算的教學活動

Chapter 5　理解十進位、位值概念、多位數的認識
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、十進位的重要性
肆、位值的教學活動
伍、位值教與學的叮嚀
陸、教學法寶
柒、學習活動  

Chapter 6　整數的數感與估測
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、數感的定義與重要性
肆、數感的教學活動
伍、數感與估測教與學的叮嚀
陸、教學法寶
柒、學習活動
捌、數感概念的警鐘

Chapter 7　有理數與分數
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、有理數的學習
肆、分數的類型
伍、分數的教學活動
陸、分數教與學的叮嚀  
柒、教學法寶
捌、學習活動

Chapter 8　分數運算的意義
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、數學的學習
肆、分數的教學活動
伍、分數運算教與學的叮嚀
陸、教學法寶
柒、學習活動

Chapter 9　小數與小數運算
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、小數的學習
肆、小數的四則運算
伍、小數的教學活動
陸、小運算教與學的叮嚀
柒、教學法寶
捌、學習活動

Chapter 10　括號概念
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、括號概念的學習
肆、括號的教學活動
伍、括號教與學的叮嚀
陸、教學法寶
柒、學習活動

Chapter 11　比、比例與百分比
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、比、比例與百分比概念的學習
肆、比、比例與百分比的教學活動
伍、學習活動

Chapter 12　統計與機率
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、統計與機率的學習
肆、統計與機率的教學與學習叮嚀
伍、學習活動

Chapter 13　幾何與空間概念
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、幾何空間的學習與教學
肆、幾何空間的教學活動
伍、幾何空間的教學與學習叮嚀
陸、教學法寶
柒、學習活動

Chapter 14　量與實測
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、量與實測的學習
肆、量與實測的教學活動
伍、量與實測的教學與學習叮嚀
陸、教學法寶
柒、學習活動

Chapter 15　前代數與代數的轉化
壹、前瞻
貳、教師的挑戰
參、前代數與代數的學習
肆、前代數與代數的教學活動
伍、前代數與代數的教學與學習叮嚀
陸、教學法寶
柒、學習活動
 

謝序

　　本書的出版，有很多要感謝的貴人，首先要感謝新北市頂溪國小王修亮老師的數學教學團隊、宜蘭縣人文國中小蘇珈玲老師的數學教學團隊、桃園縣林森國小潘鳳琴老師的數學教學團隊、台北市民權國小郭熙妙老師與黃杏寧老師的協助；更感謝雲林維多利亞中小學李佳芬副董、天主教光仁中學林沛英校長、天主教八里聖心小學畢明德校長、新北市秀山國小林文生校長，以及江翠國小吳昌期校長等的支持。在這十三年探究式教學實驗課程中，產生了相當多教學實務的智慧，由基層老師所分享出的課程結晶，才讓我有這動力將這所有的成果分享給有志一同的數學教學領域的夥伴們。再者，亦要感謝長期與我進行數學學習認輔的新北市大觀國小魏素鄉校長與中山國小王健旺校長，至今已有十三年，有超過1,000位數學低成就個案的案例，讓我成長良多。最後，感謝我的家人，妻子王望舒博士、兒子安捷、安醇，以及父母對我永遠的愛。

　　本書的第二作者――潘鳳琴老師，是我景仰的國小數學教師，在小學有相當豐富的實務經驗。在合作進行探究式教學實務課程時，是我成長最多的階段，於是產生撰寫本書的動機。三年前邀請鳳琴老師時，獲得首肯，願意共同為本書努力。那時，才對於本書的方向更加明確，也因此，本書的定位會是在實務應用，理論引領實務的發展方向。為能讓強化本書在數學教學實務的連結，鳳琴老師教與學的叮嚀、教學法寶與學習活動等三個章節，實有畫龍點睛之效。

　　本書共有15章，第1章數學教與學的不同觀點，與第2章數學學習的探究歷程、解題、推理與證明、溝通與連結，為貫穿其它十三個章節的共通觀點。所以，前兩章所提的教學觀念為本書的核心，也期許讀者能對這兩個章節有深入的了解，對於教師在教學的信念有相當的助益。

　　第3章為基礎的數學學習，早期的數字概念與數數，為學童在3歲至7歲的重要發展概念，於本章中，如何讓教師了解數數與加減法的關係，進一步了解數數的重要性。

　　第4章為整數四則，讓教師了解加減乘除的不同題型，尤其對於除法直式的概念，要能有清晰的教學步驟，才能使學生了解。再者，本書所提供的整數四則活動，對於教師在教案的使用，則有更為靈活的選擇。

　　第5章為理解十進位、位值概念與多位數的認識。本章的目的在於協助教師了解不同的進位概念，對不同國家的數字使用有一定的了解。教師應要協助學童對於位值概念要有清楚的認識，而教具的使用則不可或缺，如百格板、千格板、錢幣、紙鈔等。

　　第6章為整數的數感與估測，學童對於數字沒有感覺，對於估測的概念沒有概念，這是國內學童普遍的問題。如何讓學童對於數字的數感與量感更加敏銳，讓學童對於週遭事物的產生感覺才是解決之道。本書提供一些活動，強化學童數感與量感，將有助於學童的學習。

　　第7章為有理數與分數，本章提到分數的四種意義，有理數的定義與學習概念，解析學童在分數的學習困難，提出分數的不同題型等。對於分數的教學活動，則能對於學校教師提供具體教學的策略與方法。

　　第8章為分數運算的意義，提及分數的四則運算，學童在整數與分數及分數與分數運算上所要注意的情境設計。再者，對於分數的質性思考，在不需實際計算，即可找出答案的策略為何？對於分數除分數，除數為什麼要倒過來乘的解釋，提出釐清。

　　第9章為小數與小數運算，對於小數的概念、小數的使用原因、小數的四則運算，均有具體的陳述。尤其對於小數的除法，最容易混淆的商數與餘數部分，提供具體的解釋，對於小數所適用的教學活動，也提供明確的方向。第10章為括號概念，是本書的特有章節。括號概念為一運算概念，括號使用於兩步驟以上的混合運算，而產生了分配律與結合律等相關法則，如何應用圖示與活動的方式，協助學童對於括號概念有清楚的了解，本章則提供具體的方向。括號概念對於國中在代數形式的運用，更為困難，如何協助學童在整數情境下，對於括號相關法則的使用，至關重要。

　　第11章為比率、比值與百分比，比率與比值概念為有難度的單元，此部分的概念如正反比概念、如折扣概念，會運用分數與小數的情況。學童要能理解題意，對不同的比例題型有所釐清，才不會產生錯誤。百分比概念為便於比較的形式，學童要能對於使用百分比的情境進行應用，才能將百分比與比例的關係有深入的了解。

　　第12章為統計與機率。統計概念出現在小學一年級時的畫記活動，以及五年級折線圖與直條圖的製作，機率概念則在國中三年級才出現。而統計的集中量數如平均數、眾數、中位數等概念，在小學階段即可介紹，但應對其適用情境有明確的了解。

　　第13章為幾何與空間概念，如平面圖形、立體圖形、角錐體、角柱體等概念。學童在不同柱體的展開圖，透視圖會產生學習困難，其原因在於學童沒有實際操作的經驗。如何協助學童對於長方體、立方體與不同錐體的展開概念，有實際的操作經驗，本書也提供了一些策略。

　　第14章為量與實測，可分重量、容量、時間、長度、面積、體積、角度等七向度。除時間為抽象量概念外，其它均為具體量概念。本章分為七向度，每一向度均有基礎概念，測量概念與估測概念三部分。本章依此七向度提供教學活動，可資教師在不同的概念進行教學參考。

　　第15章為代數與前代數概念。前代數概念與代數概念如何銜接，為本章的重點。本章提及學童在代數概念產生的困難為何、教師要如何設計前代數的活動，以利學童轉化至代數概念。代數活動的設計，從小學一年級至六年級都有，其目的為整合不同年級的活動，以利教師協助學童在七年級學習代數時能順利的學習。是故，本章節會探討所有不同年級與代數相關的活動，以協助教師對代數有整體的認識。

　　最後，雖有15章節的篇幅，亦未盡完整。本書期能帶給數學教育界的教師們，一些教學的經驗，共同進行專業成長。本書若有未盡妥善之處，也請惠賜良見，以助我們在未來的修正中，進行參考，感謝。

謝如山